Wykłady z Elektrotechniki
Wykłady z Elektrotechniki
teoretycznej
teoretycznej
Wykład 16
Wykład 16
a. Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska
występujące przy sprzężeniu magnetycznym
b. Połączenie szeregowe elementów sprzężonych
magnetycznie
c. Połączenie równoległe elementów sprzężonych
magnetycznie
d. Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
MENU
EXIT
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Indukcyjność własna
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Indukcyjnością własną
cewki nazywamy stosunek
strumienia skojarzonego z cewką
Ψ
do prądu
I
płynącego
przez cewkę.
I
L
Ψ
=
Indukcyjność własną oznaczamy przez
L
. Jednostką
indukcyjności jest jeden henr (1H).
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Zmiany natężenia prądu i w obwodzie powodują zmianę strumienia
indukcji, a w konsekwencji powstanie siły elektromotorycznej
ε
.
dt
di
L
dt
d
ji
samoindukc
−
=
φ
−
=
ε
Znak minus reprezentuje regułę Lenza:
"
powstająca siła elektromotoryczna przeciwdziała zmianom prądu
"
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Indukcyjność własna cewki zależy od liczby zwojów , gęstości
nawinięcia, rozmiarów geometrycznych i kształtu. Dla cewki o
długości
l
,
liczbie zwojów na jednostkę długości
n
i powierzchni
przekroju
S
, w próżni indukcyjność własną określa zależność:
l
S
n
µ
L
2
0
=
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Sprzężenie magnetyczne
Dwa elementy usytuowane względem
siebie w taki sposób, że pole
magnetyczne jednego z nich przenika,
choćby częściowo, element drugi
nazywamy elementami
sprzężonymi
magnetycznie
.
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Elementy sprzężone magnetycznie
Φ
11
Φ
22
Φ
g1
Φ
g2
Φ
s1
Φ
s2
Prąd przepływa przez element 1
Prąd przepływa przez element 2
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Strumień główny i rozproszenia
Przy przepływie prądu i
1
powstaje strumień magnetyczny
Φ
11
. Strumień ten obejmuje element 1 a jego część którą
oznaczamy
Φ
g1
nazywamy
strumieniem głównym
cewki
1 obejmuje element 2. Pozostałą część strumienia
Φ
11
która nie dochodzi do cewki 2 nazywamy
strumieniem
rozproszenia
i oznaczamy przez
Φ
s1
.
Φ
11
= Φ
g1
+ Φ
s1
i analogicznie dla cewki 2:
Φ
22
= Φ
g2
+ Φ
s2
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Strumień skojarzony
Jeśli elementy indukcyjne mają odpowiednio
n
1
i
n
2
zwojów i przez każdy zwój przenika taki sam strumień, to
strumienie skojarzone
od poszczególnych strumieni
wynoszą:
Ψ
11
= n
1
Φ
11
Ψ
22
= n
2
Φ
22
Ψ
12
= n
2
Φ
g1
Ψ
21
= n
1
Φ
g2
Ψ
g1
= n
1
Φ
g1
Ψ
g2
= n
2
Φ
g2
Ψ
s1
= n
1
Φ
s1
Ψ
s2
= n
2
Φ
s2
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Indukcyjność wzajemna
Stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce
pierwszej 1 i skojarzonego z cewką drugą 2, do prądu płynącego w
cewce pierwszej nazywamy
indukcyjnością wzajemną
cewki
pierwszej z drugą i oznaczamy przez
M
12
.
1
12
12
i
M
Ψ
=
Między indukcyjnościami własnymi cewek a indukcyjnością
wzajemną zachodzi zależność:
2
1
L
L
k
M
=
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Indukcyjności własne i wzajemne elementów
- indukcyjności własne:
- indukcyjności wzajemne:
1
11
1
1
11
1
i
n
i
L
φ
=
Ψ
=
2
22
2
2
22
2
i
n
i
L
φ
=
Ψ
=
1
1
2
1
12
12
i
n
i
M
g
φ
=
Ψ
=
2
2
1
2
21
21
i
n
i
M
g
φ
=
Ψ
=
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
- indukcyjności główne
2
2
2
2
2
2
i
n
i
L
g
g
g
φ
=
Ψ
=
1
1
1
1
1
1
i
n
i
L
g
g
g
φ
=
Ψ
=
- indukcyjności rozproszenia
2
2
2
2
2
2
i
n
i
L
s
s
s
φ
=
Ψ
=
1
1
1
1
1
1
i
n
i
L
s
s
s
φ
=
Ψ
=
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Współczynnik sprzężenia
Współczynnikiem sprzężenia
cewki pierwszej z drugą (drugiej z
pierwszą) nazywamy stosunek sprzężenia magnetycznego głównego
cewki pierwszej (drugiej) do strumienia całkowitego tej cewki.
