Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
1/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Sygnały okresowe
1
Sygnał okresowy, okres, własności
Sygnał s(t) nazywamy okresowym jeżeli dla pewnej liczby dodatniej T i dla każdego t
zachodzi s(t)=s(t+T). Liczbę T nazywamy okresem sygnału s(t), a o ile istnieje najmniejsza
wartość T, to nazywamy ją okresem podstawowym sygnału s(t) i oznaczamy T
0
.
Oczywiście jeżeli T jest okresem dla s, to całkowita wielokrotność T też jest okresem dla
s
. Najczęściej mówiąc o okresie będziemy mieli na myśli okres podstawowy. Jednak gdy
będzie istotne, czy chodzi o okres, czy o okres podstawowy, postaramy się to podkreślić
wyraźnie.
Własności sygnału okresowego o okresie T (soT):
- nieprzerwane istnienie soT od minus nieskończoności do plus nieskończoności,
- możliwość generacji soT przez okresowe (z okresem T) rozszerzenie dowolnego z
jego segmentów określonych na przedziale długości T,
- całka soT za każdy przedział długości T nie zależy od wyboru przedziału, ale
zależy od T, natomiast jej uśrednienie za okres T jest również niezależne od T.
Własności drugą i trzecią zilustrowano na poniższym rysunku. Własność trzecią można
ponadto wyrazić wzorami:
∫
∫
∫
∫
⋅
=
=
=
+
+
0
)
(
)
(
)
(
)
(
0
T
T
T
b
b
T
a
a
dt
t
s
T
T
dt
t
s
dt
t
s
dt
t
s
i
∫
∫
∫
=
⋅
=
0
0
)
(
1
)
(
1
)
(
1
0
0
T
T
T
dt
t
s
T
dt
t
s
T
T
T
dt
t
s
T
.
2
Moc
Mocą trwającego od minus do plus nieskończoności sygnału s(t) nazywamy wielkość
∫
−
∞
→
=
=
τ
τ
τ
s
dt
t
s
τ
t
s
P
2
2
)
(
2
1
lim
)
(
.
t
T=T
0
s(t)
t
s
(t)
-7
-1 0
2 5
11
t
s
(t)
-6
0
6
12
(a)
(b)
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
2/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Gdy s(t) jest sygnałem okresowym wzór powyższy upraszcza się do następującego:
∫
∫
=
=
>=
=<
0
2
0
2
2
2
)
(
1
)
(
1
)
(
T
T
s
dt
t
s
T
dt
t
s
T
t
s
s
P
.
Gdy s(t) jest sygnałem rzeczywistym można w powyższych wzorach na moc opuścić znaki
modułu.
3
Sygnały ortogonalne
Dwa sygnały mocy
1
, s1(t) i s2(t), nazywamy ortogonalnymi, wtedy i tylko wtedy gdy
zachodzi:
<s1·s2>=0.
Na przykład:
każdy sygnał parzysty s1 jest ortogonalny z każdym sygnałem nieparzystym s2 (o ile
<s1·s2> istnieje );
każde dwa sygnały sinusoidalne o nieidentycznych pulsacjach są ortogonalne;
każde dwa sygnały okresowe o pulsacjach podstawowych niewspółmiernych są
ortogonalne.
4
Sygnał sinusoidalny, harmoniczne, suma harmonicznych
Najprostszym przykładem sygnału okresowego jest sygnał sinusoidalny. Rozważmy
sygnał sinusoidalny o częstotliwości f
0
, amplitudzie A i fazie początkowej
ϕ
opisany wzorem
s
0
(t)= Acos(2
π
f
0
t
+
ϕ
)=Acos(
ω
0
t
+
ϕ
), gdzie
ω
0
=
2
π
f
0
oznacza pulsację (podstawową). Okres
podstawowy tego sygnału wynosi
0
0
0
1
2
f
ω
π
T
=
=
sekund.
Sinusoida o częstotliwości nf
0
bywa nazywana n-tą harmoniczną względem sinusoidy o
częstotliwości f
0
.
Rozważmy sygnał s(t) utworzony jako suma sinusoidy o pulsacji
ω
0
, amplitudzie A
1
i fazie
ϕ
1
oraz pewnej liczby jej harmonicznych, włączając harmoniczną zerową, czyli
składnik stały. Dla pełnej ogólności przyjmiemy następującą postać tego sygnału:
s
(t)=
∑
∞
=
+
+
1
0
0
)
cos(
n
n
n
φ
t
n
ω
A
A
.
Pulsacja
ω
0
=2
πf
0
jest pulsacją podstawową, a k
ω
0
jest jej k-tą harmoniczną.
Sygnał s(t) ma ważną własność – niezależnie od wyboru współczynników A
k
,
ϕ
k
(ale przy
założeniu, że A
1
≠0) okres podstawowy tego sygnału wynosi
0
0
0
2
1
ω
π
f
T
=
=
,
czyli
π
T
ω
2
0
0
=
.
