Całkowanie przez części czyli zło w najczystszej postaci.  

Całkowanie  przez  części  stosujemy  w  przypadku  całkowania  iloczynu  dwóch  funkcji 

(podobno można też więcej, ale wzór się coraz bardziej komplikuje, a nam pewnie się to nie 

przyda).  Dodatkowo  musimy  znać  funkcję  pierwotną  jednej  z  funkcji  pod  całkowej.  Całka 

taka  ma  postać: 

( ) ( )

∫

′

dx

x

g

x

f

.  Wówczas  możemy  tę  całkę  przekształcić  do  następującej 

postaci: 

 

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫

′

−

=

′

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

 

Przykład 1: obliczyć następującą całkę: 

∫

xdx

x ln

  

 

( )

( )

( )

( )

2

2

1

1

ln

x

x

g

x

x

f

x

x

g

x

x

f

=

=

′

=

′

=

 

 

( )

=

×

−

×

=

∫

∫

dx

x

x

x

x

xdx

x

2

2

2

1

1

2

1

ln

ln

 

 

Widzimy, że powstała nowa całka, którą możemy  łatwo wyliczyć.  Najpierw skracamy to co 

pod całką: 

 

∫

=

−

=

xdx

x

x

2

1

ln

2

1

2

 

 

2

1

jako stałą możemy śmiało wyrzucić przed całkę: 

 

∫

=

−

=

xdx

x

x

2

1

ln

2

1

2

 

Ile wynosi całka z 

x to wiemy: 

 

2

2

2

2

4

1

ln

2

1

2

1

2

1

ln

2

1

x

x

x

x

x

x

−

=

×

−

=

 

 

 

Przykład 2: obliczyć całkę: 

∫

xdx

e

x

cos

 

 

( )

( )

( )

( )

x

x

e

x

g

x

x

f

e

x

g

x

x

f

=

−

=

′

=

′

=

sin

cos

 

 

∫

∫

=

×

−

−

=

dx

e

x

x

e

xdx

e

x

x

x

sin

cos

cos

 

Z nowopowstałej całki minusa możemy wyrzucić przed całkę: 

 

∫

=

+

=

xdx

e

x

e

x

x

sin

cos

 

To co nam powstaje ponownie całkujemy przez części: 

 

( )

( )

( )

( )

x

x

e

x

g

x

x

f

e

x

g

x

x

f

=

=

′

=

′

=

cos

sin

 

 

∫

=

−

+

=

xdx

e

x

e

x

e

x

x

x

cos

sin

cos

 

Z wyrażenia przed całką 

e

x

 możemy wyrzucić przed nawias: 

 

(

)

∫

−

+

=

xdx

e

x

x

e

x

x

cos

sin

cos

 

Zauważmy,  że  całka,  która  nam  powstała  to  ta  sama,  od  której  zaczynaliśmy,  a  więc  mamy 

następujące równanie: 

 

(

)

∫

∫

−

+

=

xdx

e

x

x

e

xdx

e

x

x

x

cos

sin

cos

cos

 

Teraz wystarczy przenieść całkę z prawej strony na lewą stronę równania: 

 

(

)

∫

+

=

x

x

e

xdx

e

x

x

sin

cos

cos

2

 

Dzielimy obustronnie przez dwa i mamy rozwiązanie: 

 

(

)

∫

+

=

x

x

e

xdx

e

x

x

sin

cos

2

1

cos

 

Mam nadzieję, że wytłumaczyłem to w miarę zrozumiale.