background image

G

e

o

m

e

tr

ia

 e

li

p

s

o

id

y

G

e

o

m

e

tr

ia

 e

li

p

s

o

id

y

J

a

n

u

s

z

 W

a

lo

J

a

n

u

s

z

 W

a

lo

J

a

n

u

s

z

 W

a

lo

v

e

r

v

e

r

v

e

r

1.

1

 (

1

0.

2

0

0

8)

1.

1

 (

1

0.

2

0

0

8)

1.

1

 (

1

0.

2

0

0

8)

background image

(C

jw

(C

jw

2

2

/

3

2

/

3

2

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

(1

)

(1

)

d

n

o

  o

ce

a

n

ó

w

el

ip

so

id

a

p

o

w

ie

rz

ch

n

ie

 p

o

zi

o

m

e

p

o

zi

om

 m

o

rz

a

N

H

P

lin

ia

pio

nu

g

eo

id

a

el

ip

so

id

a

po

w

ie

rz

ch

n

ia

 l

ąd

ów

background image

(C

jw

(C

jw

3

3

/

3

2

/

3

2

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

(2

)

(2

)

a

b

ω

a

b

a

f

=

2

2

2

2

a

b

a

e

=

2

2

2

2

b

b

a

e

=

=

 2

9

8

.2

5

7

=

 2

9

8

.2

5

7

-

-

1

1

±

±

5

5

×

×

1

0

1

0

-

-

6

6

a

 =

 6

 3

7

8

 1

3

7

 m

 

a

 =

 6

 3

7

8

 1

3

7

 m

 

±

±

3

 m

3

 m

background image

(C

jw

(C

jw

4

4

/

3

2

/

3

2

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

(3

)

(3

)

2

1

1

1

e

a

b

f


=

=

e

e

e

2

2

2

1

=

+

2

2

2

1

'

e

e

e

=

b

a

e

=

1

2

,

1

2

e

b

a

=

(

)

(

)

1

1

1

2

2

+

=

e

e

f

e

f

f

e

2

,

2

2

2

2

=

background image

(C

jw

(C

jw

5

5

/

3

2

/

3

2

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

E

li

p

s

o

id

a

 o

b

ro

to

w

a

 

(4

)

(4

)

1

2

2

2

2

2

=
+

+

b

z

a

y

x

τ

=

=

+

a

b

e

2

2

2

1

2

1

1

e

a

lb

o


=

τ

2

2

2

2

a

z

y

x

=

+
+

τ

background image

(C

jw

(C

jw

6

6

/

3

2

/

3

2

W

s

p

W

s

p

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

d

n

d

 g

d

o

d

d

z

y

jn

d

d

n

d

 g

d

o

d

d

z

y

jn

d

ω

x

y

z

N

p

S

x

y

P

a

b

O

z

B

 =

 B

p

L

p

B

 =

 B

o

L =

 L

o

n

B

p

L

p

no

rm

al

na

 el

ip

so

id

y

w

 p

un

kc

ie

 P

S

z

e

ro

k

o

ś

ć

g

e

o

d

e

z

y

jn

a

 B

(0

o

÷±

9

0

o

)

N

S

D

łu

g

o

ś

ć

g

e

o

d

e

z

y

jn

a

 L

(0

0

÷3

6

0

o

  

  

  

  

lu

b

 (

0

o

÷±

1

8

0

o

)

E

E

W

background image

(C

jw

(C

jw

7

7

/

3

2

/

3

2

P

ro

m

id

P

ro

m

id

ń

ń

k

rz

y

w

iz

n

y

 p

o

k

rz

y

w

iz

n

y

 p

o

ł

ł

u

d

n

ik

a

 

u

d

n

ik

a

 

(1

)

(1

)

B

 +

 9

0

o

d

p

d

z

T

x/

y

P

B

d

s

P

'

p

B

d

B

O

O

p

M

N

ω

z

d

B

d

s

M

=

d

B

d

p

B

M

si

n

1

=

co

tB

a

p

z

b

d

p

d

z

=

=

2

2

background image

(C

jw

(C

jw

8

8

/

3

2

/

3

2

P

ro

m

id

P

ro

m

id

ń

ń

k

rz

y

w

iz

n

y

 p

o

k

rz

y

w

iz

n

y

 p

o

ł

ł

u

d

n

ik

a

 

u

d

n

ik

a

 

(2

)

(2

)

B

 +

 9

0

o

d

p

d

z

T

x/

y

P

B

d

s

P

'

p

B

d

B

O

O

p

M

N

ω

z

B

e

B

a

p

2

2

si

n

1

co

s

=

B

e

B

e

a

z

2

2

2

si

n

1

si

n
)

1(

=

3

2

2

2

)

si

n

1(

)