Ograniczymy się do pokazania, że powyższe T
0
jest okresem sygnału s(t). Następujące
przeliczenia
s
(t+T
0
)=
∑
∞
=
+
+
+
1
0
0
0
)
)
(
cos(
n
n
n
φ
T
t
n
ω
A
A
=
∑
∞
=
+
+
+
1
0
0
0
)
)
2
(
cos(
n
n
n
φ
ω
π
t
n
ω
A
A
=
1
Przy definiowaniu ortogonalności sygnałów energii powinniśmy zamiast operatora <
·
>, czyli operatora
wartości średniej sygnału użyć operatora [
·
], czyli operatora całki sygnału.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
3/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
=
∑
∞
=
+
+
+
1
0
0
)
2
cos(
n
n
n
φ
πn
t
n
ω
A
A
=
∑
∞
=
+
+
1
0
0
)
cos(
n
n
n
φ
t
n
ω
A
A
=s(t)
potwierdzają ten fakt. Pilny Czytelnik może sprawdzić, że nie istnieje mniejszy niż T
0
okres
sygnału s(t).
5
Szeregi Fouriera
Na razie stwierdziliśmy, że sygnał
s
(t)=
∑
∞
=
+
+
1
0
0
)
cos(
n
n
n
φ
t
n
ω
A
A
jest sygnałem okresowym o okresie podstawowym
0
0
2
ω
π
T
=
, o ile A
1
≠0. Zachodzi również
twierdzenie odwrotne. Mianowicie
2
Każdy rzeczywisty sygnał okresowy s(t) o okresie (podstawowym)
0
0
2
ω
π
T
=
, dla
którego istnieją współczynniki
∫
−
=
0
0
)
(
1
0
T
t
k
ω
k
dt
e
t
s
T
s
j
, k=...,-2,-1,0,1,2,... , A
0
=s
0
,
n
n
s
A
⋅
= 2
,
)
arg(
n
n
s
φ
=
, n=1,2,... i suma s(t) jest zbieżna, można przedstawić w postaci
sumy s(t), w której A
1
≠
≠
≠
≠0, przy czym
ε
(t)=s(t)-s(t) nie musi być tożsamościowo równe zero,
ale zachodzi
0
2
=
ε
.
Dowód powyższego twierdzenia Fouriera pomijamy. Szereg s(t) nazywać będziemy
zwartym trygonometrycznym szeregiem Fouriera (ztsF) sygnału okresowego s(t), a
powyższe twierdzenie oznaczymy jako twierdzenie o ztsF.
Sygnał
ε
(t)=s(t)-s(t) nazywamy sygnałem błędu rozwinięcia s(t) w ztsF. Wcześniejsza
równość oznacza więc, że moc
2
ε sygnału błędu
ε
(t) jest zerowa.
DYGRESJA
Można sprawdzić, że powyższym twierdzeniu można zamiast okresu podstawowego T
0
użyć okresu
T=
,
0
T
=mT
0
. Wtedy zamiast
ω
0
użyć należy też
m
ω
T
π
ω
0
,
0
,
0
2
=
=
we wzorach na współczynniki s
k
. W efekcie
wśród tak wyznaczonych współczynników
,
n
s
niezerowy będzie na pewno współczynnik
,
m
s
=s
1
i, być może,
współczynniki
,
0
s
=s
0
,
,
2m
s
=s
2
,
,
3m
s
=s
3
,
,
4m
s
=s
4
,..., itd . Pozostałe współczynniki będą zerowe. W rezultacie
suma s’(t)=
∑
∞
=
+
+
1
,
,
0
,
0
,
0
)
cos(
n
n
φ
t
n
ω
A
A
może zawierać sporo składników zerowych, ale jest ona równa sumie
s
(t)=
∑
∞
=
+
+
1
0
0
)
cos(
n
n
n
φ
t
n
ω
A
A
. Stosowanie okresu podstawowego we wzorach na współczynniki ztsF wynika
więc z ekonomiki obliczeń i wygody interpretacyjnej (składowa podstawowa i harmoniczne), nie jest natomiast
koniecznością matematyczną.
2
Najczęściej podaje się warunki Dirichleta dla sygnału okresowego jako warunki dostateczne dla rozwinięcia w
szereg Fouriera. Wymaga się, by w przedziale okresu sygnał był bezwzględnie całkowalny i posiadał najwyżej
skończoną liczbę ekstremów i skoków.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
4/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Korzystając z faktu, że cos
β
=
2
β
β
e
e
j
j
−
+
drogą nieskomplikowanych przekształceń można
sprawdzić, że s(t)=
∑
∞
=
+
+
1
0
0
)
cos(
n
n
n
φ
t
n
ω
A
A
jest równe s
~
(t)=
∑
∞
−∞
=
k
t
k
ω
k
e
s
0
j
, przy czym
współczynniki s
k
zostały zdefiniowane w twierdzeniu o ztsF.
Tym samym uzyskujemy następujące twierdzenie o wykładniczym szeregu Fouriera
sygnału rzeczywistego (wsFsr):
Każdy rzeczywisty sygnał okresowy s(t) o okresie (podstawowym)
0
0
2
ω
π
T
=
, dla
którego istnieją współczynniki
∫
−
=
0
0
)
(
1
0
T
t
k
ω
k
dt
e
t
s
T
s
j
, k=...,-2,-1,0,1,2,... i suma s
~
(t)
jest zbieżna, można przedstawić w postaci sumy s
~
(t), w której |s
1
|=|s
-1
|
≠
≠
≠
≠0, przy czym
sygnał błędu
ε
~
(t)=s(t)-s
~
(t) nie musi być tożsamościowo równy zero, ale jego moc
2
~
ε
jest zerowa.
