Brzozka.indd

ostatnich latach wiele uwagi poświęca się odpor-
nym (mocnym) układom regulacji automatycz-

nej. Do tej grupy układów należą różne struktury ze
śledzeniem modelu (Model Following Control – MFC)
szeroko przedstawione w [2, 3, 8]. Wśród tych struktur
najbardziej interesującą jest struktura MFC/IMC (In-
ternal Model Control) przedstawiona na rys. 1. Ma ona
dobre właściwości śledzenia wartości zadanej oraz niską
wrażliwość zakłóceniową. Proces P(s) jest sterowany
sumą dwóch sygnałów: z regulatora R

(s) i R(s), przy

czym sygnałem wejściowym regulatora R

(s) jest błąd

procesu e

(s), a sygnałem wejściowym regulatora R(s)

sygnał błędu y*

(s) – y(s).

Zgodnie z [8] można napisać:

y s

s P s

R s M s

P s

R s

s R s M s

( )

( ) ( )

( )

(

)

(

)

rr s

P s

R s

s R s M s

d s

( )

( ) ( )

( )

(

)

(1)

Hybrydowy układ regulacji typu MFC/IMC

Jerzy Brzózka

Artykuł przedstawia nowy hybrydowy układ regulacji ze śledzeniem modelu
– Model Following Control/Internal Model Control (MFC/IMC). W miejsce
jednego modelu procesu – używanego w dotychczasowych układach
regulacji tego typu – zastosowano przełączanie modeli. Takie rozwiązanie
prowadzi do poprawy jakości działania układu i dopuszcza jednocześnie
szerszy zakres zmian parametrów regulowanego procesu. Przeprowadzono
analizę stabilności układu hybrydowego oraz porównano jakość procesu
regulacji w hybrydowym i klasycznym układzie MFC/IMC.

dr inz. Jerzy Brzózka – Akademia Morska
w Szczecinie, Zakład Automatyki Okrętowej,
jb@am.szczecin.pl

Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007

Aby zapewnić stabilną pracę tej struktury, należy

zagwarantować stabilną pracę pętli R

(s)P(s) oraz

R(s)P(s).

Jak wynika z rys. 1 udział regulatora R(s) w sterowa-

niu procesem P(s) jest tym mniejszy, im bardziej dokład-
nie model M(s) przybliża proces P(s). W przypadku gdy
M(s) = P(s), na podstawie (1) można napisać:

y s

s P s

r s

s P s

R s P s

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

)

(

)

(( )

(2)

Tak więc – jak wynika z zależności (2) – dla śledze-

nia wartości zadanej należy zapewnić stabilność pętli
R

(s)P(s), a dla tłumienia zakłóceń – tak jak poprzednio

– pętli R

(s)P(s) oraz R(s)P(s).

W strukturze z rys. 1 zakłada się, że M(s) jest trans-

mitancją modelu procesu nominalnego. W przypadku
znacznych perturbacji procesu „powyżej” lub „poniżej”
procesu nominalnego, układ nie ma żadnej możliwości
wyboru innego modelu „bliższego” aktualnemu proce-
sowi. Taką możliwość daje zaproponowany nowy, hybry-
dowy układ typu MFC/IMC z przełączaniem modelu.

Układem hybrydowym nazywa się taki układ, w któ-

rym występuje przełączanie między jego podukładami
(ciągłymi, dyskretnymi).

W praktyce istnieje bardzo wiele układów, w których

zachodzi przełączanie między różnymi podsystemami,
np. w przemyśle samochodowym, podczas sterowania
przepływem danych w sieciach komputerowych, w ro-
botyce, we wbudowanych układach sterowania, w ukła-
dach regulacji z regulatorem nadzorczym (supervisory
control) itp. Układy hybrydowe stosuje się też wtedy,
gdy nie można ustabilizować fragmentu danego pro-
cesu za pomocą pojedynczej pętli ujemnego sprzężenia
zwrotnego.

Pewną odmianę systemów hybrydowych stanowią

– bardzo popularne obecnie – układy (modele i regu-
latory) rozmyte, w których zaletą jest to, że w algoryt-
mie ich pracy można wykorzystać wiedzę ekspertów
zawartą w nieostrych sformułowaniach formalnych [7].
Układy rozmyte dysponują bardzo dużą liczbą stopni

Rys. 1. Klasyczna struktura MFC/IMC. Przyjęte oznaczenia

transmitancji i transformat: M(s) – model; P(s) – proces;
R

(s) – regulator modelu; R(s) – regulator procesu;

y(s) – wielkość regulowana; r(s) – wartość zadana;
d(s) – zakłócenia; e

(s) – błąd regulacji w pętli procesu;

*(s) – wielkość wyjściowa z modelu

swobody, co wynika z zasady ich działania (rozmywanie,
wnioskowanie, ostrzenie). Układy rozmyte mają więc
ogromną liczbę możliwych do strojenia parametrów.
Synteza układu rozmytego prowadzi w konsekwencji do
sumatora – wzmacniacza nieliniowego, którego charak-
terystykę trudno jest kształtować przy wykorzystaniu
metodologii zbiorów rozmytych.