1(

B

e

e

a

M

=

background image

(C

jw

(C

jw

9

9

/

3

2

/

3

2

P

ro

m

id

P

ro

m

id

ń

ń

k

rz

y

w

iz

n

y

 I

 w

d

rt

y

k

a

k

rz

y

w

iz

n

y

 I

 w

d

rt

y

k

a

ł

ł

u

u

N

S

O

B

N

P

B

st

y

cz

n

a

w

n

o

le

żn

ik

 I

 w

er

ty

ka

ł

p

B

e

a

N

2

2

si

n

1−

=

p

 =

 N

 c

o

B

background image

(C

jw

(C

jw

1

0

1

0

/

3

2

/

3

2

P

ro

m

id

n

id

 d

li

p

s

o

id

y

 o

b

ro

to

w

d

j

P

ro

m

id

n

id

 d

li

p

s

o

id

y

 o

b

ro

to

w

d

j

N

M

a

b

M

2

0

=

N

0

=

 a

c

b

a

N

M

=

=

=

2

90

90

B

e

W

2

2

si

n

1−
=

B

e

V

2

2

co

s

1

+
=

3

3

2

)

1(

V

c

W

e

a

M

=

=

V

c

W

a

N

=
=

2

V

N

M

=

background image

(C

jw

(C

jw

1

1

1

1

/

3

2

/

3

2

Ś

Ś

rd

d

n

p

ro

m

id

rd

d

n

p

ro

m

id

ń

ń

k

rz

y

w

iz

n

y

k

rz

y

w

iz

n

y

N

A

M

A

R

A

2

2

1

si

n

co

s

+

=

T

w

ie

rd

ze

n

ie

 E

u

le

ra

m

ó

w

o

 t

y

m

że

k

rz

y

w

iz

n

ę

R

-1

d

o

w

o

ln

e

g

o

 p

rz

e

k

ro

ju

 

n

o

rm

a

ln

e

g

o

 o

 a

zy

m

u

ci

e

 A

m

o

żn

a

 

w

y

zn

a

cz

y

ć

n

a

 p

o

d

st

a

w

ie

 k

rz

y

w

iz

n

 

w

 k

ie

ru

n

k

a

ch

 g

łó

w

n

y

ch

 N

-1

M

-1

+

=

2

0

2

2

si

n

co

s

2

π

π

d

A

A

M

A

N

N
M

R

S

2

V

c

N
M

R

S

=

=

Ś

re

d

n

p

ro

m

ie

ń

w

 p

u

n

k

ci

e

 –

cz

ę

st

o

 

st

o

so

w

a

n

y

 w

 g

e

o

d

e

zj

w

y

ż

sz

e

d

o

 

ro

zw

za

n

ia

 z

a

d

a

ń

n

a

 k

u

li

background image

(C

jw

(C

jw

1

2

1

2

/

3

2

/

3

2

Z

m

ia

n

a

 d

Z

m

ia

n

a

 d

ł

ł

u

g

o

u

g

o

ś

ś

c

M,

 N

 i

 R

c

M,

 N

 i

 R

6

3

3

0

6

3

4

0

6

3

5

0

6

3

6

0

6

3

7

0

6

3

8

0

6

3

9

0

6

4

0

0

6

4

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

M

N

R

background image

(C

jw

(C

jw

1

3

1

3

/

3

2

/

3

2

S

ze

ro

ko

S

ze

ro

ko

ś

ś

ci

 g

eo

ce

n

tr

yc

zn

a

ci

 g

eo

ce

n

tr

yc

zn

a

S

z

e

ro

k

o

ś

ć

g

e

o

c

e

n

tr

y

c

z

n

a

n

a

zy

w

a

m

y

 k

ą

ψ

ja

k

tw

o

rz

y

 p

ro

m

ie

ń

w

o

d

cy

 p

u

n

k

tu

 

P

p

o

ło

ż

o

n

e

g

o

 n

a

 e

lip

so

id

zi

e

 z

 p

ła

sz

cz

y

zn

ą

w

n

ik

a

ta

=

z

p

ta

n

 ψ

=

 (

1

 -

e

2

ta

n

 

B

x

y

z

r

L

L

  

  

=

  

  

co

s

co

s

co

s

co

s

si

n

ψ

ψ

ψ

r

x

y

z

=

+

+

2

2

2

r

a

e

e

=

1

1

2

2

2

co

s

ψ

B

e

B

ψ

2

2

2
si

n

(

)

.

m

ax

(

)

B

B

o

=

ψ

4

5

1

1

6

background image

(C

jw

(C

jw

1

4

1

4

/

3

2

/

3

2

S

ze

ro

ko

S

ze

ro

ko

ś

ś

ci

 z

re

d

u

ko

w

an

a

ci

 z

re

d

u

ko

w

an

a

S

z

e

ro

k

o

ś

ć

z

re

d

u

k

o

w

a

n

ą

n

a

zy

w

a

m

y

 k

ą

β

ja

k

tw

o

rz

y

 p

ro

m

ie

ń

w

o

d

cy

 p

u

n

k

tu

 

P

*

p

o

ło

ż

o

n

e

g

o

 n

a

 s

fe

rz

e

 z

 p

ła

sz

cz

y

zn

ą

w

n

ik

a

.

