OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Sierpień 2011
Sierpień 2011
wykład 9
wykład 9
OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Sierpień 2011
Sierpień 2011
wykład 9
wykład 9
impedancja falowa
c
j
c
c
B
Z
Z e
C
ϕ
=
=
Współczynnik przenoszenia
1
1
2
2
g
a
jb
U
I
A
BC
e
e e
U
I
ϑ
=
= +
= =
=
g=
a
+j
b
- współczynnik przenoszenia
współczynnik tłumienia
współczynnik fazowy
Czwórniki - postać hiperboliczna
1
2
1
2
1
c
c
chg
Z shg
U
U
shg
chg
I
I
Z
=
c
Z
g
c
Z
g
c
Z
g
c
Z
g
1
U
1
I
1
2
3
n
2
U
3
U
4
U
n
U
1
n
U
+
1
n
I
+
1
U
1
n
U
+
c
Z
ng
Inwertory impedancji
1
2
1
2
0
0
U
B
U
I
C
I
=
1
2
1
i
Z
K
Z
=
Oznaczmy
K
i
= B/C
- współczynnik inwersji ( dodatni lub ujemny )
znaczenie praktyczne: ( Ŝyrator ).
1
2
1
2
0
1
0
R
U
U
I
I
R
=
1
U
2
U
1
I
2
I
R
Konwertery impedancji
Czwórniki aktywne, których macierz łańcuchowa ma postać
1
2
1
2
0
0
U
A
U
I
D
I
=
czyli
B=C=0
1
2
1
2
1
2
U
A U
A
Z
Z
I
D I
D
=
=
=
K
k
=A/D
- współczynnik konwersji
Z
1
=K
k
Z
2
Impedancja wejściowa konwertera jest proporcjonalna do impedancji
obciąŜenia.
Konwertery impedancji
Ze względu na znak współczynnika konwersji dzielimy na:
PIC
( positive impedancje converter ) – konwerter dodatnio-impedancyjny,
K
k
>0
NIC
( negative impedancje converter ) – konwerter ujemno-impedancyjny,
K
k
<0
Przykładem konwertera PIC jest transformator idealny
n
1
2
1
2
1
U
nU
i
I
I
n
=
=
czyli
A=n a D= 1/n
Konwertery impedancji
Większe znaczenie praktyczne mają konwertery typu NIC
rozróŜniamy dwa rodzaje:
V NIC ( U NIC )
C NIC ( I NIC )
zmiana znaku napięcia
zmiana znaku prądu
1
2
1
2
1
0
0
1
U
U
k
I
I
−
=
1
2
1
2
1
0
1
0
U
U
I
I
k
=
−
1
2
1
Z
Z
k
= −
1
2
Z
k Z
= −
Jest to czwórnik aktywny i nieodwracalny
Przekształca
R→ - R; L→ - L; C→ - C
wzmacniacz napięciowy ( idealny )
Czwórnik aktywny opisany macierzą hybrydową
1
1
2
2
21
0
0
0
I
U
h
U
I
=
1
U
2
1
21
U
h U
=
1
0
I
=
21
h
wzmacniacz napięciowy
Wynika Ŝe, idealny wzmacniacz napięciowy nie pobiera prądu
(impedancja wejściowa równa nieskończoności),
i przetwarza napięcie wejściowe
U
1
w wyjściowe
U
2
zgodnie z relacją
2
1
21
U
h U
=
1
0
I
=
1
U
2
1
21
U
h U
=
2
U
Wejście układu stanowi przerwę (
impedancja wejściowa równa nieskończoności
).
Na wyjściu istnieje jedynie idealne źródło napięcia sterowane napięciem U
1
.
Stąd
impedancja wyjściowa takiego układu jest równa zeru
.
wzmacniacz operacyjny ( idealny )
Jest szczególnym przypadkiem wzmacniacza napięciowego
1
U
2
1
U
kU
=
k
+
_
U
+
U
−
jest napięciem wejścia nieodwracającego,
jest napięciem wejścia odwracającego wzmacniacza
U
+
U
−
1
U
U
U
+
−
=
−
wzmacniacz operacyjny
Idealny wzmacniacz operacyjny posiada:
-
impedancję wejściową
równą nieskończoności,
-
napięcie wyjściowe
w zakresie pracy liniowej jest
proporcjonalne
do wejściowego napięcia róŜnicowego
,
2
1
U
kU
=
Przy załoŜeniu idealności wzmacniacza operacyjnego wartość wzmocnienia
k
dąŜy do nieskończoności
.
