ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ
Rachunek wektorowy
Zad.1. Obliczyć długości podanych wektorów:
1.
]
5
,
1
,
2
[
−
=
a
3.
[
]
2
2
,
5
,
3
=
b
2.
→
2
1
P
P
, jeśli
)
4
,
5
,
4
(
,
)
4
,
0
,
1
(
2
1
−
−
−
P
P
4.
[
]
R
∈
=
ψ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
,
,
sin
,
cos
sin
,
cos
cos
d
.
Zad.2. Obliczyć:
1.
( )
4 2
3
a b
c
−
+ −
, jeżeli
[ 2, 4, 6 ],
[ 0,1, 2 ],
[ 3, 2, 0 ]
a
b
c
=
=
−
=
,
2.
( ) (
)
2
3
d
c
a
b
− − +
, jeżeli
[ 0,1, 3 ],
[ 2, 3, 2 ],
[ 2, 2,1],
[1, 2, 0 ]
a
b
c
d
=
=
=
−
= −
.
Zad.3. Zbadać liniową niezależność wektorów:
1.
]
7
,
6
,
3
[
,
]
3
,
2
,
1
[
2.
]
1
,
2
,
[
,
]
0
,
,
0
[
,
]
,
0
,
0
[
j
j
j
3.
]
1
,
2
,
1
[
,
]
0
,
0
,
1
[
,
]
1
,
0
,
2
[
−
Zad.4. Sprawdzić, czy kolinearne (współliniowe) są wektory:
1.
]
0
,
5
,
1
[
,
]
0
,
1
,
2
[
=
=
b
a
2.
]
10
,
6
,
2
[
,
]
5
,
3
,
1
[
3.
7
10
,
7
6
,
7
2
,
]
5
,
3
,
1
[
4.
]
9
,
6
,
3
[
,
]
3
,
2
,
1
[
.
Zad.5. Czy podane punkty leżą na jednej prostej?
1.
)
2
,
0
,
1
(
,
)
6
,
4
,
2
(
,
)
1
,
8
,
3
(
3
2
1
−
−
P
P
P
2.
)
1
,
5
,
3
(
,
)
2
,
12
,
1
(
,
)
0
,
2
,
7
(
R
Q
P
−
−
Zad.6. Sprawdzić, czy następujące wektory są komplanarne (współpłaszczyznowe):
1.
]
4
,
2
,
2
[
,
]
0
,
1
,
3
[
,
]
2
,
1
,
1
[
−
−
−
=
=
=
c
b
a
2.
]
1
,
8
,
2
[
,
]
7
,
3
,
0
[
,
]
5
,
3
,
5
[
−
−
−
Zad.7. Sprawdzić, czy następujące punkty leżą w jednej płaszczyźnie?
1.
)
11
,
11
,
5
(
,
)
3
,
2
,
1
(
,
)
9
,
5
,
1
(
,
)
2
,
5
,
1
(
−
−
−
−
−
D
C
B
A
2.
)
3
,
1
,
2
(
,
)
0
,
2
,
1
(
,
)
5
,
1
,
0
(
,
)
1
,
2
,
2
(
D
C
B
A
−
−
.
Zad.8. Obliczyć iloczyny skalarne podanych wektorów:
1.
[ 1, 2, 3],
[ 2, 0, 1]
u
v
= −
−
=
−
2.
2 , 3, 5 ,
8,
27, 0
u
v
=
=
−
3.
,
3
2
u
i
j
k v
i
k
= − +
= −
.
Zad.9. Obliczyć iloczyny skalarne wektorów:
u
w
u
u
w
u
v
u
2
,
)
(
,
,
−
, jeśli:
1.
]
1
,
0
,
3
[
,
]
2
,
1
,
1
[
,
]
0
,
1
,
1
[
−
=
−
=
=
w
v
u
2.
k
j
i
w
k
j
i
v
k
j
i
u
+
+
=
+
−
=
+
−
=
,
3
2
3
,
3
.
Zad.10. Obliczyć kąt między wektorami:
1.
]
0
,
0
,
1
[
,
]
1
,
0
,
0
[
2..
]
1
,
1
,
0
[
,
]
1
,
0
,
0
[
3.
]
7
,
0
,
5
[
,
]
0
,
0
,
5
[
4..
]
0
,
1
,
1
[
,
]
1
,
1
,
0
[
−
5.
]
1
,
1
,
0
[
,
]
1
,
0
,
1
[
−
6.
]
2
,
5
,
3
[
,
]
3
,
0
,
2
[
−
−
−
.
Zad.11. Obliczyć iloczyny wektorowe
,
u v
v u
×
×
, jeśli:
1.
]
1
,
1
,
3
[
,
]
3
,
2
,
1
[
−
=
=
v
u
3.
]
6
,
5
,
0
[
,
]
2
,
3
,
1
[
=
−
=
v
u
2.
k
j
i
v
k
j
i
u
3
2
,
−
+
−
=
+
−
=
4.
2
2 ,
2
u
i
k v
i
j
k
=
−
= − +
Zad.12.
1.
Niech
]
,
4
,
[
,
]
0
,
1
,
1
[
m
m
v
u
=
=
,
R
∈
m
. Dla jakich wartości parametru m podane wektory:
a) są prostopadłe
b) są równoległe
c) tworzą kąt
3
π
?