P

u

n

k

P

*

o

tr

zy

m

u

je

m

y

 r

zu

tu

p

u

n

k

P

  

e

lip

so

id

y

 n

a

 s

fe

o

 p

ro

m

ie

n

iu

 

a

 

p

ro

st

ą

w

n

o

le

g

łą

d

o

 o

si

 O

Z

ta

=


a

p

p

2

2

B

e

ta

n

1

ta

n

2

=

β

B

e

B

β

1

4

2

2

si

n

(

)

.

m

ax

(

)

B

B

o

=

β

4

5

5

8

background image

(C

jw

(C

jw

1

5

1

5

/

3

2

/

3

2

R

R

ó

ó

w

n

an

ia

 p

ar

am

et

ry

cz

n

el

ip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

w

n

an

ia

 p

ar

am

et

ry

cz

n

el

ip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

(1

)

(1

)

p

=

 

N

co

s

B

z

=

 

N

(1

 -

e

2

si

n

 

B

y

=

 

p

si

n

 

L

x

=

 

p

co

s

L

x

y

z

N

B

L

B

L

B

e

  

  

=

  

  

=

co

s

co

s

co

s

si

n

si

n

,

,

τ

τ

1

1

2

1

W

ia

d

o

m

o

ż

e

:

o

ra

z

S

k

ą

d

 p

a

ra

m

e

tr

y

cz

n

e

 r

ó

w

n

a

n

ia

 e

lip

so

id

y

 o

b

ro

to

w

e

p

rz

y

jm

ą

p

o

st

a

ć

:

background image

(C

jw

(C

jw

1

6

1

6

/

3

2

/

3

2

W

ek

to

n

o

rm

al

n

d

o

 e

lip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

 

W

ek

to

n

o

rm

al

n

d

o

 e

lip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

 

(

)

L

L

oy
n

L

n
ox

B

B

oz

n

o

sin

)

90

cos(

)
,

cos(

cos

)
,

cos(

sin

90

cos
)
,

cos(

n

n

y
n

n

n
x

z
n

=

=

=

⋅′

=

=′

=

=

=

D

e

fi

n

iu

k

ie

ru

n

k

o

si

 u

k

ła

d

u

 p

ro

st

o

k

ą

tn

e

g

o

 i

 k

ie

ru

n

e

k

 n

o

rm

a

ln

e

w

 

p

u

n

k

ci

e

 p

rz

e

w

e

rs

o

ry

x

,

y

,

z

n

m

o

ż

e

m

y

 z

a

p

is

a

ć

:

g

d

zi

e

 n

to

 r

zu

w

e

k

to

ra

 n

n

a

 p

ła

sz

cz

y

zn

ę

o

x

y

o

ra

ic

h

 i

lo

cz

y

n

 s

k

a

la

rn

y

:

(

)

B

n
n

co

s

)

,

co

s(

n

n
n

=

=

⋅′

M

n

o

żą

st

ro

n

a

m

d

w

a

 o

st

a

tn

ie

 r

ó

w

n

a

n

ia

 w

zo

ru

 (

*

p

rz

e

w

n

a

n

ie

 (

*

*

d

o

st

a

je

m

y

 o

st

a

te

cz

n

ie

 z

a

le

ż

n

o

ś

ci

 n

a

 w

e

k

to

n

o

rm

a

ln

y

 d

o

 e

lip

so

id

y

 

o

b

ro

to

w

e

j.

(*

)

(*

*

)

background image

(C

jw

(C

jw

1

7

1

7

/

3

2

/

3

2

R

R

ó

ó

w

n

an

ia

 p

ar

am

et

ry

cz

n

el

ip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

w

n

an

ia

 p

ar

am

et

ry

cz

n

el

ip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

(2

)

(2

)

=

B

L

B

L

B

sin

sin

cos

cos

cos

n

F

=

 

d

ia

g

(1

1

τ)

 

n
F

r

1

=

=

N

z

y

x

e

r

=

 r

e

 

+

n

H

 

W

e

k

to

n

o

rm

a

ln

y

 

d

o

 e

lip

so

id

y

D

ia

g

o

n

a

ln

a

 m

a

ci

e

rz

 k

sz

ta

łt

u

background image

(C

jw

(C

jw

1

8

1

8

/

3

2

/

3

2

R

R

ó

ó

w

n

an

ia

 p

ar

am

et

ry

cz

n

el

ip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

w

n

an

ia

 p

ar

am

et

ry

cz

n

el

ip

so

id

o

b

ro

to

w

ej

(3

)

(3

)

W

e

k

to

w

o

d

cy

 p

u

n

k

tu

 n

a

 f

.p

.Z

.

w

 f

u

n

k

cj

w

sp

ó

łr

d

n

y

ch

 

g

e

o

d

e

zy

jn

y

ch

(

)
(

)

+

+

+

= 

=

B

H

e

N

L

B

H

N

L

B

H

N

z

y

x

si

n

1

si

n

co

s

)

(

co

s

co

s

)

(

2

r

r

=

 r

e

 

+

n

H

 

background image

(C

jw

(C

jw

1

9

1

9

/

3

2

/

3

2

M

et

o

d

M

et

o

d

H

ir

vo

n

en

a

H

ir

vo

n

en

a

p

rz

el

ic

ze

n

ie

 (

p

rz

el

ic

ze

n

ie

 (

xy

z

xy

z

-

-

>

B

L

H

(1

)

>

B

L

H

(1

)

B

H

N

y

x

p

co

s

)

(

2

2

+

=

+

=

(

)

1

2

)

0

(

1

ta

n

=

=

e

p

z

B

k

N

a

e

B

B

a

e

B

k

k

k

k

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

s

in

c

o

s

s

in

=

+

=

1

1

2

2

2

2

2

)
(

)
(

)
(

co

s

k

k

k

N

B

p

H

=

1.