Zespolony sygnał okresowy s(t)=s
r
(t)+j s
u
(t)
jest sumą dwóch sygnałów okresowych,
rzeczywistego s
r
(t)
i rzeczywistego s
u
(t) przemnożonego przez jednostkę urojoną j. Dla
każdego z sygnałów składowych można skorzystać z twierdzenia o wsFsr. Tą drogą można
uzasadnić następujące twierdzenie o wykładniczym szeregu Fouriera (wsF) sygnału
(rzeczywistego lub zespolonego):
Każdy sygnał okresowy s(t) o okresie (podstawowym)
0
0
2
ω
π
T
=
, dla którego istnieją
współczynniki
∫
−
=
0
0
)
(
1
0
T
t
k
ω
k
dt
e
t
s
T
s
j
, k=...,-2,-1,0,1,2,... i suma s
~
(t) jest zbieżna,
można przedstawić w postaci sumy s
~
(t), w której |s
1
|+|s
-1
|
≠
≠
≠
≠0, przy czym sygnał błędu
ε
~
(t)=s(t)-s
~
(t) nie musi być tożsamościowo równy zero, ale jego moc
2
~
ε
jest zerowa.
To twierdzenie będzie dla nas najistotniejsze. Wcześniejsze dwa twierdzenia o szeregu
Fouriera są jakby jego przypadkami szczególnymi.
Zajmijmy się jeszcze raz wyrażeniem na s(t) przy założeniu, że wszystkie A
n
są
rzeczywiste . Dokonajmy rozwinięcia tego wyrażenia.
s
(t)=
∑
∞
=
+
+
1
0
0
)
cos(
n
n
n
φ
t
n
ω
A
A
=
∑
∑
∞
=
∞
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
1
0
1
0
0
)
sin(
)
sin(
)
cos(
)
cos(
n
n
n
n
n
n
t
n
ω
φ
A
t
n
ω
φ
A
A
.
Ustaliliśmy wcześniej, że
n
n
s
A
⋅
= 2
,
)
arg(
n
n
s
φ
=
, n=1,2,... .
Zatem
n
n
n
n
a
s
φ
A
df
=
=
)
Re(
2
)
cos(
oraz
n
n
n
n
b
s
φ
A
df
−
=
=
)
Im(
2
)
sin(
. Przyjmujemy też
0
0
A
a
df
=
. Wtedy ostatnią postać wyrażenia na s(t) można oznaczyć przez s(t) i przepisać
następująco:
s
(t) = s(t)
df
=
∑
∑
∞
=
∞
=
⋅
+
⋅
+
1
0
1
0
0
)
sin(
)
cos(
n
n
n
n
t
n
ω
b
t
n
ω
a
a
.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
5/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
1
0
t
2
π
−
2
3π
−
2
π
2
3π
2
5π
s
(t)
Otrzymujemy kolejny wariant twierdzenia Fouriera tym razem mówiący o rozkładzie
rzeczywistej funkcji okresowej w trygonometryczny szereg Fouriera (tsF).
Każdy rzeczywisty sygnał okresowy s(t) o okresie (podstawowym)
0
0
2
ω
π
T
=
, dla
którego istnieją współczynniki
∫
−
=
0
0
)
(
1
0
T
t
k
ω
k
dt
e
t
s
T
s
j
, k=...,-2,-1,0,1,2,... , a
0
=s
0
,
)
Re(
2
n
n
s
a
⋅
=
,
)
Im(
2
n
n
s
b
−
=
, n=1,2,... i suma s(t) jest zbieżna, można przedstawić w
postaci sumy s(t), w której |a
1
|+|b
1
|
≠
≠
≠
≠0, przy czym sygnał błędu
ε
(t)=s(t)-s(t) nie musi być
tożsamościowo równy zero, ale jego moc
2
ε jest zerowa.
Ten wariant można również traktować jako przypadek szczególny ogólnego twierdzenia
o wsF.
Zbiór współczynników Fouriera sygnału okresowego nazywamy widmem prążkowym
tego sygnału. Najczęściej korzystamy z widma {{A
0
, A
1
, A
2
, A
3
,...},{
ϕ
1
,
ϕ
2
,
ϕ
3
,...}} lub widma
{ ..., s
-3
, s
-
2
, s
-
1
, s
0
, s
1
, s
2
, s
3
, ... }.
Przyjęło się przedstawiać to widmo graficznie. Oto przykład.
Przykład
Znaleźć zwarty trygonometryczny szereg Fouriera sygnału okresowego typu fali
kwadratowej i wykreślić jego widmo amplitudowe i fazowe.
Rozwiązanie.
Okres podstawowy sygnału wynosi
π
T
2
0
=
, więc pulsacja podstawowa wynosi
1
2
2
2
0
0
=
=
=
π
π
T
π
ω
. Możemy rozwinąć sygnał s(t) najpierw w szereg wykładniczy s
~
(t).
Obliczamy:
2
1
1
2
1
)
(
1
2
2
0
0
0
=
=
=
∫
∫
−
π
π
dt
π
dt
t
s
T
s
T
,
,...