Napięcie wyjściowe wzmacniacza moŜe przyjmować jedynie wartości
skończone, to napięcie róŜnicowe w idealnym wzmacniaczu operacyjnym
musi być równe zeru.
1
0
U
U
U
+
−
= →
=
wzmacniacz operacyjny
Idealny wzmacniacz operacyjny charakteryzuje się:
-
nieskończoną wartością wzmocnienia napięciowego,
-
zerową wartością impedancji wyjściowej,
-
nieskończoną impedancją wejściowa,
- spełnia wszystkie powyŜsze cechy dla zakresu częstotliwości
od zera do nieskończoności.
wzmacniacz operacyjny
Schemat zastępczy idealnego wzmacniacza operacyjnego
2
1
U
kU
=
2
U
U
−
1
U
U
+
Rzeczywisty wzmacniacz operacyjny wykonany w technologii scalonej ma:
- skończoną wartość impedancji wejściowej (bardzo duŜą , rzędu 10
8
Ω
),
- skończoną wartość wzmocnienia napięciowego ( k > 10
4
V/V ),
- wzmocnienie napięciowe jest w istotny sposób zaleŜne od częstotliwości,
- impedancja wyjściowa wzmacniacza rzeczywistego przyjmuje wartość około
kilkadziesiąt
Ω
zamiast wartości zerowej w przypadku idealnym.
W zakresie małych częstotliwości do 10 kHz rzeczywisty wzmacniacz
operacyjny moŜe być traktowany jako idealny.
wzmacniacz operacyjny
Wzmacniacz operacyjny dzięki swoim cechom znalazł
szerokie zastosowania w technice elektronicznej.
Wzmacniacz napięcia
1
U
2
1
U
kU
kU
−
=
= −
k
+
_
U
−
wzmacniacz operacyjny
Wzmacniacz róŜnicowy
1
U
(
)
2
1
U
kU
k U
U
+
−
=
=
−
k
+
_
U
+
U
−
wzmacniacz operacyjny
sumator
3
U
k
+
_
U
−
U
+
1
R
2
R
s
R
0
R
+
0
R
−
2
U
1
U
wzmacniacz operacyjny
z PRK
(
)
(
)
(
)
2
2
0
1
3
1
0
1
1
1
1
1
s
U
U
U
R
R
U
U
U
U
U
R
R
R
+
+
+
−
−
−
−
−
=
−
=
+
−
wzmacniacz idealny to k=∞, to
rozwiązując
układ równań otrzymamy, Ŝe
(
)
0
U
U
U
U
+
−
+
−
−
=
⇒
=
0
2
2
0
R
U
U
R
R
+
+
+
=
+
wzmacniacz operacyjny
oraz
(
)
0
1
0
0
1
3
2
1
1
0
2
0
1
(
)
s
s
s
R
R R
R R
R R
R
U
U
U
R R R
R
R
+
−
−
−
+
+
+
=
−
+
czyli
3
1
2
1
2
U
k U
k U
=
+
sygnał wyjściowy jest sumą waŜoną sygnałów wejściowych
wzmacniacz operacyjny
Układ całkujący
2
U
k
+
_
U
−
1
U
R
C
I
wzmacniacz idealny → wzmacniacz nie pobiera prądu→ napięcie róŜnicowe
jest równe zeru, otrzymuje się następujące równania opisujące układ
wzmacniacz operacyjny
1
U
RI
=
i
2
1
U
j
I
C
ω
=
transmitancja napięciowa układu równa się
2
1
1
U
T
U
j RC
ω
=
= −
a to realizuje operację całkowania sygnału
u
1
(t) ze współczynnikiem k=-1/RC
wzmacniacz operacyjny
Układ róŜniczkujący
2
U
k
+
_
U
−
1
U
R
C
I
wzmacniacz idealny → wzmacniacz nie pobiera prądu→ napięcie róŜnicowe
jest równe zeru,otrzymuje się następujące równania opisujące układ
wzmacniacz operacyjny
1
1
U
j
I
C
ω
= −
i
2
U
RI
= −
i
Transmitancja napięciowa układu równa się
2
1
U
T
j RC
U
ω
=
= −
a to realizuje operację róŜniczkowania sygnału u
1
(t)
ze współczynnikiem k= - RC
Filtry częstotliwościowe
Filtr przepuszcza sygnał bez tłumienia w określonym paśmie
częstotliwości a tłumi poza tym pasmem.