 

O

b

lic

za

m

y

:

2.

 L

ic

zy

m

p

ie

rw

sz

p

rz

yb

liż

en

ie

 B

:

3.

 O

b

lic

za

m

N

 i 

H

 d

la

 a

kt

u

al

n

ej

 w

ar

to

śc

i B

:

background image

(C

jw

(C

jw

2

0

2

0

/

3

2

/

3

2

M

et

o

d

M

et

o

d

H

ir

vo

n

en

a

H

ir

vo

n

en

a

p

rz

el

ic

ze

n

ie

 (

p

rz

el

ic

ze

n

ie

 (

xy

z

xy

z

-

-

>

B

L

H

(2

)

>

B

L

H

(2

)

 

 

 

 

 

 

+

=

+

1

)
(

)
(

)
(

2

1

)

1

(

1

ta

n

k

k

k

k

H

N

N

e

p

z

B

B

B

k

k

(

)

+

<

1

ε

1

0000,

0

′′

=

ε

4.

 L

ic

zy

m

ko

le

jn

p

rz

yb

liż

en

ie

 B

:

5.

 S

p

ra

w

d

za

m

y,

 c

zy

 s

p

n

io

n

je

st

 w

ar

u

n

ek

:

gdz

ie

 n

p

.:

   

background image

(C

jw

(C

jw

2

1

2

1

/

3

2

/

3

2

M

et

o

d

M

et

o

d

H

ir

vo

n

en

a

H

ir

vo

n

en

a

p

rz

el

ic

ze

n

ie

 (

p

rz

el

ic

ze

n

ie

 (

xy

z

xy

z

-

-

>

B

L

H

(3

)

>

B

L

H

(3

)

 

 

=

x

y

L

1

tan

N

a

e

B

=

1

2

2

s

in

N

B

p

H

=

co

s

Je

śl

i w

ar

u

n

ek

 n

ie

 je

st

 s

p

n

io

n

to

 w

ra

ca

m

d

o

 p

u

n

kt

u

 3

, w

 p

rz

ec

iw

n

ym

 

w

yp

ad

ku

 o

b

lic

za

m

o

st

at

ec

zn

w

ar

to

śc

i L

, N

 i 

H

 d

la

 o

st

at

n

ie

j w

ar

to

śc

i B

background image

(C

jw

(C

jw

2

2

2

2

/

3

2

/

3

2

W

a

W

a

ż

ż

n

ie

js

n

e

 k

rn

y

w

e

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

 n

a

 

n

ie

js

n

e

 k

rn

y

w

e

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

 n

a

 

e

li

p

s

o

id

n

ie

 o

b

ro

to

w

e

j

e

li

p

s

o

id

n

ie

 o

b

ro

to

w

e

j

W

 z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

ch

 ra

ch

u

n

k

o

w

y

ch

 g

e

o

d

e

zj

w

y

r

W

 z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

ch

 ra

ch

u

n

k

o

w

y

ch

 g

e

o

d

e

zj

w

y

r

ó

ó

ż

ż

n

ia

 s

i

n

ia

 s

i

ę

ę

zw

y

k

le

 t

rz

y

 

zw

y

k

le

 t

rz

y

 

p

o

d

st

a

w

o

w

e

 k

rz

y

w

e

 n

a

 e

lip

so

id

zi

e

 o

b

ro

to

w

e

j:

p

o

d

st

a

w

o

w

e

 k

rz

y

w

e

 n

a

 e

lip

so

id

zi

e

 o

b

ro

to

w

e

j:

E

lip

sa

 w

ie

lk

a

E

lip

sa

 w

ie

lk

a

(a

n

a

lo

g

ia

 d

o

 k

o

(a

n

a

lo

g

ia

 d

o

 k

o

ł

ł

a

 w

ie

lk

ie

g

o

)

a

 w

ie

lk

ie

g

o

)

k

rz

y

w

a

 p

k

rz

y

w

a

 p

ł

ł

a

sk

a

 

a

sk

a

 

łą

łą

cz

cz

ą

ą

ca

 j

e

d

n

o

zn

a

cz

n

ie

 

ca

 j

e

d

n

o

zn

a

cz

n

ie

 

d

w

a

 p

u

n

k

ty

 n

a

 p

o

w

ie

rz

ch

n

e

lip

so

id

y

 i

 l

e

d

w

a

 p

u

n

k

ty

 n

a

 p

o

w

ie

rz

ch

n

e

lip

so

id

y

 i

 l

e

ż

ą

ż

ą

ca

 w

 p

ca

 w

 p

ł

ł

a

sz

cz

y

a

sz

cz

y

ź

ź

n

ie

 z

a

w

ie

ra

j

n

ie

 z

a

w

ie

ra

j

ą

ą

ce

ce

ś

ś

ro

d

e

k

 

ro

d

e

k

 

e

lip

so

id

y

.

e

lip

so

id

y

.