Łatwiejszą metodą jest sformułowanie tablicy lub

reguł przełączeń pomiędzy poszczególnymi stanami
ciągłymi. Takiej właśnie metody dotyczy prezentowany
artykuł.

Propozycja hybrydowego układu
regulacji MFC/IMC

Schemat blokowy nowego, hybrydowego układu regula-
cji typu MFC/IMC nazwanego switched MFC/IMC przed-
stawiono na rys. 2. W układzie tym decyzję o przełącze-
niu podejmuje zaprojektowany blok, umownie nazwany
min, wybierający wartość minimalną ze zbioru swoich
sygnałów wejściowych, z których każdy stanowi moduł
z różnicy sygnału wyjściowego y

(s) z danego modelu

(s) i sygnału wyjściowego z procesu y(s). Po wyborze

wartości minimalnej na wejście regulatora R(s) poda-
wana jest bieżąca wartość wybranego wejścia, tj. różnica
y

(s) – y(s). Analogicznie układy regulacji (z blokiem

minimum i/lub maksimum) nazywane są w literaturze
[1] selector control.

Projektowanie hybrydowych układów
regulacji

Najpopularniejszą strukturą hybrydowego układu re-
gulacji jest struktura z przełączalnymi regulatorami
(rys. 3).

W takich układach hybrydowych, poszczególne, prze-

łączane regulatory R

... R

realizują różne, często wyklu-

czające się zadania, np. osiąganie dobrych wskaźników
jakościowych procesu regulacji i zapewnienie wysokiej
odporności [6].

W projektowaniu układów hybrydowych wykorzy-

stuje się metody sterowania optymalnego (minimaliza-
cja funkcji kosztów z jednoczesnym wyborem trajek-
torii sterowania gwarantującej wymagane działanie;
minimalizacja czasu obliczeń), stochastycznego (po-
szczególne regulatory gwarantują wymagane działanie
z określonym poziomem ufności), tzw. viable control
[4, 5] (regulator wykorzystuje algorytm identyfikujący
trajektorie sterowania i wybiera tę, która gwarantuje
pożądane działanie). Spośród innych metod stosowa-
nych do projektowania układów hybrydowych można
wymienić sterowanie predykcyjne z modelem (Model
Predictive Control, MPC) i metody z zastosowaniem re-
gulatorów odpornych.

W przypadku prezentowanego hybrydowego układu

regulacji MFC/IMC zachodzi przełączanie między mo-
delami procesu.

Stabilność układów
hybrydowych

Stabilność jest jednym z podstawo-
wych wymagań, jakie musi spełnić
hybrydowy układ regulacji. Z powo-
du występowania elementu prze-
łączającego jest to zawsze układ
nieliniow y, nawet w przypadku
przełączania liniowych elementów
składowych [9].

Powszechnie stosowaną metodą

wyznaczania warunków stabilności
globalnej układów hybrydowych jest
metoda funkcji Lapunowa. W przy-
padku układów hybrydowych poszu-
kiwana jest wspólna (dla wszystkich
przełączanych układów) funkcja La-

punowa. Jest to warunek dostateczny. Istnienie takiej
funkcji zapewnia stabilność układu hybrydowego.

Załóżmy, że istnieje rodzina autonomicznych układów

liniowych (uzyskana w wyniku i przełączeń) opisana
układem równań stanu (3):

(3)

gdzie A

są macierzami stanu o ujemnych wartościach

własnych.

obiekt

(proces)

element

decyzyjny

Rys. 3. Wieloregulatorowa struktura hybrydowego układu

regulacji

Rys. 2. Schemat blokowy hybrydowego układu regulacji MFC/IMC (switched

MFC/IMC): M

(s), M

(s) – transmitancje modeli procesu;

(s)¸ y

(s) wielkości wyjściowe z odpowiednich modeli; min – blok

wyszukiwania minimum

Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007

Dalej, niech P

... P

oznaczają syme-

tryczne, dodatnio określone macierze,
spełniające równania Lapunowa (4):

A P

P A

A P

P A

= −

⎫
⎬

⎪

⎭

⎪

−

…

(4)

wtedy, według [6] dla układu (3), ist-
nieje wspólna funkcja Lapunowa V(x)
określona następująco:

V x

( ) :

= x P x

(5)

Przykład symulacyjny

Eksperymenty symulacyjne układu
MFC/IMC (klasycznego i nowego)
zostały przeprowadzone w progra-
mie MATLAB

/Simulink

. Oba układy

mia ł y ident yczne transmitancje:
procesu

P s

T s

( )

(

)(

)

1 2

, T

– zmieniane parametry procesu), regulatora

procesu

R s

( )

i regulatora modelu

( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 5 1

W przypadku hybrydowego układu MFC/IMC zostały

przyjęte następujące modele procesu:

M s

( )

(

)

;

( )

(

)

;

( )

(

) (

)

;

( )

(

) (

)

Dla klasycznego układu regulacji MFC/IMC model

procesu stanowiła transmitancja M

(s). Przyjęto czas

symulacji 150 s. Przykładowe przebiegi symulacyjne
przedstawiono na rys. 4.