2
,
1
,
0
2
)
1
2
(
2
2
0
2
2
2
2
1
)
(
±
±
=
+
+
<
<
+
+
<
<
−
=
m
π
π
m
t
π
m
π
dla
π
m
π
t
π
m
π
dla
t
s
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
6/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
=
−
=
−
=
⋅
=
=
−
−
−
⋅
⋅
⋅
−
−
∫
∫
k
e
e
π
e
k
π
dt
e
π
dt
e
t
s
T
s
π
k
π
k
π
π
π
π
kt
t
k
T
t
k
ω
k
j
j
j
-
j
j
j
j
2
2
2
/
2
/
2
/
2
/
1
0
2
1
1
2
1
1
2
1
)
(
1
0
0
)
2
(
2
1
2
)
2
sin(
2
1
2
2
2
2
1
2
2
π
k
π
k
π
k
π
π
π
k
e
e
π
π
π
k
π
k
Sa
2j
j
-
j
=
=
−
⋅
⋅
=
.
W tabeli zestawiono kilkana
ś
cie pocz
ą
tkowych warto
ś
ci współczynników s
k
, A
k
i
ϕ
k
.
Nast
ę
pnie na kolejnych rysunkach wykre
ś
lono „zapałkowo” czyli pr
ąż
kowo kolejne
współczynniki A
k
(w jednostkach amplitudy) i
ϕ
k
(w jednostkach k
ą
ta) . Na osi odci
ę
tych
zwykle odkłada si
ę
pulsacj
ę
unormowan
ą
wzgl
ę
dem pulsacji pierwszej harmonicznej (
ω /ω
0
=
n
) – wtedy odst
ę
p pr
ąż
ków wynosi
∆n=1 albo pulsacj
ę
nieunormowan
ą
– wtedy odst
ę
p
pr
ąż
ków wynosi
∆
ω=ω
0
.
0
?
?
0
?
?
0
?
?
0
?
?
0
?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
17
2
15
2
13
2
11
2
9
2
7
2
5
2
3
2
2
2
1
17
1
15
1
13
1
11
1
9
1
7
1
5
1
3
1
1
2
1
π
π
π
π
φ
A
s
k
k
k
k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
−
−
−
−
−
−
−
−
Zdefiniujemy następujące sumy częściowe (N-tego rzędu obcięte szeregi Fouriera) wcześ-
niejszych szeregów:
∑
=
+
=
N
k
k
k
N
φ
t
k
ω
A
t
s
0
0
)
cos(
)
(
,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
ω
/
ω
0
0.5
0
0
A
k
ϕ
k
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
7/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
∑
−
=
=
N
N
k
t
k
ω
k
N
e
s
t
s
0
~
)
(
j
,
∑
=
+
+
=
N
k
k
k
N
t
k
ω
b
t
k
ω
a
a
t
s
1
0
0
0
))
sin(
)
cos(
(
)
(
.
Oczywiście – o ile rozkładana funkcja okresowa jest rzeczywista - zdefiniowane sumy
częściowe definiują tę samą funkcję argumentu t, jednak przy użyciu współczynników z
różnych rozkładów tej samej funkcji okresowej. Uzasadnione jest więc przyjęcie wspólnego
oznaczenia
ε
N
(t) na sygnał błędu aproksymacji sygnału s(t) N-tego rzędu obciętym szeregiem
Fouriera S
N
(t).
Zatem
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
~
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
S
t
s
t
ε
N
N
N
N
N
−
=
−
=
−
=
−
=
.
Uśredniony kwadrat (modułu) różnicy między rozkładaną funkcją okresową, a N-tego
rzędu obciętym szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy N-tego rzędu błędem średnio-
kwadratowym aproksymacji (szeregiem Fouriera) i oznaczamy przez
2
N
ε
:
(
)
∫
∫
−
=
=
0
0
2
0
2
0
2
)
(
)
(
1
1
T
N
T
N
N
dt
t
S
t
s
T
dt
ε
T
ε
.
Ten błąd średniokwadratowy to po prostu moc sygnału błędu aproksymacji.
Z twierdzenia Fouriera wiemy, że
0
2
2
=
→
∞
→
ε
ε
N
N
. Wykazuje się ponadto, że ciąg
2
N
ε
jest ciągiem nierosnącym. Z tych dwóch faktów wynika, że zwiększanie N nie psuje
aproksymacji nawet lokalnie, a dostatecznie duże przyrosty N poprawiają ją lub czynią
dokładną.
Przykład.
Narysujemy kilka przebiegów
)
(t
s
N
, np. dla N=0, 1, 3, 5, 7, 17 przy danych z
wcześniejszego przykładu.
Mamy:
2
1
)
(
0
=
t
s
,
t
π
t
s
cos
2
2
1
)
(
1
+
=
,
)
3
cos(
3
2
cos
2
2
1
)
(
3
π
t
π
t
π
t
s
−
+
+
=
,
)
5
cos(
5
2
)
3
cos(
3
2
)
cos(
2
2
1
)
(
5
t
π
π
t
π
t
π
t
s
+
−
+
+
=
,
)
7
cos(
7
2
)
5
cos(
5
2
)
3
cos(
3
2
)
cos(
2
2
1
)
(
7
π
t
π
t
π
π
t
π
t
π
t
s
−
+
+
−
+
+
=
,
.
.
