NIEPEWNOŚĆ

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności von Neumann’a – Morgenstern’a
Rynek ubezpieczeniowy

Kontrakty futures i inne kontrakty długoterminowe jako forma ubezpieczenia
Roszczenia warunkowe (Contingent claims) i model preferencji zależnych od stanu
Pełne ubezpieczenie konsumenta neutralnego względem ryzyka 

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka

–

Prawdopodobieństwo obiektywne i subiektywne

–

Wartość oczekiwana i wariancja 

–

Niezależność zdarzeń

–

Własności prawdopodobieństwa 

–

Paradoks Petersburski

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka

Własności prawdopodobieństwa
Zał.: za każdym razem rezultat jest jednym z n niezależnych i 

różnych wyników. 

Niech:

•

x

i

: wartość i-tego wyniku

•

ρ

ρ

ρ

ρ

i

: prawdopodobieństwo zaistnienia i-tego wyniku

Dwie własności p-stwa:

•

i

•

p-stwo

x

i

oraz 

x

j

= 

(ρ

ρ

ρ

ρ

i

)( ρ

ρ

ρ

ρ

j

)

Dwie definicje:

•

Wartość oczekiwana = 

E{x}

= 

•

Wariancja = 

var{x}

= 

1

=

∑

n

i

i

ρ

x

x

i

n

i

i

=

∑

ρ

2

)

(

x

x

i

n

i

i

−

∑

ρ

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka

Paradoks Petersburski

Masz możliwość zapłacić $100 i wziąć udział w jednej z trzech 

(sprawiedliwych) gier:

1.

Otrzymujesz z powrotem $100;

2.

Rzucam sprawiedliwą monetą. Ty otrzymujesz:

•

$200 jeżeli jest to orzeł

•

0 jeżeli jest to reszka

3.      Rzucam sprawiedliwą kością. Ty otrzymujesz:

•

$400 jeżeli jest to 1 

•

$70 : 2

•

$55 : 3

•

$25 : 4

•

$40 : 5

•

$10 : 6

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka

Wszystkie te gry mają

wartość oczekiwaną

$100, 

ale różne 

wariancje

:

1.

0

2.

½ (200 – 100)

2

+ ½ (0 - 100)

2

= 10.000

3.

(1/6)(300

2

+ 30

2

+ 45

2

+ 75

2

+ 60

2

+ 90

2

) = 18.375

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka

Tą kwestię ilustruje 

Paradoks Petersburski

sformułowany przez 

Bernoulli’ego w XVIII wieku.

Bernoulli zaproponował wariancję następującej gry. 
Rzucamy kostką aż do otrzymania orła. 
Wygrana zależy od liczby rzutów zanim pojawi się orzeł. 
Rzuty sprawiedliwą kostką są niezależne i prawdopodobieństwo 

jest iloczynem prawdopodobieństw kolejnych rzutów. 

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka

Wygrane w tej grze są konstruowane następująco:

•

$2 : jeżeli orzeł pojawi się przy pierwszym rzucie (ρ

ρ

ρ

ρ = ½ )

•

$4 : jeżeli orzeł pojawi się przy drugim rzucie (ρ

ρ

ρ

ρ = 1/4)

•

$8 : jeżeli orzeł pojawi się przy trzecim rzucie (ρ

ρ

ρ

ρ = 1/8)

•

$16 : jeżeli orzeł pojawi się przy czwartym rzucie (ρ

ρ

ρ

ρ = 1/16)

• $2

n

: jeżeli orzeł pojawi się przy n-tym rzucie 

[1/(2

n

)]

Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka

Wartość oczekiwana

gry: 

(½) 2 + (1/4)4 + ... =                     = 1 + 1 + .... = ∞

∞

∞

∞

Nikt nie zapłaci nieskończenie wiele aby wziąć udział w tej grze.

Niewiele osób zapłaci więcej niż kilka $ aby wziąć udział w tej 

grze. 

Przyczyną jest 

wariancja 

również równa

∞

∞

∞

∞

, a większość osób 

preferuje mniejsze wariancje – mniejszą niepewność. 

