dr inż. Marian Poniewiera
marzec 2007
Materiały powielane powstały na podstawie wykładów pracowników Zakładu Geodezji i Ochrony Terenów Górniczych Pol. Śl.
w Gliwicach oraz na podstawie literatury i nie stanowią publikacji w rozumieniu ustawy o prawach autorskich.
PODSTAWY OBLICZEŃ GEODEZYJNYCH
W teorii pomiarów wyróżnia się następujące określenia wielkości mierzalnych:
•
wielkość projektowana (nominalna),
•
wielkość tolerowana,
•
wielkość graniczna,
•
wielkość rzeczywista,
•
wielkość zmierzona (metrologiczna).
Różnice między tymi wielkościami nazywamy odchyłkami i odróżniamy: odchyłki dopuszczalne
(mieszczące się w granicach norm lub przepisów) i odchyłki niedopuszczalne ( nie mieszczące się
w w/w granicach).
Przedział ufności
P(x
0
– tm < x< x
0
+ tm) = 1 – α
α – współczynnik istotności
1 – α – współczynnik ufności
t – parametr odczytywany z tablic rozkładu normalnego dla zadanego poziomu ufności,
m – błąd średni.
Trzy podstawowe grupy błędów:
•
błędy grube, czyli pomyłki lub pomiar wykonany niewłaściwie,
•
błędy systematyczne,
•
błędy przypadkowe (losowe).
Źródłem błędów pomiaru są:
•
niedokładność zmysłów obserwatora,
•
niedokładność narzędzi pomiarowych,
•
wpływ warunków zewnętrznych.
Rozkład błędów losowych (spostrzeżeń)
Wielkość najprawdopodobniejsza
X
śr
=
[
X
i
]
n
Błąd pozorny – różnica między wielkością najprawdopodobniejszą X
śr
, a poszczególnymi
spostrzeżeniami X
i
.
=X
śr
− X
i
Metoda najmniejszych kwadratów
Średni błąd pojedynczego pomiaru m
0
[νν] = min
m
0
=
[
]
n
−1
1
Średni błąd średniej arytmetycznej z n pomiarów
Błąd przeciętny
Błąd graniczny – jest równy trzem błędom średnim
M
max
= 3m
Błąd średni sumy (lub różnicy) wielkości mierzonych
F = x
1
± x
2
± x
3
± ... ± x
n
Średni błąd funkcji F = f(X, Y,..., Z)
Obliczenie najprawdopodobniejszej wartości kąta i wartości błędu średniego
Rezultaty
pomiarów
a
i
n
i
= x
śr
-
a
i
nn
Obliczenia
30
0
51
′
14"
20"
18"
22"
16"
+
-
-
+
4"
2"
0
4"
2"
16
4
0
16
4
Σ
a
ι
= 90
"
Σ
n = 0
40
śr
=
i
n
=30
0
51
'
18
' '
Błąd średni pojedynczego
spostrzeżenia
Błąd średni średniej arytmetycznej
Przykład. Z jakim błędem średnim można wyznaczyć pole trójkąta, jeżeli wysokość w = 40 m
(zadanie wykonać także dla w = 20+n, gdzie n<1,30>) pomierzono z błędem średnim m
w
= 0,02 m,
zaś podstawę a = 60 m pomierzono z błędem średnim m
a
= ± 0,03 m, a wiadomo że P = aw/2.
Rozwiązanie:
m
P
=
1
4
w
2
m
a
2
1
4
a
2
m
w
2
=0,85 m
2
2
m
F
=
m
1
2
m
2
2
m
3
2
...m
n
2
M
=
m
0
n
d
=
[
]
n
Tolerancja budowlana-
Jest to różnica między projektem a realizacją
(dl)
2
= (dl
t
)
2
+ (dl
b
)
2
gdzie: dl
t
– tyczenia, dl
b
– prac budowlanych
dl
t
= dl
b
= 0,7 dl
Aby uzyskać błąd graniczny należy uwzględnić poziom ufności
m
t
dl
t
/r, gdzie r – poziom ufności
r = 2 p = 95%
r = 2,5 p = 98%
r = 3 p = 99%
dla
r = 2,5 m
t
= 0,28 dl ±4
Dodawanie, mnożenie i transpoza macierzy
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn dwóch macierzy
Transpoza macierzy
Wzory rachunkowe Hausbrandta
3
25,40
59,45
52,70
12,10
35.33
27.37
Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych
Rzutowanie punktów na prostą
Przecięcie okręgu prostą
Literatura:
1. Przewłocki S.: Geodezja dla kierunków niegeodezyjnych. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2002r.
2. Hausbrandt S.: Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne. Tom I. Państwowe
Przedsiębiorstwo Wydawnictw Kartograficznych, Warszawa 1970.
4