- bez tłumienia –
pasmo przepustowe ( przepuszczania )
- tłumione –
pasmo tłumieniowe ( tłumienia ) lub zaporowe
te pasma dzieli częstotliwość graniczna (odcięcia ) -
f
g
Filtry częstotliwościowe
0
g
f
f
0
g
f
f
0
1
g
f
f
2
g
f
RozróŜniamy filtry:
dolnoprzepustowe
górnoprzepustowe
0
1
g
f
f
2
g
f
pasmowe
zaporowe
Filtry częstotliwościowe
Szeroką klasę filtrów stanowią czwórniki symetryczne
reaktancyjne ( z cewek i kondensatorów )
1
2
1
2
1
c
c
chg
Z shg
U
U
shg
chg
I
I
Z
=
1
2
1
2
U
A
B
U
I
C
D
I
=
(
)
2
(cos
sin )
(
cos
s
cos
sin )
2
cos
sin
2
2
in
a jb
a jb
a
b
a
b
a
b
e
e
A
chg
ch a
jb
e
a
j
b
e
a
j
b
e
e
e
e
b
j
cha
b
jsha
b
b
A
+
− −
−
−
−
+
=
=
+
=
=
+
+
−
=
=
+
−
+
+
=
=
=
=
Filtry częstotliwościowe
dla czwórnika symetrycznego
1
1
2
A
D
ZY
= = +
jeŜeli
Z=j X
a
Y=j B
to
Z Y
= liczba
rzeczywista
a więc
A – rzeczywiste
czyli
Re{A}=ch( a) cos( b ); Im{A}= sh( a )sin( b ) = 0
pasmo przepustowe
a = 0;
sha
=0
cha
=1
A = cosb czyli -1 ≤ A ≤ 1
shg
chg
thg
Filtry częstotliwościowe
pasmo tłumienia
Im{A}= sh( a )sin( b ) = 0
a ≠ 0;
sha
≠ 0 to sinb=0 to b=kΠ ( k=±(0,1,2,3,4,5,..)
Re{A}=ch( a) cos( b );
cosb=(±1) to A=±
cha
to A
2
≥1
Charakter impedancji charakterystycznej
w paśmie przepustowym
A
2
-BC=1 i A
2
≤1
to
BC=A
2
-1 ≤ 0 a B i C są urojone
shg
chg
thg
C
B
Z
C
=
Ten warunek jest spełniony gdy B i C mają jednakowe znaki,
wówczas impedancja charakterystyczna jest liczbą rzeczywistą.
W paśmie przepustowym impedancja charakterystyczna jest liczbą rzeczywistą.
Filtry częstotliwościowe
Charakter impedancji charakterystycznej
w paśmie tłumieniowym
A
2
≥1
BC=A
2
-1≥ 0
Ten warunek jest spełniony gdy B i C mają róŜne znaki.
W paśmie tłumieniowym
impedancja charakterystyczna
ma charakter
albo
indukcyjny
albo
pojemnościowy
.
