1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Wyznaczanie wartości własnych macierzy stopnia trzeciego
Fakt
(Postać wielomianu charakterystycznego macierzy stopnia n = 3 )
Niech A będzie
macierzą postaci:
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
Wówczas wielomian charakterystyczny ma postać:
W (λ) = − λ
3
+ p
1
λ
2
− p
2
λ + p
3
,
gdzie:
•
p
1
= a
11
+ a
22
+ a
33
= tr A
nazywamy śladem macierzy A ,
•
p
2
jest sumą minorów głownych stopnia drugiego macierzy A , tj.
p
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
+
a
11
a
13
a
31
a
33
+
a
22
a
23
a
32
a
33
,
•
p
3
= W (0) = det A
jest wyznacznikiem macierzy A .
Przykład
Korzystjąc z powyższego faktu wyznaczyć wartości własne macierzy:
A =
0
1
0
−4
4
0
−2
1
2
Rozwiązanie
Obliczamy:
•
p
1
= a
11
+ a
22
+ a
33
= 0 + 4 + 2 = 6
,
•
p
2
=
0
1
−4
4
+
0
0
−2
2
+
4
0
1
2
= 4 + 0 + 8 = 12
•
p
3
= W (0) = det A = 8.
Stąd
W (λ) = − λ
3
+ 6 λ
2
− 12 λ + 8 = −(λ − 2)
3
.
Zatem rozwiązując równanie charakterystyczne W (λ) = 0, otrzymujemy λ = 2.