Zadania z matematyki dla I roku GiK.
Lista 4. Pochodne funkcji.
1. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji we
wskazanych punktach.
a. f(x)=
+ 7;
=1 c. f(x)=| + 3|; =-3
b. f(x)= ; =-2 d. f(x)=
;
∈ ℝ
2. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji.
a. f(x)=4 − 8
+
k. f(x)=( + 3) (
)
b. f(x)=
(5
+ 4
+ 3 + 2) l. f(x)=
√
c. f(x)=4
6 m. ( ) =
d. f(x)= +
+
+ √ + √ n. f(x)=(
+
+ 3 )
e. f(x)=
o. f(x)=√
+ 5
f. f(x)=3 (
+ 3)
p. f(x)=
; g(x)=
g. f(x)=
q. f(x)=
h. f(x)=
r. f(x)=
√
i. f(x)=
s. f(x)=3
j. f(x)= + t. f(x)=(√ )
3. Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji.
a. ( ) =
√
b. ( ) =
c. ( ) =
4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a. f(x)=2
− 15
+ 36 − 14 e. f(x)=
i. f(x)=
b. f(x)=
f. f(x)= +
c. ( ) =
( + 1) g. ( ) =
d. ( ) = 2 − 2| + 5| h. ( ) = 2
− ln (
+ 1)
5. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji z zadania 3.
6. Wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych
funkcji.
a. f(x)=2
− 15
+ 36 − 14 c. ( ) =
b. f(x)=
Create PDF
files without this message by purchasing novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)
7. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich
wykresy.
a. f( ) =
− 3
+ 4 c. f(x)=
e. f(x)=
b. f(x)=
√
d. f(x)=
8. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na
wskazanych przedziałach.
a. ( ) = 2
− 3
− 36 − 8; [-3,6]
b. ( ) =
− 2√ ; [0,5] c. ( ) =
√
; x [1,
]
9. Z kartonu w kształcie półkola o promieniu r=4 należy wyciąć prostokąt o
maksymalnie największym polu. Podać wymiary tego prostokąta.
10. W kulę o promieniu R=2 wpisano walec o największej objętości. Znaleźć
wymiary tego walca.
11. Z prostokątnego kawałka blachy o szerokości a należy wygiąć rynnę o
przekroju prostokątnym w ten sposób, aby mogło nią spłynąć możliwie
najwięcej wody. Znaleźć wymiary przekroju rynny.
12. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we
wskazanych punktach.
a. f(x)=
− 2
− 3 + 1;
=-1 c. f(x)=
;
= 1
b. f(x)=
; =√2 d. f(x)=
; =e
13. Stosując regułę de L’Hospitala (sprawdzić odpowiednie założenia)
obliczyć granice.
a. lim
→
g. lim
→
( −
)
b. lim
→
h. lim
→
( − 1)ln ( − 1)
c. lim
→
i. lim
→
(
)
d. lim
→
j. lim
→
(
)
e. lim
→
k. lim
→
f. lim
→
(
)
(
)
l. lim
→
( − 5)
14. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych
wyrażeń.
a. √7,999 b.
√ ,
c.arcsin (0,51) d. ln(0,9)
Create PDF
files without this message by purchasing novaPDF printer (
http://www.novapdf.com
)