Filtr dolnoprzepustowy
MoŜna zrealizować stosując czwórnik o schemacie
T
lub Π
2
L
2
L
C
2
C
2
C
L
Filtr dolnoprzepustowy
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
A
ZY
j Lj C
LC
ω ω
ω
= +
= +
= −
2
2
2
1
1 1
1
2
1
2
0
2
0
4
2
0
LC
LC
LC
LC
ω
ω
ω
ω
− ≤ −
≤
− ≤ −
≤
≤
≤
≤ ≤
w paśmie przepustowym
a=0 → -1 ≤ A(ω) ≤ 1
1
1
2
1
2
2
1
1
Z Y
Z
Z
Z Z Y
Y
Z Y
+
+
+
+
1
Z
2
Z
Y
1
U
2
U
1
I
2
I
1
2
1
;
2
Z
Z
Z
=
=
2
1
1
1
2
4
1
1
2
ZY
Z
Z Y
Y
ZY
+
+
+
Filtr dolnoprzepustowy
2
g
LC
ω
=
1
g
f
LC
=
Π
2
1
2
1
1
cos
2
1
cos
1
2
A
LC
b
b
LC
ω
ω
−
= −
=
=
−
pulsacja graniczna
częstotliwość graniczna
dla ω=0 → b=0
2
g
b
LC
ω ω
=
=
→ = Π
Współczynnik fazowy
b
w paśmie przepustowym zmienia się od
0 do Π
,
a w paśmie tłumienia ma stałą wartość Π
Filtr dolnoprzepustowy
Współczynnik tłumienia w paśmie tłumieniowym
cos
0
cos
1
A
cha
b
b
A
cha
=
<
= Π →
Π = −
= −
( )
1
1
2
1
2
LC
a
ch
A
ch
ω
−
−
=
−
=
− +
( )
1
2
1
0
g
a
ch
LC
ω ω
−
=
=
→ =
=
dla
w miarę wzrostu pulsacji ( częstotliwości ) współczynnik tłumienia rośnie ( do ∞ )
Filtr dolnoprzepustowy
ω
g
ω
Π
a
b
Filtr dolnoprzepustowy
Impedancja charakterystyczna
np. czwórnika typu T
- w paśmie przepustowym –rzeczywista
-
w paśmie tłumieniowym – urojona
B=Z
1
+Z
2
+Z
1
Z
2
Y; C=Y; symetryczny to Z
1
=Z
2
=Z/2
(
) (
)
2
2
2
2
1
1
4
4
1
1
1
4
T
T
T
c
T
g
Z
Z Y
j L
j L
j C
B
Z
C
Y
j C
L
L
LC
C
C
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
=
=
=
=
=
−
=
−
Filtr dolnoprzepustowy
2
0
2
2
lim
1
lim
1
0
lim
1
g
c
g
c
g
c
g
L
L
Z
C
C
L
Z
C
L
Z
C
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
→
→
→∞
=
−
=
=
−
=
=
−
= ∞
c
Z
L
C
g
ω
ω
pasmo przepuszczania pasmo tłumienia
char. rzeczywisty char. indukcyjny
Filtr górnoprzepustowy
2C
2C
L
2L
2L
C
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
A
ZY
j C j L
LC
ω
ω
ω
= +
= +
= −
Filtr górnoprzepustowy
w paśmie przepustowym
a=0 → -1≤A(ω)≤1
2
2
2
1
1
1 1
1
2
1
1
2
0
2
1
0
4
1
2
g
LC
LC
LC
LC
ω
ω
ω
ω
ω
− ≤ −
≤
− ≤ −
≤
≤
≤
=
≤ ≤ ∞
1
2
1
cos ;
cos (1
)
2
A
b
b
LC
ω
−
=
=
−
;
0
;
0
;
g
g
b
b
b
ω
ω ω
ω ω
→ ∞
→
>
<
=
= −Π
Filtr górnoprzepustowy
1
1
1
1
sin
C
C
C
C
shg
shjb
j
b
Z
Z
Z
j L
ω
=
=
=
=
sinb <0 bo b<0
to
Zc – rzeczywiste
a
b
ω
g
ω
Filtr górnoprzepustowy
w paśmie tłumionym
a≠0 ω<ωg
( )
2
2
2
2
2
1
2
1 2
cos
2
1
2
1
g
g
g
A
cha
cha
a
ch
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
= −
=
−Π
=
−
=
−
Filtr pasmowy
a
ω
1
ω
2
ω
Filtr zaporowy
a
ω
1
ω
2
ω
Przykład obliczania filtru
Dane:
f
g
– częstotliwość graniczna →ω
g
Z
cgr
. – impedancja graniczna
Szukamy:
L i C filtru dolnoprzepustowego
2
2
2
g
cgr
cgr
g
g
cgr
L
Z
C
LC
Z
L
C
Z
ω
ω
ω
=
=
=
=
Aktywne filtry częstotliwościowe
Przy projektowaniu filtrów pasywnych największy kłopot sprawiają
rzeczywiste cewki
.
moŜna to wyeliminować stosując elementy aktywne.
Np. element indukcyjny zastępuje się przez Ŝyrator i kondensator.
Wykonuje się filtry aktywne z
- konwertorami ujemno-impedacyjnymi,
- wzmacniaczami operacyjnymi