)
17
cos(
17
2
)
15
cos(
15
2
)
13
cos(
13
2
)
11
cos(
11
2
)
9
cos(
9
2
)
7
cos(
7
2
)
5
cos(
5
2
)
3
cos(
3
2
)
cos(
2
2
1
)
(
17
t
π
π
t
π
t
π
π
t
π
t
π
π
t
π
t
π
π
t
π
t
π
t
s
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
=
.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
8/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Na tle przebiegu dokładnego (gruba linia ciągła) przedstawiono aproksymacje s
0
(t), s
1
(t), s
3
(t),
s
5
(t), s
7
(t), s
17
(t) w kolejności coraz cieńszych linii.
Na kolejnym rysunku pokazano jak wraz ze wzrostem N maleje moc
2
N
ε
sygnału błędu
aproksymacji
)
(t
ε
N
.
Z powyższego przykładu widać potwierdzenie pewnych prawidłowości ogólnych:
♦ przybliżenie poprawia się ze wzrostem liczby składników sum częściowych,
♦ w punktach nieciągłości funkcji aproksymowanej s(t) wyrażenie aproksymujące
s
N
(t) przybiera wartość średnią granic lewo- i prawostronnej.
♦ w otoczeniu nieciągłości s(t) występuje „przerzut” s
N
(t). Okazuje się jednak, że
zwiększając N nie jesteśmy w stanie zlikwidować tego przerzutu.
Problem „przerzutu” nosi w literaturze nazwę zjawiska Gibbsa.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.05
0.1
0.15
2
N
ε
N
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
9/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Przykład.
Naszkicuj sygnał okresowy s(t) opisany zależnością
∑
∞
−∞
=
=
m
T
t
s
t
s
)
(
)
(
, gdzie
(
)
)
2
/
exp(
)
(
)
(
)
(
t
π
t
t
t
s
T
−
−
−
=
1
1
. Określ jego okres podstawowy T
0
. Znajdź zwarty
trygonometryczny szereg Fouriera sygnału s(t) na podstawie wyznaczonego wcześniej
trygonometrycznego szeregu Fouriera. Naszkicuj widmo prążkowe amplitudowe i fazowe
sygnału s(t).
Rozwiązanie
Rys. Szkic s(t)
Na podstawie szkicu s(t) stwierdzamy, że okres podstawowy tego sygnału wynosi
T
0
=
π.
Można to rachunkowo potwierdzić (jak?). Zatem pulsacja podstawowa tego sygnału
wynosi
rad/s
2
2
0
0
=
=
T
π
ω
. Dlatego trygonometryczny szereg Fouriera sygnału s(t) przyjmie
postać
[
]
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
2
sin(
)
2
cos(
)
(
n
n
n
nt
b
nt
a
a
t
s
,
gdzie
∫
−
=
π
dt
t
π
a
0
0
)
2
/
exp(
1
oraz
∫
−
=
π
n
dt
nt
t
π
a
0
)
2
cos(
)
2
/
exp(
2
i
∫
−
=
π
n
dt
nt
t
π
b
0
)
2
sin(
)
2
/
exp(
2
.
Obliczenia dają:
504
,
0
0
≅
a
,
2
16
1
2
504
,
0
n
a
n
+
⋅
≅
,
2
16
1
8
504
,
0
n
n
b
n
+
⋅
≅
.
Na tej podstawie możemy napisać
(
)
+
+
+
⋅
≅
∑
∞
=1
2
)
2
sin(
4
)
2
cos(
16
1
2
1
504
,
0
)
(
n
nt
n
nt
n
t
s
.
Ponieważ współczynniki A
0
, A
n
,
ϕ
n
zwartego trygonometrycznego szeregu Fouriera
s (t )
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-3,14
0,00
3,14
6,28
9,42
12,57
15,71
18,85
Czas [s]
W
a
rt
o
ś
ć
s
y
g
n
a
łu
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
10/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
2
cos(
)
(
n
n
n
φ
nt
A
A
t
s
są powiązane ze współczynnikami a
0
, a
n
, b
n
zależnościami:
A
0
=a
0
,
2
2
n
n
n
b
a
A
+
=
,
)
j
arg(
n
n
n
b
a
φ
−
=
,
więc łatwo znajdujemy, że w naszym przypadku
504
,
0
0
≅
A
,
2
16
1
2
504
,
0
n
A
n
+
⋅
≅
,
)
4
(
atan
n
φ
n
−
=
.
Pozwala to napisać, że:
∑
∞
=
−
+
≅
1
))
4
(
atan
2
cos(
504
,
0
504
,
0
)
(
n
n
nt
t
s
)
87
,
82
4
cos(
125
,
0
)
96
,
75
2
cos(
244
,
0
504
,
0
o
o
−
+
−
+
≅
t
t
...
)
42
,
86
8
cos(
063
,
0
)
24
,
85
6
cos(
084
,
0
o
o
+
−
+
−
+
t
t
Na poniższych rysunkach przedstawiono widmo prążkowe analizowanego sygnału.
Rys. Amplitudowe widmo prążkowe
0,504
0,125
0,084
0,063
0,050
0,042
0,036
0,031
0,028
0,025
0,244
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numer harmonicznej
(pulsacja harmonicznej podstawowej wynosi 2 rad/s)
A
m
p
li
tu
d
a
h
a
rm
o
n
ic
z
n
e
j
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
11/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Rys. Fazowe widmo prążkowe
Przykład.
kresowy sygnał s(t) opisany jest przedstawiony trygonometrycznym szeregiem Fouriera
)
150
7
cos(
)
30
3
sin(
2
)
2
sin(
4
)
2
cos(
3
2
)
(
o
o
+
−
+
+
+
+
=
t
t
t
t
t
s
. Przedstaw ten szereg jako
zwarty trygonometryczny szereg Fouriera i naszkicuj: sygnał s(t), jego widmo amplitudowe
i fazowe.
