1
Logarytm. Funkcja logarytmiczna.
Przygotowa la Izabela Wardach
1
Logarytmem liczby b > 0 przy podstawie a > 0 i a 6= 1 taki nazywamy wyk ladnik pot¸
egi c,
do kt´
orego nale˙zy podnie´
s´
c a aby otrzyma´
c b:
log
a
b = c ⇔ a
c
= b
Zgodnie z powy˙zsz¸
a definicj¸
a mamy:
log
a
a = 1
log
a
1 = 0, dla a > 0, a 6= 1
log
a
a
c
= c
a
log
a
c
= c, dla c > 0, a > 0, a 6= 1
Symbol loga bez wskazania podstawy logartymu oznacza logarytm dziesi¸
etny liczby a czyli
logarytm o podstawie 10.
Dzia lania na logarytmach:
log
a
(x · y) = log
a
x + log
a
y, dla x > 0, y > 0, a 6= 1, a > 0
log
a
x
y
= log
a
x − log
a
y, dla x > 0, y > 0, a 6= 1, a > 0
log
a
x
n
= n · log
a
x, dla x > 0, a 6= 1, a > 0, n ∈ R
log
a
b =
log
c
b
log
c
a
, dla a, b, c > 0, a, b 6= 1
Prawdziwa jest r´
own´
s´
c dla dowolnych dodatnich i r´
o´
znych od jedno´
sci liczb a i b:
log
a
b =
1
log
b
a
Funkcj¸
e
y = log
a
x = 1, gdzie a > 0 i a 6= 1
nazywamy funkcj¸
a logarytmiczn¸
a. Dziedzin¸
a tej funkcji jest zbi´
or R
+
, Funkcja ta jest
rosn¸
aca dla a > 1
x
1
< x
2
⇒ y
1
< y
2
log
a
x
1
< log
a
x
2
,
a malej¸
aca dla a ∈ (0, 1)
x
1
< x
2
⇒ y
1
> y
2
log
a
x
1
> log
a
x
2
,
1
na podstawie:
1. W.Leksi´
nski, B.Macukow, W. ˙
Zakowski Matematyka dla maturzyst´
ow - definicje, twierdzenia, wzory,
przyk lady, WNT, Warszawa 1994.
2. W. ˙
Zakowski Matematyka dla kandydat´
ow na wy˙zsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,
Warszawa 1994.
1