Ekonometria Ćwiczenia 5
Ćwiczenia 5
Weryfikacja Składnika Losowego Modelu
Badanie występowania autokorelacji składników losowych
Jeśli składniki losowe z dwóch sąsiednich okresów są ze sobą skorelowane to wówczas
można zapisać relację:
t
t
t
ε
ξ
ρ
ξ
+
=
−1
1
gdzie
t
ε
- błąd czysto losowy;
.
>
−
∈<
ρ
1
,
1
1
Test Durbina - Watsona
H
0
:
ρ
1
= 0
H
1
:
ρ
1
> 0
H
0
:
ρ
1
= 0
H
1
:
ρ
1
< 0
(
)
reszt
kwadratów
suma
reszt
przyrostu
kwadratów
suma
ˆ
ˆ
ˆ
DW
T
1
t
2
t
T
1
t
2
1
t
t
=
ξ
ξ
−
ξ
=
∑
∑
=
=
−
Odczytuje się z tablic rozkładu DW dwie wartości krytyczne
i
L
d
U
d
Obliczamy
wartość DW*
a) DW < d
L
- odrzucamy H
0
;
b) DW > d
U
– nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
;
c) d
L
≤ DW ≤ d
U
– obszar
niekonkluzywności testu.
a) DW* < d
L
- odrzucamy H
0
;
b) DW* > d
U
– nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
;
c) d
L
≤ DW* ≤ d
U
– obszar
niekonkluzywności testu.
(
)
1
ˆ
1
2
ρ
−
≈
DW
Badanie występowania autokorelacji w przypadku modeli dynamicznych z opóźnioną
zmienną
Test h-Durbina
W przypadku modeli dynamicznych, w których występują opóźnione zmienne endogeniczne
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
+
+
=
−
−
)
,...,
2
(
1
1
1
1
1
0
0
T
t
y
x
y
t
t
t
t
t
t
t
ε
ξ
ρ
ξ
ξ
γ
δ
γ
Statystyka testu ma postać:
( )
1
2
1
ˆ
1
ˆ
γ
σ
ρ
T
T
h
−
=
T – liczebność próby;
1
ˆ
ρ
- współczynnik autokorelacji reszt oszacowany metodą MNK.
Zmienna h ma standardowy rozkład normalny standaryzowany h ~ N (0,1)
H
0
:
ρ
1
= 0 nie ma autokorelacji
H
A
:
ρ
1
≠ 0 występuje autokorelacja
Na podstawie własności rozkładu normalnego wiadomo, że jeżeli z ma standaryzowany
rozkład normalny to :
(
)
9
.
0
645
.
1
=
≤
z
P
(
)
95
.
0
96
.
1
=
≤
z
P
(
)
99
.
0
576
.
2
=
≤
z
P
czyli dla poziomu istotności
α = 0.05 należy przyjąć następującą regułę decyzyjną:
96
.
1
≤
h
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
,
96
.
1
>
h
odrzucamy H
0
na rzecz H
A
,
Jeżeli czynnik
, to statystyka h nie jest określona.
( )
1
ˆ
ˆ
1
2
>
γ
σ
T
Badanie normalności rozkładu składników losowych
1
Ekonometria Ćwiczenia 5
Test Jarque`a-Bera
H
0
: składniki losowe mają rozkład normalny
H
A
: składniki losowe nie mają rozkładu normalnego
( )
2
~
2
3
3
24
1
6
2
2
2
1
3
2
2
1
2
2
2
4
3
2
2
3
χ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
−
T
T
B
J
Reguła decyzyjna:
( )
2
B
J
2
α
χ
≥
−
odrzucamy H
0
na rzecz H
A
,
( )
2
B
J
2
α
χ
<
−
nie ma podstaw do odrzucenia H
0.
Testowanie stałości wariancji składników losowych
Test White`a
H
0
:
.
)
(
2
2
const
E
t
=
=
ξ
σ
ξ
H
A
:
( )
[
]
.
