Szczególna teoria względności

Postulaty Einsteina:

I.

Prawa fizyki s

ą

takie same we wszystkich inercjalnych

układach odniesienia.

II.

Pr

ę

dko

ść

ś

wiatła w pró

ż

ni jest taka sama we wszystkich

inercjalnych układach odniesienia.

Transformacje Lorentza

y

y

=

'

z

z

=

'

t

t

=

'

'

x

x

ut

= −

y

y

′

=

z

z

′

=

t

t

′

=

x

x

ut

′

= +

Transformacje Galileusza:

Transformacje Lorentza:

y

y

=

'

z

z

=

'

2

'

xu

t

t

c

γ





=

−









(

)

'

x

x

ut

γ

=

−

y

y

′

=

z

z

′

=

2

'

x u

t

t

c

γ





′

=

+









(

)

'

x

x

ut

γ

′

=

+

2

2

1

1

u

c

γ

=

−

„Skrócenie długo

ś

ci”

0

2

1

l

x

x

′

′

=

−

1

γ

=

0

2

1

(

)

(

)

l

x

ut

x

ut

γ

γ

=

−

−

−

0

2

1

(

)

l

x

x

γ

=

−

(

)

x

x

−

(

)

'

x

x

ut

γ

=

−

2

2

1

1

u

c

γ

=

−

2

1

0

2

(

)

1

x

x

l

u

c

−

=

 

−

 

 

0

2

1

l

l

u

c

=

 

−

 

 

⇒

( )

2

0

1

/

l

u c

l

=

−

⋅

Przykład

•

Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje wynik
400m. Jaką długość statku zmierzy obserwator na Ziemi, jeśli
wiadomo, że prędkość statku u = 0.8c

2

2

2

0

1

/

400 1 (0.8 / )

400 1 0.64

240

l

l

u

c

c c

m

=

−

=

−

=

−

=

Długość w kier. prostopadłym do kier. ruchu układu

'

⊥

=

⊥

l

l

Czas pomi

ę

dzy dwoma zdarzeniami

2

1

2

1

2

1

2

2

x u

x u

t

t

t

t

c

c

γ

γ

′

′









′

′

− =

+

−

+

















a) Zdarzenia zachodz

ą

w tym samym punkcie x’ = a i w

chwilach wzgl

ę

dem układu S’

1

2

t oraz t

′

′

2

1

2

1

2

1

2

2

(

)

au

au

t

t

t

t

t

t

c

c

γ

γ





′

′

′

′

− =

+

− −

=

−









2

1

2

1

2

1

2

2

(

)

t

t

t

t

t

t

c

c

γ

γ

′

′

′

′

− =

+

− −

=

−









Zdarzenia jednoczesne, zachodz

ą

ce w tym samym punkcie w jednym

inercjalnym u.w. s

ą

równoczesnymi w ka

ż

dym innym układzie

inercjalnym.

( )

0

2

1

/

t

t

u c

∆

∆ =

−

czas własny

Czas pomi

ę

dzy dwoma zdarzeniami

Przykład

•

Statek kosmiczny wysyła impulsy

ś

wietlne trwaj

ą

ce wg

astronautów na statku 2x10

-6

s. Jak długo trwaj

ą

te impulsy wg

obserwatora na Ziemi, je

ś

li statek porusza si

ę

wzgl

ę

dem Ziemi z

pr

ę

dko

ś

ci

ą

v=0.6c?

s

x

s

x

t

6

6

10

2

10

2

−

−

−

∆

s

x

s

x

c

c

s

x

c

u

t

t

6

6

2

2

6

2

2

0

10

5

.

2

8

.

0

10

2

6

.

0

1

10

2

1

−

−

−

=

=

−

=

−

∆

=

∆

Czas życia mionów

•

Miony powstają w górnych
warstwach atmosfery w wyniku
rozpadu pionów

•

Poruszają się z prędkościami

bliskimi prędkości światła

•

Ich czas życia w „spoczynku”

τ

= 2.2x10

-6

s

•

W takim czasie powinny

•

W takim czasie powinny
przebyć odległość nie większą
niż

600m

zanim nie ulegną

rozpadowi

•

Tymczasem przebywaj

ą

one odległo

ść

rz

ę

du

4.8km

µ

π

µ ν

+

+

→

+

e

e

v

v

µ

µ

+

+

→ + +

ɶ

S im u lta n e ity

2

'

xu

t

t

c

γ





=

−









0

>

−

=

∆

A

B

t

t

t

2

0

?

B

A

xv

t

t

t

t

c

γ

∆





′ ′

′

∆ = − =

∆ −

<









Związek przyczynowo - skutkowy

Rozpatrzmy dwa zdarzenia A i B wyst

ę

puj

ą

ce po sobie w przedziale

czasowym

∆

t w odległo

ś

ci

∆

x od siebie .Wyst

ą

pienie zdarzenia B jest

zale

ż

ne od wyst

ą

pienia zdarzenia A. Obserwator w spoczywaj

ą

cym u.w

stwierdza,

ż

e zdarzenie A wyst

ę

puje wcze

ś

niej ni

ż

B .

