ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 1
ZGINANIE BELEK Z MATERIAŁU SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNEGO
W ZAKRESIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYM
1. MATERIAŁ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNY
materiał idealnie
materiał idealnie
materiał idealnie
mat. ideal. spręż. z liniowym
sprężysty sprężysto-plastyczny sztywno-plastyczny umocnieniem
plastycznym
2. ZAŁOŻENIA
1. Materiał idealnie sprężysto-plastyczny (mat. Prandtla) o jednakowych własnościach na
rozciąganie i na ściskanie
2. Obowiązuje zasada zesztywnienia
3. Obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów (hip. Bernouli’ego)
4. Wpływ sił poprzecznych na osiągnięcie stanu plastycznego jest pomijany
5. Zginanie zachodzi jedynie w głównych płaszczyznach bezwładności
3. ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH W PRZEKROJU ZGINANYM
1. Stan liniowo sprężysty
2. Graniczny stan sprężysty (max. naprężenie normalne w co najmniej jednym punkcie
przekroju osiąga wartość równą granicy plastyczności R
e
; moment zginający
M M
= )
3. Stan jednostronnie sprężysto-plastyczny
4. Stan dwustronnie sprężysto-plastyczny
5. Graniczny stan plastyczny
(naprężenie normalne w całym przekroju osiąga wartość równą
granicy plastyczności R
e
) - w uplastycznionym przekroju powstaje tzw. przegub plastyczny,
który różni się od "zwykłego" przegubu tym, że przenosi moment równy tzw. granicznemu
momentowi plastycznemu przekroju
M)
ε
σ
R
e
ε
σ
R
e
ε
σ
R
ε
σ
R
e
ε
σ
- R
e
ε
pl
-
ε
pl
d
g
d
d
y
c
y
o
z
σ
x
e
R
<
σ
x
e
R
max
=
R
e
R
e
R
e
R
e
R
e
R
e
R
e
σ
x
e
R
<
σ
x
e
R
<
σ
x
e
R
<
d
d
g
d
>
M
1
2
3
4
5
4
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 2
4. GRANICZNA NOŚNOŚĆ SPRĘŻYSTA PRZEKROJU
(
graniczny moment sprężysty
M
)
Granicznym momentem sprężystym
M
(graniczną nośnością sprężystą przekroju) nazywamy
moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia przekroju w co
najmniej jednym punkcie (naprężenie normalne
σ
x
jest równe granicy plastyczności R
e
)
σ
x
e
R
=
σ
x
yc
M
I
z
=
R
M
I
z
e
yc
=
max
M R
I
z
e
yc
=
max
M R W
e
spr
=
5. GRANICZNA NOŚNOŚĆ PLASTYCZNA PRZEKROJU
(
granicz. moment plastycz.
M
)
Granicznym momentem plastycznym M
(graniczną nośnością plastyczną przekroju)
nazywamy moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia
całego przekroju (naprężenie normalne
σ
x
w każdym punkcie przekroju jest równe granicy
plastyczności R
e
)
•
równania równowagi
( )
N x
dA
x
A
=
=
∫∫
σ
0 (1)
( )
M x
z dA
x
A
=
=
∫∫
σ
0 (2)
Ad. (1)
−
+
=
R A
R A
e
e
1
2
0
A
1
+ A
2
= A
warunek określający położenie osi obojętnej
A
A
A
1
2
1 2
=
=
Ad. (2)
( )
( )
M
R zdA
R zdA R S
A
R S
A
e
A
e
A
e
y
e
y
o
o
=
−
=
−
∫∫
∫∫
1
2
1
2
( )
( )
[
]
M R S
A
S
A
e
y
y
o
o
=
−
1
2
lub
( )
( )
M
R z dA
R z dA R S
A
R S
A
e
A
e
A
e
y
e
y
c
c
=
−
=
−
∫∫
∫∫
1
2
1
2
'
'
y
c
- oś ciężkości
( )
( )
( )
( )
S
A
S
A
S
A
S
A
y
y
y
y
c
c
c
c
1
2
2
1
0
+
=
⇒
= −
( )
M
R S
A
e
y
c
= 2
1
x
z
M
z
z
M
z
y
c
y
o
z‘
R
e
R
e
A
1
A
2
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 3
•
plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju
( )
( )
( )
W
S
A
S
A
S
A
pl
def
y
y
y
o
o
c
=
−
=
1
2
1
2
M R W
e
pl
=
•
współczynnik kształtu
k
M
M
W
W
pl
spr
=
=
> 1
6. PRZYKŁADY
•
Obliczyć współczynnik kształtu dla przekroju prostokątnego i kołowego
W
b h
spr
=
2
6
;
( )
W
S
A
b h h
b h
pl
yc
=
=
=
2
2
2 4
4
1
2
( )
( )
W
S
A
S
A
b h h
b h
h
b h
pl
yo
yo
=
−
=
−
−
=
1
2
2
2 4
2
4
4
M R
b h
e
=
2
6
;
M R
b h
e
=
2
4
⇒
k
M
M
W
W
pl
spr
=
=
= 15
.
W
d
spr
=
π
3
32
( )
W
S
A
d
d
d
pl
yc
=
=
=
2
2 1
2
4
4
2
3
6
1
2
3
π
π
k
W
W
pl
spr
=
=
=
32
6
17
π
.