P

rz

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 w

za

je

m

n

e

P

rz

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 w

za

je

m

n

e

k

rz

y

w

a

 p

k

rz

y

w

a

 p

ł

ł

a

sk

a

 n

a

 p

o

w

ie

rz

ch

n

e

lip

so

id

y

 

a

sk

a

 n

a

 p

o

w

ie

rz

ch

n

e

lip

so

id

y

 

łą

łą

cz

cz

ą

ą

ca

 

ca

 

d

w

a

 p

u

n

k

ty

 i

 l

e

d

w

a

 p

u

n

k

ty

 i

 l

e

ż

ą

ż

ą

ca

 w

 p

ca

 w

 p

ł

ł

a

sz

cz

y

a

sz

cz

y

ź

ź

n

ie

 z

w

ie

ra

j

n

ie

 z

w

ie

ra

j

ą

ą

ce

n

o

rm

a

ln

ce

n

o

rm

a

ln

ą

ą

d

o

 e

lip

so

id

y

 w

 p

u

n

k

ci

e

 

d

o

 e

lip

so

id

y

 w

 p

u

n

k

ci

e

 

p

o

cz

p

o

cz

ą

ą

tk

o

w

y

m

P

rz

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 w

za

je

m

n

e

 

tk

o

w

y

m

P

rz

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 w

za

je

m

n

e

 

n

ie

 p

o

k

ry

w

a

j

n

ie

 p

o

k

ry

w

a

j

ą

ą

s

i

s

i

ę

ę

ze

 s

o

b

ze

 s

o

b

ą

ą

ze

 w

zg

l

ze

 w

zg

l

ę

ę

d

u

 

d

u

 

n

a

 w

ic

h

ro

w

a

to

n

a

 w

ic

h

ro

w

a

to

ś

ć

ś

ć

n

o

rm

a

ln

y

ch

 i

 w

 o

g

n

o

rm

a

ln

y

ch

 i

 w

 o

g

ó

ó

ln

y

m

 p

rz

y

p

a

d

k

u

 (

p

o

za

 r

ln

y

m

 p

rz

y

p

a

d

k

u

 (

p

o

za

 r

ó

ó

w

n

ik

ie

m

 i

 p

o

w

n

ik

ie

m

 i

 p

o

ł

ł

u

d

n

ik

a

m

i)

 

u

d

n

ik

a

m

i)

 

p

o

m

i

p

o

m

i

ę

ę

d

zy

 d

w

o

m

a

 p

u

n

k

ta

m

m

o

d

zy

 d

w

o

m

a

 p

u

n

k

ta

m

m

o

ż

ż

n

a

 p

o

p

ro

w

a

d

zi

n

a

 p

o

p

ro

w

a

d

zi

ć

ć

d

w

a

 p

rz

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 w

za

je

m

n

e

d

w

a

 p

rz

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 w

za

je

m

n

e

L

in

ia

 g

e

o

d

e

zy

jn

a

 (

o

rt

o

d

ro

m

a

)

L

in

ia

 g

e

o

d

e

zy

jn

a

 (

o

rt

o

d

ro

m

a

)

n

a

jk

r

n

a

jk

r

ó

ó

ts

z

a

 i

 j

e

d

n

o

z

n

a

c

z

n

a

ts

z

a

 i

 j

e

d

n

o

z

n

a

c

z

n

a

lin

ia

 

lin

ia

 

łą

łą

cz

cz

ą

ą

ca

 d

w

a

 

ca

 d

w

a

 

p

u

n

k

ty

 n

a

 p

o

w

ie

rz

ch

n

i.

 M

a

te

m

a

ty

cz

n

ie

 l

in

ia

 g

e

o

d

e

zy

jn

a

 t

o

 t

a

k

a

 l

i

p

u

n

k

ty

 n

a

 p

o

w

ie

rz

ch

n

i.

 M

a

te

m

a

ty

cz

n

ie

 l

in

ia

 g

e

o

d

e

zy

jn

a

 t

o

 t

a

k

a

 l

i

n

ia

k

t

n

ia

k

t

ó

ó

re

n

o

rm

a

ln

a

 

re

n

o

rm

a

ln

a

 

g

g

ł

ł

ó

ó

w

n

a

 w

 k

a

w

n

a

 w

 k

a

ż

ż

d

y

m

 p

u

n

k

ci

e

 m

a

 k

ie

ru

n

e

k

 n

o

rm

a

ln

e

d

o

 p

o

w

ie

rz

ch

n

(e

lip

so

id

y

).

 

d

y

m

 p

u

n

k

ci

e

 m

a

 k

ie

ru

n

e

k

 n

o

rm

a

ln

e

d

o

 p

o

w

ie

rz

ch

n

(e

lip

so

id

y

).

