L
OGIKA MATEMATYCZNA
1.
Z
DANIE W SENSIE LOGICZNYM
.
•
Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyraŜenie oznajmujące, o którym moŜna
powiedzieć, Ŝe jest prawdziwe albo fałszywe.
•
Zdania oznaczamy małymi literkami alfabetu, najczęściej są to literki:
r
q
p
,
,
itd.
•
Jeśli zdanie jest prawdziwe, to mówimy, Ŝe przyjmuje wartość logiczną „1”
Jeśli zdanie jest fałszywe, to mówimy, Ŝe przyjmuje wartość logiczną „0”
Na przykład:
Określ wartość logiczną podanych zdań:
1.
5 jest liczbą pierwszą.
2.
Są cztery pory roku.
3.
5
13
<
.
Ad.1. Prawda, 5 jest liczbą pierwszą zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną „1”.
Ad.2. Prawda, są 4 pory roku zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną „1”.
Ad.3. Fałsz 13 jest większe od 5 zatem zdanie przyjmuje wartość logiczną „0”.
•
ZauwaŜcie, Ŝe zdania zapisuje się równieŜ w postaci symbolicznej (patrz pkt.3),
w dalszej części będę uŜywała przewaŜnie takiego zapisu.
2.
Z
APRZECZENIE ZDAŃ
.
Jeśli mamy dane zdanie w sensie logicznym, to zdanie to moŜe być albo prawdziwe albo
fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną „1”, zdanie fałszywe „0”. Zaprzeczeniem
zdania prawdziwego jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem zdania fałszywego jest zdanie
prawdziwe, zatem:
p ~ p
1
0
0
1
3.
K
ONIUNKCJA
,
ALTERNATYWA
,
IMPLIKACJA
,
RÓWNOWAśNOŚĆ ZDAŃ
.
•
Koniunkcja zdań
, to dwa zdania połączone spójnikiem
„i”.
Na przykład:
Niech zdanie
p brzmi: „2 jest liczbą parzystą”, z zdanie q brzmi „3 jest mniejsze od
5”. Wówczas tworząc koniunkcję zdań
p oraz q otrzymamy zdanie: „2 jest liczbą
pierwszą
i 3 jest mniejsze od 5”.
Koniunkcję
oznaczamy symbolem
"
"
∧
, zatem zapisując koniunkcję zdań
p i q
musimy napisać
q
p
∧
.
Koniunkcja jest prawdziwa tylko jeden raz
, w przypadku
gdy oba zdania koniunkcji są prawdziwe, w pozostałych 3 przypadkach koniunkcja
jest fałszywa. Przedstawia to poniŜsza tabela:
ZauwaŜcie, Ŝe tylko w pierwszym przypadku w kolumnie trzeciej
mamy wartość logiczną 1 w pozostałych jest wartość logiczna 0.
Łatwo to zapamiętać poniewaŜ spójnik „i” w koniunkcji jest
odpowiednikiem iloczynu na liczbach i rzeczywiście tylko
1
1
1
=
⋅
•
Alternatywa zdań
to dwa zdania połączone spójnikiem
„lub”.
Niech zdanie
p brzmi: „2 jest liczbą parzystą”, z zdanie q brzmi „3 jest mniejsze od
5”. Wówczas tworząc alternatywę zdań
p oraz q otrzymamy zdanie: „2 jest liczbą
pierwszą
lub 3 jest mniejsze od 5”.
Alternatywę
oznaczamy symbolem
"
"
∨
, zatem zapisując alternatywę zdań
p oraz q
musimy napisać
q
p
∨
.
Alternatywa jest prawdziwa 3 razy
, w przypadku gdy oba
zdania alternatywy są prawdziwe oraz gdy jedno z nich jest prawdziwe a drugie zdanie
jest fałszywe i na odwrót. Przedstawia to poniŜsza tabela:
Widać wyraźnie, Ŝe alternatywa jest prawdziwa 3 razy, a tylko
raz fałszywa. śeby łatwo to zapamiętać wystarczy wiedzieć, Ŝe
odpowiednikiem alternatywy w logice matematycznej jest
działanie dodawania na liczbach i tak
0+1=1, 1+0=1 oraz
p
q
q
p
∧
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
p
q
q
p
∨
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1+1=2 ale pamiętamy o tym, Ŝe w logice matematycznej są tylko dwie wartości
logiczna „1” oraz „0” dlatego moŜemy uznać, Ŝe w alternatywie 1+1=1.
•
Implikacja zdań, inaczej wynikanie
to zdanie postaci: „ JeŜeli
p , to q ” .
Implikację
oznaczamy symbolem
"
"⇒ . Tworząc implikację zdań
p oraz q
otrzymamy zdanie:
q
p ⇒
. Zdanie p nazywamy w implikacji poprzednikiem, zdanie
q nazywamy następnikiem implikacji.
Implikacja jest prawdziwa 3 razy
, w przypadku gdy oba zdania implikacji są
prawdziwe oraz gdy pierwsze zdanie jest fałszywe, a drugie zdanie prawdziwe oraz
gdy oba zdania są fałszywe. Łatwo zapamiętać implikację, wystarczy bowiem
pamiętać:
„ Z prawdy nie moŜe wynikać fałsz, tzn. z 1 nie moŜe wynikać 0”
Przedstawia to poniŜsza tabela:
•
RównowaŜność zdań
to zdanie postaci: „ p wtedy i tylko wtedy, gdy q ” .
RównowaŜność
oznaczamy symbolem
"
"
⇔
. Tworząc równowaŜność zdań p oraz
q otrzymamy zdanie:
q
p
⇔
.
RównowaŜność jest prawdziwa 2 razy
, w przypadku
gdy po obu stronach symbolu równowaŜności jest ta sama wartość logiczna.
Przedstawia to poniŜsza tabela:
p
q
q
p ⇒
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
p
q
q
p
⇔
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4.
P
RZYKŁADOWE ZADANIA
.
1. Oceń wartość logiczna podanych zdań i utwórz ich zaprzeczenia:
a)
3
3
1
2
≤
∧
≥
, b)
2
2
3
>
⇒
>
π
, c) ~
(
)
7
4
>
d)
8
4
12
2
>
∨
=
, e)
1
2
3
2
=
⇔
>
π
, f) ~
(
)
8
4
≠
.
2. ZałóŜmy, Ŝe podane zdania są prawdziwe:
p: Ala ma kota, q: Trójkąt ma trzy boki, r: KaŜdy wielokąt jest wypukły.
Zapisz za pomocą liter p, q, r oraz odpowiednich symboli podane zdanie oraz oceń jego
wartość logiczną:
a)
Jeśli trójkąt ma trzy boki, to Ala ma kota i nie kaŜdy wielokąt jest wypukły.
b)
KaŜdy wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy Ala ma kota.
c)
Jeśli Ala ma kota, to nie kaŜdy wielokąt jest wypukły.
d)
KaŜdy wielokąt jest wypukły i kaŜdy trójkąt ma trzy boki wtedy i tylko wtedy gdy Ala
ma kota.
3. Udowodnij metodą zero-jedynkową następujące prawa logiczne:
a)
(
) (
)
p
~
q
~
⇒
⇔
⇒
q
p
,
b)
(
) (
)
q
~
p
~
∧
⇔
⇒
q
p
,
c)
(
) (
)
q
~
p
~
~
∨
⇔
∧
q
p