∑

∞

=1

2

2

1

n

n

n

=

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności 
von Neumann’a – Morgenstern’a

–

Twierdzenia dotyczące użyteczności oczekiwanej

–

Postawa wobec ryzyka

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

Z Paradoksu Petersburskiego wynika, że potrzebujemy czegoś

więcej niż

wartość oczekiwana

do analizowania decyzji 

podejmowanych przez ludzi w warunkach ryzyka. 

Użyteczność oczekiwana

: przedstawia preferencje w 

warunkach niepewności w ujęciu wartości oczekiwanej zbioru 
użyteczności względem możliwych wyników, x

i

:

E{U} =

(liniowa względem p-stwa)

(6 twierdzeń dotyczących E{U})

)

(

i

n

i

i

x

U

∑

ρ

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

Postawa wobec ryzyka
Zał.: możliwe są trzy wyniki i dwie działalności. 

Wyniki są następujące:

•

Wynik 1: $50 i U = 30

•

Wynik 2: $100 i U = 80

•

Wynik 3: $150 i U = 110

Czyli: U($50) = 30, U($100) = 80, U($150) = 110. 

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

Dwie działalności dają te wyniki z różnymi prawdopodobieństwami: 

•

Działalność

A

daje 

$100

na pewno: 

E{U(A)} = (1)U(100) = 80

•

Działalność

B

daje 

$50

z p-stwem

½

i 

$150

z p-stwem

½

: 

E{U(B)} = ½ U(50) + ½ U(150) = 70 

<

80

.

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

A więc, pomimo że każda z działalności daje 

oczekiwaną wygraną = $100

, 

to 

E{U(B)}

< 

E{U(A)}

. 

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

$100

otrzymywane na pewno dostarcza 

U=80

, 

$50

i 

$150

dostarcza 

U=30

i 

U=110

formując 

wklęsłą funkcję

użyteczności

. 

EU 

gry

50/50

z wynikiem

100-50 

i

100+50 

znajduje się w połowie

kombinacji liniowej

U(50) 

i

U(150)

, czyli

EU=70

.

EU=70 jest mniejsza od użyteczności otrzymania $100 na pewno.

Dlatego jednostkę z taką funkcją użyteczności określamy mianem 

niechętnej ryzyku

(asekurantem). 

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

U=70 < U=80: osoba 

jest niechętna 

wobec ryzyka.

Co więcej osoba ta 

będzie gotowa 

zapłacić γγγγ aby 

uniknąć ryzyka. 

Przy niższej wypłacie 

($100 - γγγγ) jednostka 

w dalszym ciągu ma 

U = 70 i nie musi 

podejmować ryzyka. 

Kwotę

γγγγ

nazywamy 

składką od ryzyka

(risk premium). 

Wybór asekuranta między kwotą otrzymywaną

na pewno i grą

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

Osoby mogą być

niechętne ryzyku

, 

neutralne

wobec ryzyka lub 

lubić

ryzyko

(ryzykanci). 

Dla każdej z tych osób porównujemy użyteczność sumy otrzymywanej na 
pewno        , czyli U(      )

z EU(x) gry, w której wygranymi są: (       - a) z p-stwem ½

oraz

(  

+ a) z p-swem ½. 

X

X

X

X

Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN–M

Postawy wobec ryzyka 

Rynek ubezpieczeniowy

–

Model zakupu ubezpieczenia

–

Wykup pełnego ubezpieczenia i pewna konsumpcja

Rynek ubezpieczeniowy

Zastosowaniem teorii awersji wobec ryzyka jest 

rynek ubezpieczeń

. 

Ubezpieczenie jest sposobem ochrony przeciw ryzyku i jednostki 

niechętne wobec ryzyka chcą zapłacić

składkę od ryzyka

(

risk premium

)

aby go uniknąć. 

Rynek ubezpieczeniowy

Przykład
Posiadasz budynek wart 

$50.000

i inne aktywa warte 

$50.000

. 

Z p-stwem 10% budynek ulegnie zniszczeniu . 

A więc z p-stwem

10%

masz aktywa o wartości 

$50.000

I z p-stwem

90%

masz aktywa o wartości 

$100.000

. 

Użyteczność oczekiwana gry: 

• E{U} = (0,10)U(50.000) + (0,90)U(100.000)

;

Wartość oczekiwana: 

• E{x} = 0,10(50.000) + 0,90(100.000) = 95.000

.