 

background image

(C

jw

(C

jw

2

3

2

3

/

3

2

/

3

2

L

in

ia

 g

e

o

d

e

n

y

jn

a

 

L

in

ia

 g

e

o

d

e

n

y

jn

a

 

0

1

2

3

2

2

2

=

 

 

+

 

 

+

dB

dL

dB

dp

M

p

dB

dL

dB

dM

M

dB

dp

p

dL

B
d

0

)

(

=

⋅′′

×′
=

n

r

r

g

κ

R

ó

w

n

a

n

ie

 l

in

ii

 g

e

o

d

e

z

y

jn

e

m

o

ż

n

a

 z

a

p

is

a

ć

p

o

p

rz

e

z

 w

a

ru

n

e

k

 z

e

ro

w

e

w

a

rt

o

ś

c

k

rz

y

w

iz

n

y

 g

e

o

d

e

z

y

jn

e

(k

rz

y

w

iz

n

a

 r

zu

tu

 p

ro

st

o

k

ą

tn

e

g

o

 k

rz

y

w

e

n

a

 

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

st

y

cz

n

ą

d

o

 p

o

w

ie

rz

ch

n

i)

:

g

d

zi

e

 

r’

o

zn

a

cz

a

 w

e

k

to

st

y

cz

n

y

 d

o

 p

o

w

ie

rz

ch

n

i,

 

r”

w

e

k

to

k

rz

y

w

iz

n

y

a

n

 

w

e

k

to

n

o

rm

a

ln

y

 d

o

 p

o

w

ie

rz

ch

n

i.

P

o

 w

st

a

w

ie

n

iu

 d

la

 e

lip

so

id

y

 w

sp

ó

łr

d

n

y

ch

 g

e

o

d

e

zy

jn

y

ch

 B

 i

 L

 d

o

st

a

n

ie

m

y

 

w

n

a

n

ie

 r

ó

ż

n

ic

zk

o

w

e

 d

ru

g

ie

g

o

 r

d

u

 p

o

st

a

ci

:

(*

)

background image

(C

jw

(C

jw

2

4

2

4

/

3

2

/

3

2

P

o

d

s

ta

w

o

w

e

 r

P

o

d

s

ta

w

o

w

e

 r

ó

ó

w

n

a

n

ia

 r

w

n

a

n

ia

 r

ó

ó

ż

ż

n

ic

n

k

o

w

e

 

n

ic

n

k

o

w

e

 

p

ie

rw

s

n

e

g

o

 r

n

p

ie

rw

s

n

e

g

o

 r

n

ę

ę

d

u

 l

in

ii

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

j

d

u

 l

in

ii

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

j

M

A

ds

dB

co

s

=

B

N

A

ds

dL

co

s

si

n

=

background image

(C

jw

(C

jw

2

5

2

5

/

3

2

/

3

2

R

R

ó

ó

w

n

a

n

ie

 

w

n

a

n

ie

 

C

la

ir

a

u

n

ta

C

la

ir

a

u

n

ta

li

n

ii

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

j

li

n

ii

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

j

C

a

łk

o

w

a

n

ie

 r

ó

w

n

a

n

ia

 (

*

p

ro

w

a

d

zi

 d

o

 z

a

le

ż

n

o

ś

ci

:

co

n

st

c

A

B

N

=
=

si

n

co

s

R

ó

w

n

a

n

ie

 C

la

ir

a

u

n

ta

w

y

ra

ż

a

 w

ła

sn

o

ść

lin

ii 

g

e

o

d

e

zy

jn

e

m

ó

w

o

 t

y

m

ż

e

 i

lo

cz

y

n

 p

ro

m

ie

n

ia

 r

ó

w

n

o

le

ż

n

ik

a

 i

 s

in

u

sa

 a

zy

m

u

tu

 l

in

ii 

g

e

o

d

e

zy

jn

e

je

st

 

w

ie

lk

o

ś

ci

ą

st

a

łą

d

la

 c

a

łe

lin

ii.

 

S

ta

łą

c

m

o

ż

n

a

 i

n

te

rp

re

to

w

a

ć

ja

k

o

 p

ro

m

ie

ń

ta

k

ie

g

o

 r

ó

w

n

o

le

ż

n

ik

a

d

o

 

k

re

g

o

 l

in

ia

 g

e

o

d

e

zy

jn

a

 j

e

st

 s

ty

cz

n

a

a

 j

e

a

zy

m

u

w

y

n

o

si

 9

0

o

.