Sprawdzenia stabilności hybrydowego układu regu-

lacji MFC/IMC (dla parametrów jak w tabelach 1 i 2)
przeprowadzono numerycznie wykorzystując wielo-
krotnie polecenie lyap

(z MATLAB Control Toolbox)

do rozwiązania każdego z równań w zależności (4) dla
różnych macierzy stanu A

, wyznaczonych na podstawie

transmitancji (1). Pozwoliło to określić wspólną funk-
cję Lapunowa V(x) według zależności (5). Wszystkie
warunki stabilności przedstawione powyżej w „Sta-
bilność układów hybrydowych” zostały spełnione,

a więc hybrydowy układ regulacji MFC/IMC jest stabilny
dla przyjętych parametrów.

Przykładowe charakterystyki skokowe obu układów

przedstawiono na rys. 4.

Do porównania jakości działania obu układów jako

kryterium przyjęto całkę z wartości bezwzględnej sy-
gnału błędu (dla skokowej zmiany wartości zadanej lub
zakłócenia). Uzyskane wartości całek kryterialnych – dla
różnych parametrów procesu P(s) – zostały zestawione
w tabeli 1 i 2. Ponieważ z praktycznego punktu widze-
nia ważne są generowane maksymalne wartości sygnału
sterującego procesem, w tabeli 3 zestawiono wartości
całek w obecności występowania nasycenia na wyjściu
regulatora R

(s).

Rys. 4. Charakterystyki skokowe w klasycznym i hybrydowym układzie MFC/IMC:

a) k

= 1, T

= 7 s, r = 1, d = 0; b) k

= 1, T

= 7 s, r = 0, d = 1; c) k

= 2, T

= 7 s, r = 1, d = 0; d) k

= 2, T

= 7 s, r = 0, d = 1

a) b)

lyap rozwiązuje ciągłe w czasie równanie Lapunowa o postaci,

jak poszczególne równania w zależności (4).

Tabela 1

Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007

Wnioski

W artykule przedstawiono nową strukturę układu re-
gulacji typu MFC/IMC różniącego się od klasycznego
układu regulacji zastosowaniem przełączanych modeli
procesów. Parametry modeli wynikają z dopuszczalnych
lub przewidywanych zmian parametrów procesu. Zasto-
sowanie przełączania modeli powoduje, że powstaje nie-
liniowy układ hybrydowy i konieczna jest analiza jego
stabilności. W artykule wykorzystano metodę poszuki-
wania wspólnej funkcji Lapunowa dla wszystkich ukła-
dów uzyskanych w wyniku przełączeń. Stwierdzono, że
taka funkcja istnieje. Jak można też było się spodziewać,
działanie układu hybrydowego jest lepsze niż konwen-
cjonalnego układu MFC/IMC, co zostało potwierdzone
wyznaczeniem wartości całki z modułu sygnału błędu
przy skokowych zmianach wartości zadanej i zakłóceń
dla różnych wartości parametrów procesu.

Tabela 2

Tabela 3

ą z

śc

i w

ię

e w u

ła

iż

w k

syc

ła

Bibliografia

Åström K.J., Hägglund T., PID Controllers: Theory, De-
sign and Tuning, 2nd edition, Instrument Society of
America, 1995, pp. 343.

2. Brzózka

J.,

Regulatory cyfrowe w automatyce, Wydaw-

nictwo MIKOM, Warszawa 2002, s. 258.

3. Brzózka

J.,

Regulatory i układy automatyki, Wydaw-

nictwo MIKOM, Warszawa 2004, s. 344.

4. Deshpande A., Varaiya P., Viable Control of Hybrid

Systems, Hybrid Systems II, LNCS 999, Springer Verlag
1995, pp. 128–147.

5. de Lara M., Doyen L., Guilbaud T., Rochet M.J., Monoto-

nic Properties for the Viable Control of Discrete Time
Systems, Rapport de recherché du CERMICS 2006-299,
Janvier 2006, pp. 14.

6. Liberzon P., Morse A.S., Basic Problems in Stability and

Design of Switched Systems, IEEE Control Systems Ma-
gazine 1999, vol. 19, pp. 59–70.

7. Piegat

A.,

Modelowanie i sterowanie rozmyte, Wydaw-

nictwo EXIT, Warszawa 1998 (również Springer Verlag,
2001), s. 678.

8. Skoczowski S., Osypiuk R., Pietrusewicz K., Odporna

regulacja PID o dwóch stopniach swobody, PWN-MI-
KOM, Warszawa 2006, s. 360.

9. Žefran M., Burdick J.W., Stabilization of Systems with

Changing Dynamics by Means of Switching, Internatio-
nal Conference on Robotics and Automation, Leuven,
Belgium 1998.