11
1
1
φ
φ
g
k
=
22
2
2
φ
φ
g
k
=
Współczynnik sprzężenia obu cewek
:
2
1
* k
k
k
=
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Współczynnik rozproszenia
Współczynnikiem rozproszenia
nazywamy stosunek strumienia
magnetycznego rozproszenia do strumienia całkowitego.
22
2
2
φ
φ
σ
s
=
11
1
1
φ
φ
σ
s
=
Współczynnik sprzężenia i rozproszenia dopełniają się do jedności:
k
2
+ σ
2
= 1
k
1
+ σ
1
= 1
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Dwie cewki sprzężone magnetycznie nawinięte na
wspólnym rdzeniu, każda zasilana napięciem
sinusoidalnym.
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Schemat zastępczy.
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Całkowity strumień magnetyczny
Skojarzony z cewką pierwszą
Ψ
1
= n
1
(Φ
11
+ Φ
g2
) = Ψ
11
+ Ψ
21
Skojarzony z cewką drugą
Ψ
1
= n
2
(Φ
22
+ Φ
g1
) = Ψ
22
+ Ψ
12
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Równanie bilansu napięć chwilowych
dt
d
dt
d
i
R
dt
d
i
R
e
21
11
1
1
1
1
1
1
Ψ
Ψ
Ψ
+
+
=
+
=
dt
d
dt
d
i
R
dt
d
i
R
e
12
22
2
2
2
2
2
2
Ψ
Ψ
Ψ
+
+
=
+
=
dt
di
M
dt
di
L
i
R
e
2
1
1
1
1
1
+
+
=
dt
di
M
dt
di
L
i
R
e
1
2
2
2
2
2
+
+
=
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Napięcie indukcji własnej
dt
di
L
u
L
2
2
2
=
dt
di
L
u
L
1
1
1
=
Napięcie indukcji wzajemnej
dt
di
M
u
M
2
2
=
dt
di
M
u
M
1
1
=
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Wartość skuteczna napięcia indukcji własnej
U
L1
= ωL
1
I
1
U
L2
= ωL
2
I
2
Wartość skuteczna napięcia indukcji wzajemnej
U
M1
= ωMI
1
U
M2
= ωMI
2
EXIT
MENU
Wykład 16 – Indukcyjność własna i wzajemna cewek, zjawiska występujące przy sprzężeni
magnetycznym
Równania w postaci zespolonej
e
1
= u
R1
+ u
L1
+ u
M2
e
2
= u
R2
+ u
L2
+ u
M1
E
1
= R
1
I
1
+ jX
L1
I
1
+jX
M
I
2
E
2
= R
2
I
2
+ jX
L2
I
2
+jX
M
I
1
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Połączenie szeregowe elementów
sprzężonych magnetycznie
Istnieją dwa sposoby połączenia cewek:
- zgodne
- przeciwne
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Połączenie zgodne
Przy połączeniu zgodnym prądy w obu cewkach mają jednakowe
zwroty względem zacisków jednoimiennych. Strumienie indukcji
własnej i wzajemnej w każdej cewce dodają się i napięcie indukcji
wzajemnej ma znak plus( + ).