Rozwiązanie
Na podstawie szkicu s(t) stwierdzamy, że okres podstawowy tego sygnału wynosi
T
0
=2
π.
Można to rachunkowo potwierdzić (jak?). Zatem pulsacja podstawowa tego sygnału
wynosi
rad/s
1
2
0
0
=
=
T
π
ω
. W trygonometrycznym szeregu Fouriera
[
]
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
2
sin(
)
2
cos(
)
(
n
n
n
nt
b
nt
a
a
t
s
Rys. Szkic s(t)
Rys. Szkic s(t)
analizowanego tu sygnału s(t) występują tylko harmoniczne: zerowa, druga, trzecia i siódma.
Nie występuje pierwsza (podstawowa) harmoniczna.
Aby obliczyć współczynniki zwartego szeregu trygonometrycznego
-1,446
-1,488
-1,508
-1,521
-1,529
-1,535
-1,540
-1,543
-1,546
-1,326
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numer harmonicznej
(pulsacja harmonicznej podstawowej wynosi 2 rad/s)
F
a
z
a
h
a
rm
o
n
ic
z
n
e
j
(w
r
a
d
)
s (t )
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3,14
0,00
3,14
6,28
9,42
12,57
15,71
18,85
Czas [s]
W
a
rt
o
ś
ć
s
y
g
n
a
łu
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
12/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
2
cos(
)
(
n
n
n
φ
nt
A
A
t
s
,
wyznaczymy najpierw współczynniki szeregu trygonometrycznego s(t) sygnału s(t) .
Możemy napisać bezpośrednio, że
a
0
=2, a
2
=3, b
2
=4.
Korzystając ze wzorów na cosinus i sinus sumy znajdujemy, że:
)
3
sin(
3
)
3
cos(
)
30
sin(
)
3
cos(
2
)
30
cos(
)
3
sin(
2
)
30
3
sin(
2
t
t
t
t
t
+
=
+
=
+
o
o
o
,
oraz
[
]
)
7
sin(
2
1
)
7
cos(
2
3
)
150
sin(
)
7
sin(
)
150
cos(
)
7
cos(
)
150
7
cos(
t
t
t
t
t
+
=
−
−
=
+
−
o
o
o
.
co pozwala napisać, że
a
3
=1, b
3
= 3
i
a
7
=
2
3
, b
7
=
2
1
.
Ze wzorów
A
0
=a
0
,
2
2
n
n
n
b
a
A
+
=
,
)
arg(
n
n
n
b
a
φ
j
−
=
wyznaczamy, że
A
0
=2,
ϕ
0
=0
5
4
3
2
2
2
=
+
=
A
,
o
j
13
,
53
)
4
3
arg(
2
−
≅
−
=
φ
,
2
3
1
2
2
3
=
+
=
A
,
o
j
60
)
3
1
arg(
3
−
=
−
=
φ
,
1
2
1
2
3
2
2
3
=
+
=
A
,
o
j
30
)
2
1
2
3
arg(
3
−
=
−
=
φ
.
Wyznaczyliśmy w ten sposób następujący zwarty szereg Fouriera s(t) sygnału s(t):
)
30
7
cos(
)
60
3
cos(
2
)
13
,
53
2
cos(
5
2
)
(
o
o
o
−
+
−
+
−
+
≅
t
t
t
t
s
,
a w tym przypadku zachodzi też dla każdego t równość: s(t)=s(t).
Warto może jeszcze w tym miejscu podkreślić, że rozważany tu sygnał daje się przedstawić
szeregiem Fouriera o skończonej liczbie niezerowych składników. Zawsze też (nie tylko dla
rozważanego tu sygnału) wszystkie A
n
muszą być nieujemne.
Na poniższych rysunkach przedstawiono widmo prążkowe analizowanego sygnału.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
13/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Rysunek 2. Amplitudowe widmo prążkowe
Rysunek 3. Fazowe widmo prążkowe
6
Wzory na współczynniki Fouriera. Związki między współczynnikami
szeregów trygonometrycznego, zwartego trygonometrycznego
i wykładniczego.
Drogą elementarnych przekształceń można uzyskać z wzorów na współczynniki
Fouriera zwartego trygonometrycznego szeregu Fouriera bezpośrednie wzory na
współczynniki Fouriera pozostałych dwóch tu rozważanych szeregów, a także podać związki
między współczynnikami poszczególnych szeregów. Wyniki tych obliczeń zestawiono w
tabeli. W kolumnie powiązania podano związki przy założeniu, że s(t) jest rzeczywiste.
