Szczególna teoria względności
Postulaty Einsteina:
I.
Prawa fizyki s
ą
takie same we wszystkich inercjalnych
układach odniesienia.
II.
Pr
ę
dko
ść
ś
wiatła w pró
ż
ni jest taka sama we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia.
Transformacje Lorentza
y
y
=
'
z
z
=
'
t
t
=
'
'
x
x
ut
= −
y
y
′
=
z
z
′
=
t
t
′
=
x
x
ut
′
= +
Transformacje Galileusza:
Transformacje Lorentza:
y
y
=
'
z
z
=
'
2
'
xu
t
t
c
γ
=
−
(
)
'
x
x
ut
γ
=
−
y
y
′
=
z
z
′
=
2
'
x u
t
t
c
γ
′
=
+
(
)
'
x
x
ut
γ
′
=
+
2
2
1
1
u
c
γ
=
−
„Skrócenie długo
ś
ci”
0
2
1
l
x
x
′
′
=
−
1
γ
=
0
2
1
(
)
(
)
l
x
ut
x
ut
γ
γ
=
−
−
−
0
2
1
(
)
l
x
x
γ
=
−
(
)
x
x
−
(
)
'
x
x
ut
γ
=
−
2
2
1
1
u
c
γ
=
−
2
1
0
2
(
)
1
x
x
l
u
c
−
=
−
0
2
1
l
l
u
c
=
−
⇒
( )
2
0
1
/
l
u c
l
=
−
⋅
Przykład
•
Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje wynik
400m. Jaką długość statku zmierzy obserwator na Ziemi, jeśli
wiadomo, że prędkość statku u = 0.8c
2
2
2
0
1
/
400 1 (0.8 / )
400 1 0.64
240
l
l
u
c
c c
m
=
−
=
−
=
−
=
Długość w kier. prostopadłym do kier. ruchu układu
'
⊥
=
⊥
l
l
Czas pomi
ę
dzy dwoma zdarzeniami
2
1
2
1
2
1
2
2
x u
x u
t
t
t
t
c
c
γ
γ
′
′
′
′
− =
+
−
+
a) Zdarzenia zachodz
ą
w tym samym punkcie x’ = a i w
chwilach wzgl
ę
dem układu S’
1
2
t oraz t
′
′
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)
au
au
t
t
t
t
t
t
c
c
γ
γ
′
′
′
′
− =
+
− −
=
−
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)
t
t
t
t
t
t
c
c
γ
γ
′
′
′
′
− =
+
− −
=
−
Zdarzenia jednoczesne, zachodz
ą
ce w tym samym punkcie w jednym
inercjalnym u.w. s
ą
równoczesnymi w ka
ż
dym innym układzie
inercjalnym.
( )
0
2
1
/
t
t
u c
∆
∆ =
−
czas własny
Czas pomi
ę
dzy dwoma zdarzeniami
Przykład
•
Statek kosmiczny wysyła impulsy
ś
wietlne trwaj
ą
ce wg
astronautów na statku 2x10
-6
s. Jak długo trwaj
ą
te impulsy wg
obserwatora na Ziemi, je
ś
li statek porusza si
ę
wzgl
ę
dem Ziemi z
pr
ę
dko
ś
ci
ą
v=0.6c?
s
x
s
x
t
6
6
10
2
10
2
−
−
−
∆
s
x
s
x
c
c
s
x
c
u
t
t
6
6
2
2
6
2
2
0
10
5
.
2
8
.
0
10
2
6
.
0
1
10
2
1
−
−
−
=
=
−
=
−
∆
=
∆
Czas życia mionów
•
Miony powstają w górnych
warstwach atmosfery w wyniku
rozpadu pionów
•
Poruszają się z prędkościami
bliskimi prędkości światła
•
Ich czas życia w „spoczynku”
τ
= 2.2x10
-6
s
•
W takim czasie powinny
•
W takim czasie powinny
przebyć odległość nie większą
niż
600m
zanim nie ulegną
rozpadowi
•
Tymczasem przebywaj
ą
one odległo
ść
rz
ę
du
4.8km
µ
π
µ ν
+
+
→
+
e
e
v
v
µ
µ
+
+
→ + +
ɶ
S im u lta n e ity
2
'
xu
t
t
c
γ
=
−
0
>
−
=
∆
A
B
t
t
t
2
0
?
B
A
xv
t
t
t
t
c
γ
∆
′ ′
′
∆ = − =
∆ −
<
Związek przyczynowo - skutkowy
Rozpatrzmy dwa zdarzenia A i B wyst
ę
puj
ą
ce po sobie w przedziale
czasowym
∆
t w odległo
ś
ci
∆
x od siebie .Wyst
ą
pienie zdarzenia B jest
zale
ż
ne od wyst
ą
pienia zdarzenia A. Obserwator w spoczywaj
ą
cym u.w
stwierdza,
ż
e zdarzenie A wyst
ę
puje wcze
ś
niej ni
ż
B .
