Egzamin z analizy matematycznej

30 czerwca 2006

Nazwisko ..............................................

Imi¦ ..................................................

Numer albumu .............................................

Przy ka»dej odpowiedzi zaznacz T (tak) lub N (nie). Brak litery traktowany jest jako odpowied¹

Nie wiem.

Punktacja: odpowied¹ poprawna (+1), odpowied¹ niepoprawna (-1), brak odpowiedzi (0). Pier-

wsze dwie odpowiedzi niepoprawne nie s¡ punktowane ujemnie.

1. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe

(a) Je»eli pochodne cz¡stkowe funkcji f(x, y) s¡ ci¡gªe w zbiorze otwartym zawieraj¡cym

punkt (a, b), to

lim

(h

1

,h

2

)→(0,0)

f (a + h

1

, b + h

2

) − f (a, b) −

∂f
∂x

(a, b)h

1

−

∂f
∂y

(a, b)h

2

q

h

2

1

+ h

2

2

= 0

(b) Je»eli krzywa gªadka M zadana jest równaniem h(x, y) = 0 oraz punkt (a, b) nale»y

do M, to wektor gradh(a, b) jest styczny do krzywej M w punkcie (a, b).

(c) Je»eli Ω jest otwartym podzbiorem IR

2

oraz funkcje P, Q : Ω → IR speªniaj¡ w ka»dym

punkcie zbioru Ω warunek

∂P

∂y

=

∂Q

∂x

,

to dla dowolnych krzywych regularnych γ, σ : [0, 1] → Ω takich, »e γ(0) = σ(0),
γ(1) = σ(1)

zachodzi

Z

γ

P dx + Qdy =

Z

σ

P dx + Qdy

2. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe

(a) Je»eli funkcja f : [0, 1] → IR jest ci¡gªa to

Z

1

0

Z

x

0

f (x)f (y)dy dx =

1

2

(

Z

1

0

f (x)dx)

2

(b) Je»eli funkcja f : IR

2

→ IR

jest ci¡gªa, to

Z

2

0

Z

2x

x

f (x, y)dy



dx =

Z

4

0

 

Z

y

y
2

f (x, y)dx

!

dy

(c) Dla Ω = {(x, y) :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

≤ 1}

Z

Z

Ω

s

1 −

x

2

a

2

−

y

2

b

2

=

2

3

πab

3. Nast¦puj¡ce zdanie jest prawdziwe

(a) Szereg

P

∞
n=1

sin(nx)

n

jest zbie»ny dla x ∈ (0, π).

(b) Szereg

P

∞
n=1

n!

n

n

jest zbie»ny.

(c) Szereg

P

∞
n=1

1

√

n(n+1)

jest zbie»ny.

4. Funkcja f(x, y) = x

3

+ y

3

− 3axy

speªnia warunek:

(a) Je»eli a > 0, to f ma w punkcie (a, a) minimum lokalne.

(b) Je»eli a < 0, to f ma w punkcie (0, 0) maksimum lokalne.

(c) Je»eli a = 1, to f ma w punkcie (2, 2) ekstremum lokalne.

5. Je»eli funkcja f : IR → IR jest ró»niczkowalna, to funkcja z(x, y) = f(x

2

+ y

2

)

speªnia w

ka»dym punkcie (x, y) równanie:

(a)

x

∂z

∂x

(x, y) − y

∂z

∂y

(x, y) = 0

(b)

y

∂z

∂x

(x, y) − x

∂z

∂y

(x, y) = 0

(c)

y

2

∂z

∂x

(x, y) − x

2

∂z

∂y

(x, y) = 0

6. Szereg

P

∞
n=1

n

2

+3

n

n

x

n

speªnia warunek:

(a) Jest zbie»ny punktowo na przedziale (−3, 3).

(b) Jest zbie»ny punktowo na przedziale (−

1
3

,

1
3

)

.

(c) Jest zbie»ny jednostajnie na przedziale (0, 1) .

7. Granica lim

n→∞

1

n

ln

(1+n)(2+n)...(n+n)

n

n

jest równa

(a)

R

1

0

ln(1 + x)dx

(b)

R

2

1

ln(x)dx

(c) 2 ln(2) − 1

8. Funkcja dana wzorem f(x, y) =

R

x

2

+y

4

0

sin(t

2

)dt

speªnia warunek:

(a)

∂f
∂x

= sin((x

2

+ y

4

)

2

)

(b)

∂f
∂y

= sin((x

2

+ y

4

)

2

)4y

3

(c) Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie (1, 1) w kierunku wektora (3, 2) jest równa

14 sin(100)

Nazwisko .....................................
Ostanie dwa punkty maj¡ charakter otwarty.

9. Znale¹¢ ekstrema lokalne zwi¡zane funkcji f(x, y) = x

2

+12xy +2y

2

na zbiorze M = {(x, y) :

4x

2

+ y

2

= 25}

.

10. Stosuj¡c twierdzenie o zamianie zmiennych w caªce podwójnej obliczy¢ pole obszaru ogranic-

zonego krzywymi:

xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y = 2x

i poªo»onego w cz¦±ci pªaszczyzny zadanej nierówno±ciami x > 0, y > 0.