2
5
2
1
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Num er harm onicznej
(pulsacja harm onicznej podstaw ow ej w ynosi 1 rad/s)
A
m
p
li
tu
d
a
h
a
rm
o
n
ic
z
n
e
j
-0,857
-1,047
-0,524
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numer harmonicznej
(pulsacja harm onicznej podstaw ow ej w ynosi 1 rad/s)
F
a
z
a
h
a
rm
o
n
ic
z
n
e
j
(w
r
a
d
)
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
14/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Kształt szeregu
Wzory bezpośrednie
Powiązania
(założenie: s(t) jest rzeczywiste)
tsF
Szereg trygonometryczny s(t)
∑
∑
∞
=
∞
=
⋅
+
⋅
+
1
0
1
0
0
)
sin(
)
cos(
n
n
n
n
t
n
ω
b
t
n
ω
a
a
sygnału rzeczywistego s(t)
∫
=
0
)
(
1
0
0
T
dt
t
s
T
a
∫
=
0
)
cos(
)
(
2
0
0
T
n
dt
t
n
ω
t
s
T
a
∫
=
0
)
sin(
)
(
2
0
0
T
n
dt
t
n
ω
t
s
T
b
0
0
0
s
A
a
=
=
,
)
Re(
2
)
cos(
n
n
n
n
s
φ
A
a
=
=
,
)
Im(
2
)
sin(
n
n
n
n
s
φ
A
b
−
=
−
=
ztsF
Szereg zwarty trygonometryczny s(t)
∑
∞
=
+
+
1
0
0
)
cos(
n
n
n
φ
t
n
ω
A
A
sygnału rzeczywistego s(t)
∫
=
0
)
(
1
0
0
T
dt
t
s
T
A
2
2
n
n
n
b
a
A
+
=
)
arg(
n
n
n
b
a
φ
j
−
=
,
gdzie a
n
i b
n
jak dla tsF
0
0
0
s
a
A
=
=
|
|
2
2
2
n
n
n
n
s
b
a
A
=
+
=
)
arg(
)
arg(
n
n
n
n
s
b
a
φ
=
−
=
j
wsF
Szereg wykładniczy s
~
(t)
∑
∞
−∞
=
n
t
n
ω
n
e
s
0
j
sygnału s(t)
∫
−
=
0
0
)
(
1
0
T
t
n
ω
n
dt
e
t
s
T
s
j
0
0
0
A
a
s
=
=
n
φ
n
n
n
n
e
A
b
a
s
j
j
2
1
)
(
2
1
=
−
=
7
Właściwości wykładniczego szeregu Fouriera
Warto poznać i zapamiętać podstawowe własności przynajmniej wykładniczego szeregu
Fouriera. Własności pozwalają na ogół uprościć rozkład sygnału w szereg.
Oto kilka takich własności:
♦ liniowość
~
~
~
~
~
2
2
s2
β
s1
α
s
s2
β
s1
α
s
s
s
s1
s1
⋅
+
⋅
=
→
⋅
+
⋅
=
⇒
→
→
i
lub w nieco innej notacji
{ }
{
}
{ }
,
2
2
n
n
n
n
n
n
s2
β
s1
α
s
s
s2
β
s1
α
s
s
s
s1
s1
⋅
+
⋅
=
→
⋅
+
⋅
=
⇒
→
→
gdzie
,
i
♦ przesunięcie w czasie
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
~
~
t
t
s
t
t
s
t
s
t
s
−
→
−
⇒
→
lub w drugiej z notacji
{ }
{
}
0
0
)
(
)
(
0
t
n
ω
n
n
e
s
t
t
s
s
t
s
j
−
→
−
⇒
→
♦ różniczkowanie
)
(
)
(
)
(
)
(
~
~
t
s
dt
d
t
s
dt
d
t
s
t
s
→
⇒
→
lub w drugiej z notacji
{ }
{
}
n
n
s
n
ω
t
s
dt
d
s
t
s
⋅
→
⇒
→
0
)
(
)
(
j
♦ wzór Parsevala
∑
∞
−∞
=
=
=
k
k
c
t
s
t
s
2
2
2
|
)
(
|
|
)
(
|
~
.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
15/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
8
Szereg Fouriera sygnału prawie okresowego
Suma sygnałów okresowych może być okresowa, ale nie musi.
Sygnał nieokresowy będący sumą sygnałów okresowych nazywamy sygnałem prawie
okresowym.
Przykładem sygnału prawie okresowego jest następujący przebieg
(
)
t
t
t
y
2
4
,
1
cos
)
cos(
)
(
+
=
pokazany na poniższym rysunku.
20
15
10
5
0
5
10
15
20
2
1
1
2
Szereg Fouriera (wykładniczy) sygnału prawie okresowego s(t) ma następującą postać:
∑
∈
=
ω
ω
I
ω
ωt
e
s
t
s
j
)
(
~
,
(.)
gdzie
=
∫
−
−
∞
→
2
2
)
(
1
lim
T
T
t
ω
T
ω
dt
e
t
s
T
s
j
(:)
oraz
,...}
,
,
{
3
2
1
ω
ω
ω
I
ω
=
jest przeliczalnym zbiorem pulsacji spełniających warunek
0
=
⇒
∉
ω
ω
s
I
ω
.
Podane związki (.) i (:) mogą być też zastosowane do sygnałów okresowych. Wtedy jednak z
góry wiadomo, że
=
T
π
n
I
ω
2
,
...
,
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
...,
−
−
=
n
, gdzie T jest okresem. Dla sygnałów
prawie okresowych problemem jest nie tylko obliczenie s
ω
, ale i znalezienie I
ω
,
przy czym do
I
ω
należy przynajmniej jedna para pulsacji, których stosunek jest liczbą niewymierną.