W

 f

u

n

k

cj

sz

e

ro

k

o

ś

ci

 z

re

d

u

k

o

w

a

n

e

w

n

a

n

ie

 p

rz

y

jm

ie

 p

o

st

a

ć

:

co

n

st

c

A

a

=
=

si

n

co

background image

(C

jw

(C

jw

2

6

2

6

/

3

2

/

3

2

R

R

ó

ó

w

n

a

n

ie

 r

w

n

a

n

ie

 r

ó

ó

ż

ż

n

ic

n

k

o

w

e

 p

ie

rw

s

n

e

g

o

 

n

ic

n

k

o

w

e

 p

ie

rw

s

n

e

g

o

 

rn

rn

ę

ę

d

u

 d

la

 a

n

y

m

u

tu

d

u

 d

la

 a

n

y

m

u

tu

B

A

ds

dp

si

n

co

s

=

N

B

A

ds

dA

ta

n

si

n

=

c

A

p

=

⋅s

in

0

si

n

co

s

=

d

s

d

p

A

d

s

d

A

A

p

R

ó

ż

n

ic

zk

u

w

n

a

n

ie

 C

la

ir

a

u

n

ta

p

o

 p

a

ra

m

e

tr

ze

 n

a

tu

ra

ln

y

m

 s

 

R

ó

w

n

a

n

ie

 r

ó

ż

n

ic

zk

o

w

e

 d

la

 a

zy

m

u

tu

:

background image

(C

jw

(C

jw

2

7

2

7

/

3

2

/

3

2

W

n

a

je

m

n

e

 p

rn

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 

W

n

a

je

m

n

e

 p

rn

e

k

ro

je

 n

o

rm

a

ln

e

 

li

n

ia

 g

e

o

d

e

n

y

jn

a

li

n

ia

 g

e

o

d

e

n

y

jn

a

2

⋅1

0

-8

 m

9

⋅1

0

-1

0

 m

2

⋅1

0

-1

1

 m

-

s

0

.1

1

2

0

.0

2

8

0

.0

0

7

α´

1

-

α

1

2

0

0

 k

m

1

0

0

 k

m

5

0

 k

m

s

=

...

2
sin

cos

12

1

1

2

2

2

2

1

1

+

=
−′

α

α

α

B

a

s

e

...

2

si

n

co

s

3

6

0

1

2

1

4

4

5

4

+

=

−′

α

B

a

s

e

s

s

background image

(C

jw

(C

jw

2

8

2

8

/

3

2

/

3

2

T

r

T

r

ó

ó

jk

jk

ą

ą

ty

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

 i

 i

c

h

 

ty

 g

e

o

d

e

n

y

jn

e

 i

 i

c

h

 

ro

n

w

i

ro

n

w

i

ą

ą

n

y

w

a

n

ie

n

y

w

a

n

ie

T

jk

ą

te

m

 g

e

o

d

e

zy

jn

y

m

je

st

 t

jk

ą

n

a

 p

o

w

ie

rz

ch

n

e

lip

so

id

y

 o

b

ro

to

w

e

u

tw

o

rz

o

n

y

 p

rz

e

tr

zy

 ł

u

k

lin

ii 

g

e

o

d

e

zy

jn

y

ch

R

o

zw

za

n

ie

m

 t

jk

ą

ta

g

e

o

d

e

zy

jn

e

g

o

 n

a

zy

w

a

m

y

 o

b

lic

ze

n

ie

 j

e

g

o

 e

le

m

e

n

w

 n

a

 p

o

d

st

a

w

ie

 t

rz

e

ch

 

zn

a

n

y

ch

 e

le

m

e

n

w

w

 t

y

m

 p

rz

y

n

a

jm

n

ie

je

d

n

e

g

o

 b

o

k

u

 i

 z

n

a

n

e

g

o

 j

e

g

o

 

p

o

ło

ż

e

n

ia

 n

a

 e

lip

so

id

zi

e

.

M

a

łe

 t

jk

ą

ty

 o

 b

o

k

a

ch

 d

o

 9

0

 k

m

 m

o

ż

n

a

 r

o

zw

zy

w

a

ć

n

a

 s

fe

rz

e

o

 

p

ro

m

ie

n

iu

 r

ó

w

n

y

m

 ś

re

d

n

ie

m

u

 p

ro

m

ie

n

io

w

k

rz

y

w

iz

n

y

 o

b

lic

zo

n

e

m

u

 d

la

 

ś

re

d

n

ie

a

ry

tm

e

ty

cz

n

e

sz

e

ro

k

o

ś

ci

 z

 w

ie

rz

ch

o

łk

ó

w

 t

jk

ą

ta

R

o

zw

zy

w

a

n

ie

 t

jk

ą

w

 g

e

o

d

e

zy

jn

y

ch

 m

ia

ło

 z

n

a

cz

e

n

ie

 w

 s

ie

ci

a

ch

 

tr

ia

n

g

u

la

cy

jn

y

ch

g

d

zi

e

 d

la

 o

b

lic

ze

n

ia

 w

sp

ó

łr

d

n

y

ch

 n

a

jp

ie

rw

 n

a

le

ż

a

ło

 

zn

a

le

źć

w

sz

y

st

k

ie

 b

o

k

w

 t

jk

ą

ta

ch

..