Czy w układzie poruszaj
ą
cym si
ę
sekwencja zdarze
ń
mo
ż
e by
ć
odwrotna ?
c
czyli musi by
ć
2
2
1
xv
xv
t
c
tc
∆
∆
> ∆
⇒
>
∆
0
2
<
∆
−
∆
c
xv
t
Je
ż
eli zdarzenie B jest wynikiem zaj
ś
cia zdarzenia A, to
x
c
t
∆ ≤
∆
.
St
ą
d
2
xv
c
t
∆ >
∆
nie mo
ż
e by
ć
spełnione
Sekwencja zdarze
ń
zale
ż
nych jest taka sama we wszystkich u.w
)
(
'
)
(
'
2
c
dx
u
dt
dt
udt
dx
dx
−
=
−
=
γ
γ
Transformacja pr
ę
dko
ś
ci
Załó
ż
my,
ż
e pewna cz
ą
stka porusza
si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
u wzdłu
ż
osi Ox.
Powi
ąż
my z t
ą
cz
ą
stk
ą
nowy u.w.
(
)
x
x
ut
γ
′ =
−
)
(
'
2
c
u
dt
dt
−
=
γ
x
2
x
2
2
x'
v
1
v
1
)
(
)
(
'
'
v
c
u
u
dt
dx
c
u
u
dt
dx
c
dx
u
dt
udt
dx
dt
dx
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
γ
γ
x
2
x
x'
v
1
v
v
c
u
u
−
−
=
x'
2
x'
x
v
1
v
v
c
u
u
+
+
=
Teraz ta cz
ą
stka porusza si
ę
w
kierunku osi Oy, a ruch jej jest
obserwowany
przez
obserwatora w układzie O’x’
dt
c
dx
u
dt
dt
dy
dy
γ
γ
=
−
=
=
)
(
'
'
2
Transformacja pr
ę
dko
ś
ci
dt
c
u
dt
dt
γ
γ
=
−
=
)
(
'
2
2
2
y
y'
1
v
'
'
v
c
u
dt
dy
dt
dy
−
=
=
=
γ
Transformacja pr
ę
dko
ś
ci
x’
x'
2
x'
x
v
1
v
v
c
u
u
+
+
=
x
2
0.7c 0.8
v
0.96
0.8
1
0.7c
c
c
c
c
+
=
=
+
Relatywistyczny
p
ę
du
Druga zasady dynamiki
dt
p
d
F
=
2
2
1
o
m
p
u
u
c
=
−
Równowa
ż
no
ść
masy i energii
2
E
mc
=
2
2
2
0
E
c m c
p
=
+
P
ę
d cz
ą
stki o zerowej masie spoczynkowej, m
0
=0
2
0
E
E
c
p
p
c
=
+
⇒
=
P
ę
d fotonu:
hv
p
c
=
2
2
0
K
mc
m c
=
−
(
)
−
1
n
n
Przypadek małych pr
ę
dko
ś
ci:
2
0
v
c
<<
Energia kinetyczna
Skorzystajmy z rozwini
ę
cia :
(
)
(
)
⋅⋅
⋅
+
−
+
+
=
+
!
2
1
1
1
2
x
n
n
nx
x
n
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
8
3
2
1
1
2
2
2
2
2
0
c
v
c
v
m
(
)
2
1
2
2
0
1
−
−
=
c
v
m
m
2
0
2
2
0
0
2
1
c
m
c
v
m
m
K
−
+
≅
2
0
2
1
v
m
=
+
≅
2
2
0
2
1
1
c
v
m
Przykład 1.
Elektron porusza si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
v=0.9c.
Masa spoczynkowa elektronu m
0
=0.511 eV
2
2
0
0.661
T
mc
m c
eV
=
−
=
( )
2
1
2.2942
1
0.9
γ
=
=
−
⇒
Przykład 2. Synteza trytu
2
2
3
1
1
1
1
1
H
H
H
H
energia
+
→
+
+
13
4.03
6.45 10
energia
eV
J
−
=
=
×
Przykład 3.
Spoczywaj
ą
ce ciało o masie M rozpada si
ę
na dwa o masach
spoczynkowych
m
1
i
m
2
. Wyznaczy
ć
energie kinetyczne powstałych fragmentów.
Energia całkowita układu
2
1
2
Mc
E
E
=
+
p
ę
d:
2
2
1
2
1
2
0
p
p
p
p
+
=
⇒
=
2
2
2
2
2
2
4
1
1
1
1
E
c m c
p
p
E
m c
=
+
⇒
=
−
(
)(
)
1
1
1
1
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
4
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
E
c m c
p
p
E
m c
E
m c
E
m c
E
E
c m
m
E
E
E
E
c m
m
=
+
⇒
=
−
−
=
−
⇒
−
=
−
−
+
=
−
4
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
(
)
E
E
c m
m
Mc
E
E
Mc
−
=
⋅
−
+
=