2
2
2
const
Ey
E
t
t
≠
=
ξ
σ
ξ
Test White`a jest oparty na dodatkowej regresji kwadratów reszt (
):
2
t
ˆξ
t
2
t
1
0
2
t
yˆ
ˆ
ε
+
α
+
α
=
ξ
2
R
T
W
⋅
=
Statystyka testu White`a ma rozkład:
Dla dużych prób:
)
1
(
2
χ
Dla małych prób:
))
1
(
,
1
(
+
− k
T
F
( )
1
2
α
χ
≥
W
odrzucamy H
0
( )
1
2
α
χ
≤
W
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
))
1
(
,
1
(
+
−
≥
k
T
F
W
odrzucamy H
0
))
1
k
(
T
,
1
(
F
W
+
−
<
nie ma podstaw do
odrzucenia H
0
Zadanie 1
Na podstawie danych kwartalnych zawartych w pliku Table 7.6.gdt (Gretl – pliki z
przykładami – Gujarati – The demand for roses, Detroit 1971-1975), obrazujących
wielkość popytu na róże w Detroit w okresie 1971Q3–1975Q2, gdzie:
y
t
– ilość sprzedanych róż, wyrażona w tuzinach,
x
t2
– przeciętna hurtowa cena róż, w dolarach za tuzin,
x
t3
– przeciętna hurtowa cena goździków, w dolarach za tuzin,
x
t4
– przeciętny dochód rozporządzalny przypadający na jedno gospodarstwo domowe, w
dolarach na tydzień
za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów oszacuj model postaci
t
t
t
t
t
x
x
x
y
ξ
β
β
β
β
+
+
+
+
=
4
3
3
2
2
1
0
.
a) Zinterpretuj oszacowania parametrów strukturalnych modelu, uwzględniając błędy
szacunku.
b) Zweryfikuj hipotezę o indywidualnej istotności zmiennych objaśniających modelu.
c) Zweryfikuj hipotezę o łącznej istotności zmiennych objaśniających modelu.
d) Sprawdź, stosując odpowiedni test, czy w modelu występuje autokorelacja składników
losowych rzędu I.
e) Sprawdź, stosując odpowiedni test, czy składnik losowy modelu jest homoskedastyczny.
f) Zweryfikuj hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego.
g) Oszacuj model ponownie, bez nieistotnej zmiennej objaśniającej. Oceń, czy jej odłączenie
było uzasadnione.
2
Ekonometria Ćwiczenia 5
Zadanie 2
Na podstawie zawartych w pliku 7.2.gdt (Gretl – pliki z przykładami – Ramanathan –
Salary and employment characteristics) danych dotyczących wynagrodzeń i zatrudnienia
49 pracowników przedsiębiorstwa X, gdzie:
wage
i
– miesięczne wynagrodzenie i-tego pracownika, wyrażone w dolarach amerykańskich,
educ
i
– liczba lat nauki i-tego pracownika po zakończeniu szkoły podstawowej,
exper
i
– liczba lat pracy i-tego pracownika w badanym przedsiębiorstwie X,
gender
i
– płeć i-tego pracownika, zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1 dla
mężczyzn, 0 dla kobiet
za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów oszacuj model postaci
i
i
i
i
i
gender
er
educ
wage
ξ
β
β
β
β
+
+
+
+
=
3
2
1
0
exp
.
a) Zinterpretuj oszacowania parametrów strukturalnych modelu, uwzględniając błędy
szacunku.
b) Zweryfikuj hipotezę o indywidualnej istotności zmiennych objaśniających modelu.
c) Zweryfikuj hipotezę o łącznej istotności zmiennych objaśniających modelu.
d) Sprawdź, stosując odpowiedni test, czy składnik losowy modelu ma rozkład normalny.
e) Sprawdź, stosując odpowiedni test, czy składnik losowy modelu jest homoskedastyczny.
f) Co możesz powiedzieć o autokorelacji składników losowych w powyższym modelu? Czy
badanie autokorelacji składników losowych w modelu opartym o dane przekrojowe ma
sens? Dlaczego?
g) Model oszacuj ponownie, odłączając ze zbioru zmiennych objaśniających zmienną exper
i
.
Oceń, czy odłączenie zmiennej było uzasadnione.
3