ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA

Układy Równań Liniowych

ALEXANDER DENISJUK

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Ćwiczenie 1. Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa i znajdź jedno rozwiązanie szczególne:

(1)











5x

1

+ 3x

2

+ 5x

3

+ 12x

4

= 10,

2x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 5x

4

= 4,

x

1

+ 7x

2

+ 9x

3

+ 4x

4

= 2;

(2)











−9x

1

+ 10x

2

+ 3x

3

+ 7x

4

= 7,

−4x

1

+ 7x

2

+ x

3

+ 3x

4

= 5,

7x

1

+ 5x

2

− 4x

3

− 6x

4

= 3;

(3)



















2x

1

+ 5x

2

− 8x

3

= 8,

4x

1

+ 3x

2

− 9x

3

= 9,

2x

1

+ 3x

2

− 5x

3

= 7,

x

1

+ 8x

2

− 7x

3

= 12;

(4)











−9x

1

+ 6x

2

+ 7x

3

+ 10x

4

= 3,

−6x

1

+ 4x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

= 2,

−3x

1

+ 2x

2

− 11x

3

− 15x

4

= 1;

(5)











12x

1

+ 9x

2

+ 3x

3

+ 10x

4

= 13,

4x

1

+ 3x

2

+ x

3

+ 2x

4

= 3,

8x

1

+ 6x

2

+ 2x

3

+ 5x

4

= 7;

(6)











−6x

1

+ 9x

2

+ 3x

3

+ 2x

4

= 4,

−2x

1

+ 3x

2

+ 5x

3

+ 4x

4

= 2,

−4x

1

+ 6x

2

+ 4x

3

+ 3x

4

= 3;

(7)































8x

1

+ 6x

2

+ 5x

3

+ 2x

4

= 21,

3x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

+ x

4

= 10,

4x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ x

4

= 8,

3x

1

+ 3x

2

+ x

3

+ x

4

= 15,

7x

1

+ 4x

2

+ 5x

3

+ 2x

4

= 18;

(8)



















6x

1

+ 4x

2

+ 5x

3

+ 2x

4

+ 3x

5

= 1,

3x

1

+ 2x

2

− 2x

3

+ x

4

= 1,

9x

1

+ 6x

2

+ x

3

+ 3x

4

+ 2x

5

= 2,

3x

1

+ 2x

2

+ 4x

3

+ x

4

+ 2x

5

= 3.

Ćwiczenie 2. Zbadaj układ i znajdź rozwiązanie ogólne w zależności od parametru λ:

(1)



















−6x

1

+ 8x

2

− 5x

3

− x

4

= 9,

−2x

1

+ 4x

2

+ 7x

3

+ 3x

4

= 1,

−3x

1

+ 5x

2

+ 4x

3

+ 2x

4

= 3,

−3x

1

+ 7x

2

+ 17x

3

+ 7x

4

= λ;

(2)











λx

1

+ x

2

+ x

3

= 1,

x

1

+ λx

2

+ x

3

= 1,

x

1

+ x

2

+ λx

3

= 1;

(3)











(1 + λ)x

1

+ x

2

+ x

3

= 1,

x

1

+ (1 + λ)x

2

+ x

3

= λ,

x

1

+ x

2

+ (1 + λ)x

3

= λ

2

;

(4)



















8x

1

+ 6x

2

+ 3x

3

+ 2x

4

= 5,

−12x

1

− 3x

2

− 3x

3

+ 3x

4

= −6,

4x

1

+ 5x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

= 3,

λx

1

+ 4x

2

+ x

3

+ 4x

4

= 2;

(5)



















2x

1

+ 5x

2

+ x

3

+ 3x

4

= 2,

4x

1

+ 6x

2

+ 3x

3

+ 5x

4

= 4,

4x

1

+ 14x

2

+ x

3

+ 7x

4

= 4,

2x

1

− 3x

2

+ 3x

3

+ λx

4

= 7;

(6)



















2x

1

− 1x

2

+ 3x

3

+ 4x

4

= 5,

4x

1

− 2x

2

+ 5x

3

+ 6x

4

= 7,

6x

1

− 3x

2

+ 7x

3

+ 8x

4

= 9,

λx

1

− 4x

2

+ 9x

3

+ 10x

4

= 11;

(7)



















2x

1

+ 3x

2

+ x

3

+ 2x

4

= 3,

4x

1

+ 6x

2

+ 3x

3

+ 4x

4

= 5,

6x

1

+ 9x

2

+ 5x

3

+ 6x

4

= 7,

8x

1

+ 12x

2

+ 7x

3

+ λx

4

= 9;

(8)



















λx

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 1,

x

1

+ λx

2

+ x

3

+ x

4

= 1,

x

1

+ x

2

+ λx

3

+ x

4

= 1,

x

1

+ x

2

+ x

3

+ λx

4

= 1;

(9)











(1 + λ)x

1

+ x

2

+ x

3

= λ

2

+ 3λ,

x

1

+ (1 + λ)x

2

+ x

3

= λ

3

+ 3λ

2

,

x

1

+ x

2

+ (1 + λ)x

3

= λ

4

+ 3λ

3

;

1

2

ALEXANDER DENISJUK

Ćwiczenie 3. Znajdź rozwiązanie ogólne i bazę rozwiązań układu:

(1)



















x

1

+ x

2

− 2x

3

+ 2x

4

= 0,

2x

1

+ 5x

2

+ 6x

3

− 4x

4

= 0,

4x

1

+ 5x

2

− 2x

3

+ 3x

4

= 0,

8x

1

+ 8x

2

+ 24x

3

− 19x

4

= 9;

(2)







































x

1

− x

3

= 0,

x

2

− x

4

= 0,

−x

1

+ x

3

− x

5

= 0,

−x

2

+ x

4

− x

6

= 0,

−x

3

+ x

5

= 0,

−x

4

+ x

6

= 0;

(3)































x

1

− x

3

+ x

5

= 0,

x

2

− x

4

+ x

6

= 0,

x

1

− x

2

+ x

5

− x

6

= 0,

x

2

− x

3

+ x

6

= 0,

x

1

− x

4

+ x

5

= 0;

(4)











x

1

+ x

2

= 0,

x

1

+ x

2

+ x

3

= 0,

x

2

+ x

3

= 0;

(5)



















x

1

+ x

2

= 0,

x

1

+ x

2

+ x

3

= 0,

x

2

+ x

3

+ x

4

= 0,

x

4

+ x

5

= 0;

(6)































x

1

+ x

2

= 0,

x

1

+ x

2

+ x

3

= 0,

x

2

+ x

3

+ x

4

= 0,

x

4

+ x

5

+ x

6

= 0,

x

5

+ x

6

= 0;

Ćwiczenie 4.

(1) Znajdź wielomian f (x) drugiego stopnia, taki że f (1) = 8, f (−1) = 2, f (2) = 14.

(2) Znajdź wielomian f (x) drugiego stopnia, taki że f (1) = −8, f (−1) = 2, f (2) = 14.
(3) Znajdź wielomian f (x) trzeciego stopnia, taki że f (−2) = 1, f (−1) = 3, f (1) = 13, f (2) = 33.
(4) Znajdź wielomian f (x) stopnia 5, taki że f (−3) = −77, f (−2) = −13, f (−1) = 1, f (1) = −1,

f

(2) = −17.

E-mail address

: denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brze-

gi 55, 80-045 Gdańsk