•
Obliczyć współczynnik kształtu dla następujących przekrojów :
y
c
= y
o
z
b
h
A
1
A
2
y
c
= y
o
z
A
1
A
2
d
6
2
2 2 2
k = 1.76
5 5 5
5
5
20
k = 1.42
3 4 3
2
7
3
k = 1.52
1
1
6
4
9
10
k = 2.38
1
8
2
5
9
1
k = 1.45
12
15
k = 2.34
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 4
7. NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK ZGINANYCH
7.1 NOŚNOŚĆ GRANICZNA PRZEKROJU
•
graniczny moment sprężysty (graniczna nośność sprężysta przekroju) M
•
graniczny moment plastyczny (graniczna nośność plastyczna przekroju) M
7.2 NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK
•
graniczna nośność sprężysta (graniczne obciążenie sprężyste) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego (z reguły wyrażonego poprzez pewien parametr obciążenia), która
powoduje w co najmniej jednym punkcie belki powstanie naprężenia normalnego równego
granicy plastyczności
•
graniczna nośność plastyczna (graniczne obciążenie plastyczne) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego, która powoduje uplastycznienie co najmniej jednego przekroju belki
(powstanie co najmniej jednego przegubu plastycznego)
•
nośność graniczna P
∗
- jest to taka wielkość obciążenia zewnętrznego, która powoduje
uplastycznienie tylu przekrojów (tzn. powstanie tylu przegubów plastycznych), że belka zamienia
się w mechanizm.
7.2.1 Belki statycznie wyznaczalne
•
graniczna nośność sprężysta P
( )
M
P
M
P
max
=
⇒
•
graniczna nośność plastyczna P
( )
M
P
M
P
max
=
⇒
•
nośność graniczna P
∗
do zamiany belki statycznie wyznaczalnej w mechanizm wystarcza powstanie jednego
przegubu, a ten tworzy się już przy obciążeniu równym granicznemu obciążeniu plastycznemu.
Tak więc w belkach statycznie wyznaczalnych graniczna nośność plastyczna i nośność
graniczna są pojęciami tożsamymi, tzn. P
P
∗
=
Przykład
Wyznaczyć graniczne obciążenie sprężyste, plastyczne i nośność graniczną belki (R
e
=300 MPa).
M
max
= 4 q
M
q R W
q
R W
e
spr
e
spr
=
=
⇒
=
4
4
M
q R W
q
R W
e
pl
e
pl
=
=
⇒
=
4
4
A = 12 + 12 = 24 cm
2
S
m
= 12
×7 +12×3 = 120 cm
3
oś ciężkości z
c
= 120/24 = 5 cm
oś obojętna A
1
= A
2
= 1/2 A = 12 cm
2
⇒
y
o
W
I
z
cm
spr
yc
=
=
×
+
×
+ ×
+
×
=
max
.
6 2 12 12 2
2 6 12 12 2
5
27 2
3
2
3
2
3
( )
W
S
A
cm
pl
yc
=
= ×
× =
2
2 12 2
48
1
3
q
kN m
= 2 04
.
/
q
kN m
= 3 60
.
/
q
q
kN m
∗
= = 3 60
.
/
q
4 q
1 4 2
4 q
2 q
M
6
2
2 2 2
A
1
z
y
o
y
c
5
m
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 5
7.2.2 Belki statycznie niewyznaczalne
•
graniczna nośność sprężysta P
W celu wyznaczenia granicznej nośności sprężystej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :
( )
M
P
M
P
max
=
⇒
•
graniczna nośność plastyczna P
W celu wyznaczenia granicznej nośności plastycznej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :
( )
M
P
M
P
max
=
⇒
•
nośność graniczna
P
∗
♦ metoda ścisła
W celu wyznaczenia nośności granicznej należy po wyznaczeniu wykresu momentów
zginających „wprowadzić” do belki przegub plastyczny (wraz z obustronnie przyłożonymi do
niego momentami skupionymi, równymi
M
) w przekroju maksymalnego momentu
zginającego. Powtórnie należy wyznaczyć wykres momentów dla belki o nowym schemacie
statycznym i nowym obciążeniu. Procedurę taką należy kontynuować aż do zamiany belki w
mechanizm. Oznacza to, że w belce n-krotnie statyczne niewyznaczalnej maksymalna ilość
powyższych operacji może wynosić n+1 (może też być mniejsza - zależy to od schematu i
obciążenia).
Obciążenie, przy którym belka zamienia się w mechanizm jest nośnością graniczną P
∗
.
♦ metoda kinematyczna
Metoda kinematyczna oparta jest na tzw. twierdzeniach ekstremalnych teorii plastyczności
(patrz np.: Jacek Skrzypek, Plastyczność i pełzanie, PWN, Warszawa, 1987). Istota tej
metody polega na znalezieniu i analizie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych (tzn.
zgodnych z więzami kinematycznymi) schematów zniszczenia belki.
W belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej maksymalna liczba przegubów plastycznych,
jaka prowadzi do zamiany belki w mechanizm wynosi „n+1”. W przypadku mechanizmu o
tej liczbie przegubów mówimy o tzw. pełnym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
W przypadku, gdy można utworzyć mechanizm obejmujący tylko część belki (co ma
miejsce przy liczbie przegubów mniejszej niż „n+1”) mówimy o tzw. niecałkowitym
mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
Stosując zasadę prac wirtualnych należy wyznaczyć obciążenia niszczące dla każdego z
kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Najmniejszą z uzyskanych w ten
sposób wartości obciążenia uznajemy za nośność graniczną P
∗
.
Można wykazać, że jest to górne oszacowanie rzeczywistej nośności granicznej belki.