Wartości chwilowe napięć na elementach
dt
di
M
dt
di
L
i
R
u
+
+
=
1
1
1
dt
di
M
dt
di
L
i
R
u
+
+
=
2
2
2
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Napięcie w postaci zespolonej
U
1
= R
1
I + jωL
1
I + jωMI
U
2
= R
2
I + jωL
2
I + jωMI
Napięcie całkowite na zaciskach układu cewek połączonych
szeregowo zgodnie:
U = U
1
+U
2
= [R
1
+R
2
+jω(L
1
+L
2
+2M) ]*I = Z
zg
*I
Z
zg
=R
1
+R
2
+jω(L
1
+L
2
+2M)
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Wykres wektorowy
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Połączenie przeciwne
Przy połączeniu przeciwnym prądy w obu cewkach mają różne zwroty
względem zacisków jednoimiennych. Strumień indukcji własnej i
wzajemnej w każdej cewce odejmuje się i napięcie indukcji wzajemnej
ma znak minus( - ).
Wartości chwilowe napięć na elementach
dt
di
M
dt
di
L
i
R
u
−
+
=
2
2
2
dt
di
M
dt
di
L
i
R
u
−
+
=
1
1
1
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Napięcie w postaci zespolonej
U
1
= R
1
I + jωL
1
I - jωMI
U
2
= R
2
I + jωL
2
I - jωMI
Napięcie całkowite na zaciskach układu cewek połączonych
szeregowo przeciwnie:
U = U
1
+U
2
= [R
1
+R
2
+jω(L
1
+L
2
-2M) ]*I = Z
p
*I
Z
p
=R
1
+R
2
+jω(L
1
+L
2
-2M)
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Wykres wektorowy
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie
Na podstawie pomiaru impedancji zastępczej przy
połączeniu szeregowym zgodnym i przeciwnym
można wyznaczyć indukcyjność wzajemną M:
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie równoległe elementów sprzężonych magnetycznie
Połączenie równoległe elementów
sprzężonych magnetycznie
- zgodne
- przeciwne
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie równoległe elementów sprzężonych magnetycznie
Połączenie równoległe zgodne
Równania:
I = I
1
+ I
2
(R
1
+ jωL
1
)*I
1
+ jωMI
2
= U
(R
2
+ jωL
2
)*I
2
+ jωMI
1
= U
Oznaczmy:
Z
1
= R
1
+ jωL
1
Z
2
= R
2
+ jωL
2
Z
M
= jωM
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie równoległe elementów sprzężonych magnetycznie
Prąd dopływający do połączenia
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie równoległe elementów sprzężonych magnetycznie
Połączenie równoległe przeciwne
Równania:
I = I
1
+ I
2
(R
1
+ jωL
1
)*I
1
+ jω(-M)I
2
= U
(R
2
+ jωL
2
)*I
2
+ jω(-M)I
1
= U
Oznaczmy:
Z
1
= R
1
+ jωL
1
Z
2
= R
2
+ jωL
2
Z
M
= jω(-M)
EXIT
MENU
Wykład 16 – Połączenie równoległe elementów sprzężonych magnetycznie
Prąd dopływający do połączenia
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Metody analizy obwodów magnetycznych
Prawa Kirchhoffa
Przy analizie obwodów zawierających cewki magnetycznie sprzężone
wygodnie jest przedstawić II prawo Kirchhoffa w następującej postaci:
∑
∑
∑
=
+
k
k
n
k
kn
k
k
e
dt
di
M
u
∑
k
k
u
dt
di
M
n
k
kn
∑
∑
k
k
e
Suma algebraiczna sum elektromotorycznych działających w obwodzie
Suma algebraiczna napięć na elementach z wyłączeniem napięć indukowanych
w cewkach sprzężonych magnetycznie
Suma algebraiczna napięć indukowanych w wyniku indukcji wzajemnej
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Przykład
0
)
(
1
2
1
1
1
1
1
1
=
−
−
+
+
+
∫
U
dt
di
M
dt
i
C
dt
di
L
i
R
0
)
(
1
1
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
+
∫
dt
di
M
dt
di
L
dt
i
C
i
R
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Zastąpienie układu ze sprzężeniem układem bez sprzężenia
Cewki dołączone do węzła zaciskami jednoimiennymi
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Równania dla powyższego układu są następujące:
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Po odpowiednim podstawieniu otrzymujemy:
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Cewki dołączone do węzła zaciskami różnoimiennymi
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Równania dla powyższego układu są następujące:
EXIT
MENU
Wykład 16 – Metody analizy obwodów magnetycznych sprzężonych
Po odpowiednim podstawieniu otrzymujemy:
EXIT
MENU