Czy w układzie poruszaj

ą

cym si

ę

sekwencja zdarze

ń

mo

ż

e by

ć

odwrotna ?

c





czyli musi by

ć

2

2

1

xv

xv

t

c

tc

∆

∆

> ∆

⇒

>

∆

0

2

<

∆

−

∆

c

xv

t

Je

ż

eli zdarzenie B jest wynikiem zaj

ś

cia zdarzenia A, to

x

c

t

∆ ≤

∆

.

St

ą

d

2

xv

c

t

∆ >

∆

nie mo

ż

e by

ć

spełnione

Sekwencja zdarze

ń

zale

ż

nych jest taka sama we wszystkich u.w

)

(

'

)

(

'

2

c

dx

u

dt

dt

udt

dx

dx

−

=

−

=

γ

γ

Transformacja pr

ę

dko

ś

ci

Załó

ż

my,

ż

e pewna cz

ą

stka porusza

si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

u wzdłu

ż

osi Ox.

Powi

ąż

my z t

ą

cz

ą

stk

ą

nowy u.w.

(

)

x

x

ut

γ

′ =

−

)

(

'

2

c

u

dt

dt

−

=

γ

x

2

x

2

2

x'

v

1

v

1

)

(

)

(

'

'

v

c

u

u

dt

dx

c

u

u

dt

dx

c

dx

u

dt

udt

dx

dt

dx

−

−

=

−

−

=

−

−

=

=

γ

γ

x

2

x

x'

v

1

v

v

c

u

u

−

−

=

x'

2

x'

x

v

1

v

v

c

u

u

+

+

=

Teraz ta cz

ą

stka porusza si

ę

w

kierunku osi Oy, a ruch jej jest
obserwowany

przez

obserwatora w układzie O’x’

dt

c

dx

u

dt

dt

dy

dy

γ

γ

=

−

=

=

)

(

'

'

2

Transformacja pr

ę

dko

ś

ci

dt

c

u

dt

dt

γ

γ

=

−

=

)

(

'

2

2

2

y

y'

1

v

'

'

v

c

u

dt

dy

dt

dy

−

=

=

=

γ

Transformacja pr

ę

dko

ś

ci

x’

x'

2

x'

x

v

1

v

v

c

u

u

+

+

=

x

2

0.7c 0.8

v

0.96

0.8

1

0.7c

c

c

c

c

+

=

=

+

Relatywistyczny

p

ę

du

Druga zasady dynamiki

dt

p

d

F





=

2

2

1

o

m

p

u

u

c

=

−





Równowa

ż

no

ść

masy i energii

2

E

mc

=

2

2

2

0

E

c m c

p

=

+

P

ę

d cz

ą

stki o zerowej masie spoczynkowej, m

0

=0

2

0

E

E

c

p

p

c

=

+

⇒

=

P

ę

d fotonu:

hv

p

c

=

2

2

0

K

mc

m c

=

−

(

)

−

1

n

n

Przypadek małych pr

ę

dko

ś

ci:

2

0

v

c

 

<<

 

 

Energia kinetyczna

Skorzystajmy z rozwini

ę

cia :

(

)

(

)

⋅⋅

⋅

+

−

+

+

=

+

!

2

1

1

1

2

x

n

n

nx

x

n















⋅⋅

⋅

+













+













+

=

8

3

2

1

1

2

2

2

2

2

0

c

v

c

v

m

(

)

2

1

2

2

0

1

−

−

=

c

v

m

m

2

0

2

2

0

0

2

1

c

m

c

v

m

m

K













−

+

≅

2

0

2

1

v

m

=

























+

≅

2

2

0

2

1

1

c

v

m

Przykład 1.

Elektron porusza si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v=0.9c.

Masa spoczynkowa elektronu m

0

=0.511 eV

2

2

0

0.661

T

mc

m c

eV

=

−

=

( )

2

1

2.2942

1

0.9

γ

=

=

−

⇒

Przykład 2. Synteza trytu

2

2

3

1

1

1

1

1

H

H

H

H

energia

+

→

+

+

13

4.03

6.45 10

energia

eV

J

−

=

=

×

Przykład 3.

Spoczywaj

ą

ce ciało o masie M rozpada si

ę

na dwa o masach

spoczynkowych

m

1

i

m

2

. Wyznaczy

ć

energie kinetyczne powstałych fragmentów.

Energia całkowita układu

2

1

2

Mc

E

E

=

+

p

ę

d:

2

2

1

2

1

2

0

p

p

p

p

+

=

⇒

=

2

2

2

2

2

2

4

1

1

1

1

E

c m c

p

p

E

m c

=

+

⇒

=

−

(

)(

)

1

1

1

1

2

2

4

2

2

4

2

2

4

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

4

2

2

1

2

1

2

1

2

(

)

(

)

E

c m c

p

p

E

m c

E

m c

E

m c

E

E

c m

m

E

E

E

E

c m

m

=

+

⇒

=

−

−

=

−

⇒

−

=

−

−

+

=

−

4

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

(

)

E

E

c m

m

Mc

E

E

Mc

−

=

⋅

−

+

=