Awersja wobec ryzyka i gra o stratę, przeciw której 

można się ubezpieczyć

Rynek ubezpieczeniowy

E{U} gry można obliczyć rysując linię prostą między U($50.000) i 

U($100.000) (

liniowa kombinacja użyteczności tych wielkości

). 

Użyteczność oczekiwana jest w 9/10 odległości od U($50.000) i 

U($100.000) wzdłuż tej linii. 

Przy 

awersji

do ryzyka użyteczność oczekiwana gry o EX= $95.000 

jest mniejsza od posiadania $95.000 na pewno. 

Co więcej przy wartości oczekiwanej gry o $95.000 chcesz 

zapłacić pewną

składkę od ryzyka γγγγ

(

risk premium

) aby 

uniknąć gry. 

Rynek ubezpieczeniowy

Jeżeli masz możliwość wykupienia ubezpieczenia musisz zapłacić

składkę ubezpieczeniową

(

insurance premium

). 

W przypadku zaistnienia strat firma ubezpieczeniowa wypłaci 

wcześniej uzgodnione 

odszkodowanie

. 

Zał.: 

składka ubezpieczeniowa = wartość oczekiwana straty 

0,10 (50.000) = $5.000

. 

Rynek ubezpieczeniowy

Mówimy, że 

składka

jest 

aktuarialnie sprawiedliwa

jeżeli 

równa się wartości oczekiwanej straty

. 

Kolejny problem: Jakie ubezpieczenie wykupi osoba niechętna 

ryzyku? 

Rynek ubezpieczeniowy

Model wykupu ubezpieczenia

Oznaczenia:

•

x

0

: aktywa bez straty

•

L

: strata

•

ρ

ρ

ρ

ρ

: p-stwo zaistnienia straty

•

A

: odszkodowanie

Rynek ubezpieczeniowy

Jeżeli składka ubezpieczeniowa jest sprawiedliwa:

• ρ

ρ

ρ

ρA

= oczekiwane odszkodowanie = całkowita składka

ubezpieczeniowa

• x

l

= x

0 

– L + A - ρ

ρ

ρ

ρA

= aktywa po stracie

• x

n

= x

0

- ρ

ρ

ρ

ρA

= aktywa bez straty

Rynek ubezpieczeniowy

Zał.: użyteczność zależy wyłącznie od aktywa. 

Użyteczność oczekiwana:

E{U} = ρ

ρ

ρ

ρU(x

l

) + (1 - ρ

ρ

ρ

ρ)U(x

n

)

.

Aby wyznaczyć optymalne ubezpieczenie różniczkujemy E{U} 

względem A i przyrównujemy do 0: 

Po uproszczeniu: 

0

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

}

{

=

∂

∂

−

−

∂

∂

−

=

∂

∂

n

l

x

U

A

x

U

A

U

E

A

ρ

ρ

ρ

ρ

.

)

(

)

(

n

l

x

U

A

x

U

A

∂

∂

=

∂

∂

.

Rynek ubezpieczeniowy

Przy funkcji ściśle wklęsłej pierwsze pochodne są takie same, 

gdyż są wyznaczane dla tych samych aktywów netto przy 
stracie i bez niej. 

A więc użyteczności i aktywa netto muszą być takie same w 

każdej sytuacji: 

x

0

– L + A - ρ

ρ

ρ

ρA = x

0

- ρ

ρ

ρ

ρA

.

Po rozwiązaniu: 

A* = L

. 

Rynek ubezpieczeniowy

Pełne ubezpieczenie i pewna konsumpcja
Przy aktuarialnie sprawiedliwym ubezpieczeniu konsument 

zamienia potencjalną stratę na pewien wynik (taką samą
wartość aktyw niezależnie od zaistnienia straty). 

Oznacza to, że 

użyteczność oczekiwana będzie równała 

się użyteczności wartości oczekiwanej

. 

Rynek ubezpieczeniowy

Dzięki wykupowi 

pełnego ubezpieczenia 

konsument może 
konsumować
x

n

w obu sytuacjach:

x

l

= x

0

– A + A - ρ

ρ

ρ

ρA 

= x

0

- ρ

ρ

ρ

ρA = x

n

,

czyli konsument 
otrzymuje x

n

na pewno, 

a więc użyteczność
oczekiwana jest 
użytecznością
odpowiadającą x

n

. 

Pewność aktywów i użyteczność przy pełnym 

ubezpieczeniu