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
16/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
9
Wykorzystanie szeregów Fouriera w analizie obwodów
PRZYKŁAD
Obliczyć napięcie na zaciskach dwójnika pobudzonego ze źródła prądu generującego
przebieg
t
J
t
j
x
m
ω
cos
)
(
=
.
x
x
ω
T
π
ω
ω
π
T
2
2
0
=
=
⇒
=
Rozkładamy przebieg j(t) w wykładniczy szereg Fouriera:
(
)
)
1
4
(
2
)
1
(
cos
)
(
1
2
1
2
2
2
0
−
−
=
⋅
=
=
+
−
−
−
∫
∫
n
π
J
dt
e
t
ω
J
π
ω
dt
e
t
j
T
j
m
n
ω
π
ω
π
t
ω
jn
x
m
T
x
t
jn
ω
n
x
x
x
...
)
(
63
2
,
35
2
15
2
,
3
2
,
2
2
2
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1
+
+
+
+
+
=
−
=
=
=
=
−
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
t
j
t
j
t
j
t
j
o
m
m
m
m
m
o
o
o
o
o
e
j
e
j
e
j
e
j
j
t
j
π
J
j
j
π
J
j
j
π
J
j
j
π
J
j
j
π
J
j
ω
ω
ω
ω
Wyrażamy j(t) w postaci sumy tylko cosinusów:
+
−
+
+
−
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
=
...
)
8
cos(
63
2
)
6
cos(
35
2
)
4
cos(
15
2
)
2
cos(
3
2
1
2
......
)
arg
3
cos(
2
)
arg
2
cos(
2
)
arg
cos(
2
)
(
3
0
3
2
0
2
1
0
1
π
π
π
t
ω
t
ω
t
ω
t
ω
J
j
t
ω
j
j
t
ω
j
j
t
ω
j
j
t
j
x
x
x
x
m
o
Przeprowadzamy analizę wskazową dla każdej pulsacji pobudzenia z osobna, tzn.
osobno dla
x
o
x
o
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
4
2
,
2
,
0
=
=
=
=
=
itd.
♦ Dla
0
=
ω
mamy
↓
R
J
U
m
o
π
2
=
π
m
J
2
R
U
0
j
(t)
R
C
u
(t)
j
(t)
T
t
x
ω
π
2
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
17/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
♦ Dla
0
≠
ω
prowadzimy analizę wskazową (przy
J
ω
określonym tabelą)
Obliczamy
)
arg
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
|
RC
ω
j
J
j
ω
ω
ω
ω
ω
e
e
C
R
ω
C
J
RC
j
ω
C
J
C
j
ω
R
C
j
ω
R
J
C
j
ω
R
J
U
ω
atan(
|
−
⋅
⋅
+
=
=
+
⋅
=
+
⋅
⋅
=
⋅
=
Uwzględnienie wartości wskazu J
ω
dla poszczególnych
ω w ostatnim wyrażeniu prowadzi
do następujących wartości wskazu U
ω
.
ω
ω
ω
ω=
U
ω
ω
ω
ω
=
2
ω
x
(
)
RC
ω
j
x
m
x
e
C
R
ω
C
π
J
⋅
−
+
2
2
2
2
1
4
1
1
3
4
atan
4
ω
x
(
)
(
)
π
+
−
+
RC
ω
j
x
m
x
e
C
R
ω
C
π
J
4
2
2
2
1
16
1
1
15
4
atan
6
ω
x
(
)
RC
ω
j
x
m
x
e
C
R
ω
C
π
J
6
2
2
2
1
36
1
1
35
4
atan
−
+
Odtwarzamy przebiegi czasowe odpowiadające wskazom na poszczególnych pulsacjach. (by
uprościć zapisy przyjmiemy
RC
x
1
=
ω
).
J
ω
R
C
j
ω
1
U
ω
ω
ω
ω
ω=
J
ω
ω
ω
ω
=
2
ω
x
π
m
J
3
4
4
ω
x
π
π
j
m
e
J
−
15
4
6
ω
x
π
m
J
35
4
Ćwiczenia z przedmiotu Technika Analogowa
Szeregi Fouriera Dodatek
© C. Stefański
0_02_Material pomocniczy z szeregow Fouriera.doc
18/18
Zauwa
żone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
ω
ω
ω
ω =
składnik czasowy
0
R
π
J
m
2
2
ω
x
(
)
)
2
(
2
cos
5
3
4
atan
ω
−
t
R
J
x
m
π
4
ω
x
(
)
π
atan
ω
−
−
)
4
(
4
cos
17
15
4
t
R
π
J
x
m
6
ω
x
(
)
)
atan
ω
6
(
6
cos
37
35
4
−
t
R
π
J
x
m
Przebieg u(t) jest sum
ą
składników czasowych tj.
(
)
(
)
(
)
+
−
+
−
−
+
−
+
⋅
⋅
⋅
=
…
6)
atan
4)
atan
2)
atan
(
6
cos
37
35
1
(
4
cos
17
15
1
(
2
cos
5
3
1
2
1
4
)
(
t
ω
π
t
ω
t
ω
R
J
π
t
u
x
x
x
m
Został on przedstawiony na rysunku. Z rysunku tego widać, że przebieg u(t) jest „gładszy” niż
przebieg j(t); wykreśl i porównaj rezultaty, gdy
RC
x
1
5
1
=
ω
.
1
0
u t
( )
2
π
8
8
t
π
R
J
m
2
T
t
u
(t)
0