2.
Dla jakich wartości
R
∈
m
wektory
[
]
[
]
m
m
m
,
4
,
10
,
1
,
,
1
2
+
są równoległe?
3.
Dla jakich wartości
R
∈
m
wektory
[
]
[
]
2
,
,
,
0
,
3
,
2
+
−
m
m
m
m
są prostopadłe?
Zad.13. Obliczyć iloczyn mieszane
(
)
w
v
u
,
,
wektorów:
1.
]
3
,
1
,
0
[
,
]
8
,
1
,
4
[
,
]
1
,
1
,
3
[
=
−
=
−
−
=
w
v
u
2.
k
j
i
w
j
i
v
k
i
u
2
3
,
3
,
−
+
=
−
=
+
=
3.
[ 2, 0,1],
[ 5, 1, 2 ],
[ 4, 0, 3]
u
v
w
=
=
−
=
−
.
Zad.14. Obliczyć:
1.
(
)
( ) ( )
2
a
b
c
a c
b c
−
× ×
×
,
2.
( ) ( ) (
)( )
2
, ,
d c
a d
a b c b d
× × ×
×
,
jeżeli
[ 3, 2,1],
[1, 2, 2 ],
[ 1, 4, 0 ],
[ 1, 2, 0 ]
a
b
c
d
=
−
=
−
= − −
= −
.
Zad.15. Obliczyć długość wektora
(
) (
)
r
q
p
r
q
p
a
2
4
2
−
+
×
−
+
=
, gdy
r
q
p
,
,
wzajemnie prostopadłe
wektory jednostkowe o orientacji zgodnej z orientacją układu.
Zad.16. Obliczyć długości boków trójkąta o wierzchołkach:
)
0
,
2
,
1
(
,
)
2
,
1
,
3
(
,
)
0
,
2
,
1
(
−
−
−
C
B
A
oraz
sprawdzić, czy jest on trójkątem prostokątnym. Obliczyć pole tego trójkąta.
Zad.17. Obliczyć pole trójkąta:
1.
o wierzchołkach
)
5
,
1
,
4
(
,
)
2
,
3
,
1
(
,
)
3
,
2
,
1
(
C
B
A
−
,
2.
o wierzchołkach
)
3
,
1
,
2
(
,
)
1
,
2
,
3
(
,
)
4
,
1
,
0
(
−
−
C
B
A
,
3.
rozpiętego na wektorach:
]
4
,
3
,
3
[
,
]
6
,
4
,
2
[
−
−
=
−
−
=
v
u
,
4.
rozpiętego na wektorach:
[ 4, 0, 1],
[ 3, 2,1]
u
v
=
−
=
.
Zad.18. Obliczyć pole równoległoboku:
1.
o trzech kolejnych wierzchołkach:
)
5
,
1
,
3
(
,
)
0
,
5
,
1
(
,
)
1
,
0
,
1
(
−
−
C
B
A
,
2.
o trzech kolejnych wierzchołkach: ( 1, 2,1) ,
(2, 2, 0) , ( 0, 3, 4)
A
B
C
−
−
−
,
3.
rozpiętego na wektorach:
[1, 2, 3],
[ 0, 2, 5 ]
u
v
=
=
−
,
4.
rozpiętego na wektorach:
[ 2,1, 0 ],
[ 5, 1, 2 ]
u
v
=
=
−
,
5.
o przekątnych:
[ 2, 2, 0 ],
[ 1, 3, 4 ]
p
q
=
= − −
,
6.
o przekątnych:
[ 2, 3, 4 ],
[1, 2, 6 ]
p
q
= −
−
=
−
.
Zad.19. Obliczyć objętość równoległościanu:
1.
o wierzchołkach: ( 1, 0,1) ,
(1, 3, 0) ,
( 3, 0, 5) ,
'(1, 2, 3)
A
B
C
A
−
,
2.
o wierzchołkach: (2, 0, 2) ,
( 1, 5,1) ,
( 2,1,1) ,
' (3, 0, 3)
A
B
C
A
−
−
,
3.
rozpiętego na wektorach:
[1, 1, 1],
u
=
[1,
1, 0 ],
[ 3,
2, 5 ]
v
w
=
−
=
−
,
4.
rozpiętego na wektorach:
[ 2, 0, 1],
u
=
[ 3, 4, 2 ],
[ 1, 0,
2 ]
v
w
= −
= −
−
.
Zad.20. Obliczyć objętość czworościanu:
1.
o wierzchołkach
)
9
,
4
,
3
(
,
)
7
,
1
,
1
(
,
)
1
,
4
,
1
(
,
)
1
,
1
,
3
(
D
C
B
A
oraz długość wysokości poprowadzonej z
wierzchołka
D,
2.
o wierzchołkach (2, 0,1) ,
( 1, 4, 3) , ( 0, 1, 2) ,
( 3, 4, 2)
A
B
C
D
−
−
−
,
3.
rozpiętego na wektorach:
[ 2, 1, 3],
u
=
[ 6,
1, 2 ],
[ 2, 4,
2 ]
v
w
=
−
=
−
,
4.
rozpiętego na wektorach:
[ 2, 0, 1],
u
=
[ 3, 4, 2 ] ,
[ 1, 0,
2 ]
v
w
=
= −
−
.