Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons
1
α
α
Zad.1. Dla zadanej ramy statycznie niewyznaczalnej:
a) wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych korzystając z metody sił.
b) wykonać sprawdzenie kinematyczne.
c) obliczyć przemieszczenie poziome pktu A.
d) wyznaczyć wypadkowe przemieszczenie pktu A.
Zad.1a)
1. Schemat konstrukcji:
SSN=1;
EI=const
E=205Gpa;
I160:
I
x
=935cm
4
EI=1916,75kNm
2
k=
6
EI
2. Układ podstawowy:
Układ spełnia warunki
statycznej wyznaczalności
i geometrycznej niezmienności.
3. Układ równań kanonicznych sprowadza się do równania :
δ
11
· X
1
+ δ
1P
= 0
gdzie: współczynniki δ
ik
, δ
iP
:
∑∫
=
δ
l
k
i
ik
dx
EI
M
M
0
;
∑∫
=
δ
l
P
i
iP
dx
EI
M
M
0
;
gdzie: M
i
– momenty zginające od obciąŜenia siłą jednostkową X
i
=1,0 (w ukł. podst.)
M
p
– momenty zginające od obciąŜenia zewnętrznego (w ukł. podst.)
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons
2
α
α
3.1. Stan X
1
= 1:
3.2. Stan „P”:
3.3. Obliczenie współczynników δ
ik
, δ
iP
∑∫
=
δ
l
dx
EI
M
0
2
1
11
EI
EI
EI
30
6
1
1
3
3
2
3
5
2
1
3
3
2
3
3
2
1
1
11
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
∑∫
⋅
=
δ
l
p
P
dx
EI
M
M
0
1
1
EI
EI
P
216
30
3
1
42
3
2
3
5
2
1
3
2
1
3
8
3
8
3
2
36
3
2
3
3
2
1
1
2
1
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
3.4. Rozwiązanie układu równań kanonicznych:
30/EI · X
1
+ 216/EI = 0 ⇒ X
1
= -7,200 kN
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons
3
α
4. Wykresy sił wewnętrznych w ramie:
Zad.1b)
Kontrola kinematyczna.
- kąt obrotu pktu B:
∑∫
=
⋅
l
n
n
p
B
dx
EI
M
M
0
)
(
)
(
1
ϕ
- zgodnie z tw. redukcyjnym:
∑∫
∑∫
=
=
⋅
l
n
p
l
n
n
p
B
dx
EI
M
M
dx
EI
M
M
0
0
)
(
0
)
(
)
(
1
ϕ
- poniewaŜ
1
0
M
M
=
:
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons
4
α
=
=
⋅
∑∫
l
n
p
B
dx
EI
M
M
0
1
)
(
1
ϕ
0
0
6
20
,
7
3
1
)
4
,
20
3
2
30
3
1
(
1
5
2
1
1
2
1
3
8
3
8
3
2
4
,
14
3
2
1
3
2
1
1
2
=
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
EI
EI
EI
Zad.1c)
Przemieszczenie poziome punktu A (pomijamy wpływ sił tnących i normalnych):
∑∫
=
⋅
l
n
n
p
H
A
dx
EI
M
M
0
)
(
)
(
1
δ
Skorzystamy z tw. redukcyjnego i wyznaczonego w Zad.1. wykresu momentów zginających:
∑∫
∑∫
=
=
⋅
l
n
p
l
n
n
p
H
A
dx
EI
M
M
dx
EI
M
M
0
0
)
(
0
)
(
)
(
1
δ
EI
EI
H
A
132
)
4
,
20
3
1
30
3
2
(
4
5
2
1
1
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
Wymiarowanie przekroju:
3
53
,
139
5
,
21
3000
cm
M
w
x
ekstr
potrz
x
=
=
=
σ
dla I 180: W
x
= 161,0 cm
3
(W
x
potrz.
= 139,53 cm
3
)
I
x
= 1450 cm
4
EI = 2972,50kNm
2
cm
m
EI
M
A
44
,
4
0444
,
0
132
=
=
=
δ
Przemieszczenie poziome punktu A (dla I180) wynosi:
cm
H
A
44
,
4
=
δ
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons
5
Zad.1d)
Przemieszczenie pionowe punktu A równa się wydłuŜeniu spręŜyny
- reakcja w podporze spręŜynowej: R
A
= x
1
= 7,2 kN
- podatność spręŜyny
EI
k
6
1
=
cm
m
EI
EI
V
A
45
,
1
0145
,
0
2
,
43
6
2
,
7
1
=
=
=
⋅
=
⋅
δ
Przemieszczenie pionowe punktu A (dla I180) wynosi:
cm
H
A
45
,
1
=
δ
Przemieszczenie wypadkowe pktu A
( ) ( )
cm
V
A
H
A
A
67
,
4
45
,
1
44
,
4
2
2
2
2
=
+
=
+
=
δ
δ
δ
Przemieszczenie wypadkowe punktu A (dla I180) wynosi:
cm
A
67
,
4
=
δ
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
opracowała: Anna Wons
6