.

background image

(C

jw

(C

jw

2

9

2

9

/

3

2

/

3

2

N

a

d

m

ia

N

a

d

m

ia

((

k

(

(

(

(

)

((

k

(

(

(

(

)

s

fe

ry

c

n

n

y

s

fe

ry

c

n

n

y

ε

=

P

R

∆ 2

g

d

zi

e

 

P

o

zn

a

cz

a

 p

o

le

 t

jk

ą

ta

k

re

 

m

o

ż

n

a

 w

y

zn

a

cz

y

ć

ja

k

o

 p

o

le

 

tr

ó

jk

ą

ta

 p

ła

sk

ie

g

o

 n

p

.:

2

1

2

si

n

R

A

c

b

=

ε

R

  

to

 p

ro

m

ie

ń

sf

e

ry

n

a

 k

re

p

o

ło

ż

o

n

y

 j

e

st

 t

jk

ą

t

background image

(C

jw

(C

jw

3

0

3

0

/

3

2

/

3

2

Me

to

d

a

 

Me

to

d

a

 

L

e

g

e

n

d

re

L

e

g

e

n

d

re

a

a

T

w

ie

rd

ze

n

ie

 L

e

g

e

n

d

re

’a

m

ó

w

i,

 ż

e

 m

a

ły

 t

jk

ą

sf

e

ry

cz

n

y

 m

o

ż

n

a

 

ro

zw

za

ć

za

m

ie

n

ia

g

o

 n

a

 t

jk

ą

p

ła

sk

i,

 w

 k

ry

ch

 b

o

k

p

o

zo

st

a

w

n

e

 t

y

m

 n

a

 s

fe

rz

e

a

 k

a

ż

d

y

 k

ą

je

st

 z

m

n

ie

js

zo

n

y

 o

 1

/3

 n

a

d

m

ia

ru

 

sf

e

ry

cz

n

e

g

o

D

la

 t

jk

ą

w

 o

 b

o

k

a

ch

 w

k

sz

y

ch

 o

d

 9

0

 k

m

 s

to

su

je

 s

tz

w

ro

zs

ze

rz

o

n

e

 t

w

ie

rd

ze

n

ie

 L

e

g

e

n

d

re

’a

w

 k

ry

m

 u

w

zg

d

n

ia

 s

ż

n

ic

ę

p

o

m

d

zy

 p

o

le

m

 t

jk

ą

ta

 p

ła

sk

ie

g

o

 i

 s

fe

ry

cz

n

e

g

o

ε

ε

1

2

2

2

2

2

2

1

8

3

=

+

=

+

+

m

R

m

a

b

c

,

.

background image

(C

jw

(C

jw

3

1

3

1

/

3

2

/

3

2

Me

to

d

a

 a

d

d

it

a

m

e

n

t

Me

to

d

a

 a

d

d

it

a

m

e

n

t

ó

ó

w

 

w

 

(

(

S

o

ld

n

d

ra

S

o

ld

n

d

ra

)

)

Z

Z

m

iZ

Z

Z

 t

jką

tZ

 (f

(

ry(tZ

(

g

o

 Z

Z

 t

jką

p

łZ

(ki

 w

 t

(

m

(

to

d

ti

(

 p

o

l(

g

Z

 Z

Z

 

p

o

to

(t

Z

w

i(

Z

iu

 d

w

ó

(h

 ką

w

 (f

(

ry(tZ

y(h

 Z

i(

tm

i(

Z

io

Z

y(h

tZ

ś

b

o

ki

 

tr

ó

jką

tZ

 p

łZ

(ki

(

g

o

 u

ty

(ku

j(

 (i

ę

p

o

p

rt

(

d

o

d

Z

Z

i(

 d

o

 b

o

w

 t

jką

tZ

 

(f

(

ry(tZ

(

g

o

 t

t

w

a

d

d

it

a

m

e

n

w

 l

in

io

w

ych

Z

lb

o

 i

Z

Z

(

t(

a

lg

e

b

ra

icz

n

ych

1

1

sin

sin

b

a

R

b

R

a

=

...

1

2

0

6

4

5

2

3

1

+

+


=

R

a

R

a

a

a

...

1

2

0

6

4

5

2

3

1

+

+


=

R

b

R

b

b

b

W

sp

ó

łc

ze

ś

n

ie

 r

za

d

k

o

 r

o

zw

zu

je

 s

tr

ó

jk

ą

ty

a

 j

e

ś

li 

ju

ż

to

 w

y

k

o

rz

y

st

u

w

p

ro

st

 (

b

e

u

p

ro

sz

cz

e

ń

w

zo

ry

 

tr

y

g

o

n

o

m

e

tr

ii 

sf

e

ry

cz

n

e

n

p

w

si

n

u

so

w

y

background image

(C

jw

(C

jw

3

2

3

2

/

3

2

/

3

2

R

o

n

w

i

R

o

n

w

i

ą

ą

n

a

n

ie

 t

r

n

a

n

ie

 t

r

ó

ó

jk

jk

ą

ą

ta

ta

K

o

le

jn

o

ś

ć

ro

zw

za

n

ia

:

1

.

O

b

lic

ze

n

ie

 n

a

d

m

ia

ru

 s

fe

ry

cz

n

e

g

o

2

.

W

y

w

n

a

n

ie

 k

ą

w

 w

 t

jk

ą

ci

e

 s

fe

ry

cz

n

y

m

 

A

 +

 B

 +

 C 

=

 1

8

0

o

+

 ε

+

 

ω

3

.

R

o

zw

za

n

ie

 t

jk

ą

ta

 d

o

w

o

ln

ą

m

e

to

d