1
DRGANIA WYMUSZONE
Układ oscylacyjny na który działa siła wymuszająca.
)
(
2
2
t
F
kx
dt
x
d
m
+
−
=
m
t
F
x
dt
x
d
/
)
(
2
0
2
2
=
+
ω
- równanie niejednorodne
Podstawmy
)
cos(
)
(
0
t
F
t
F
ω
⋅
=
m
k
=
2
0
ω
)
cos(
)
sin(
)
cos(
2
t
C
a
t
C
v
t
C
x
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
=
)
cos(
)
cos(
)
cos(
0
2
0
2
t
F
t
C
m
t
C
m
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
+
⋅
⋅
−
=
⋅
−
)
(
2
2
0
0
ω
ω
−
=
m
F
C
•
Je
żeli
0
ω ω
<
to
0
>
C
•
Je
żeli
0
ω ω
>
to
0
<
C
•
przy du
żych wartościach
2
0
2
ω
ω
−
amplituda maleje.
•
Je
żeli
0
ω
ω
≈
to
∞
→
C
- drgania rezonansowe
)
cos(
)
(
t
C
t
x
ω
⋅
=
2
DRGANIA WYMUSZONE z TŁUMIENIEM
Równanie ruchu:
2
2
( )
d x
dx
m
kx
C
F t
dt
dt
= −
−
+
po uporz
ądkowaniu:
2
2
0
2
( )
d x
dx
F t
x
dt
m
dt
γ ω
+
+
=
gdzie
m
C
=
γ
Dla harmonicznej siły wymuszaj
ącej:
)
cos(
)
(
0
t
F
t
F
ω
⋅
=
rozwi
ązaniem równania jest:
)
cos(
)
(
0
θ
ω
+
⋅
=
t
x
t
x
(
)
[
]
2
1
2
2
2
2
2
0
0
0
/
ω
γ
ω
ω
+
−
=
m
F
x
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
3
AMPLITUDA I FAZA DRGAŃ WYMUSZONYCH
(
)
[
]
2
1
2
2
2
2
2
0
0
0
/
ω
γ
ω
ω
+
−
=
m
F
x
2
2
0
tg
ω
ω
γω
θ
−
−
=
x
0
θ
ω
ω
0
F
k
γ
0
= 0
γ
1
<
γ
2
<
γ
3
γ
3
>
γ
2
>
γ
1
>
γ
0
=
0
4
ENERGIA ZMAGAZYNOWANA
Stan ustalony
0
cos(
)
x
x
t
ω θ
=
+
Średnia energia drgań w stanie ustalonym jest stała,
równa sumie
średniej energii kinetycznej i średniej
energii potencjalnej.
Warto
ść średnia zmagazynowanej energii
>
<
+
>
<
>=
<
2
2
0
2
2
1
2
1
x
m
v
m
E
m
ω
( m
ω
0
2
= k )
(
)
(
)
2
2
0
0
2
2
2
0
0
1
cos
2
1
sin
2
x
x
t
x
x
v
x
t
v
x
ω θ
ω
ω θ
ω
=
+
<
>=
= −
+
<
>=
(
)
2
0
2
0
2
4
1
x
m
E
m
⋅
+
>=
<
ω
ω
5
MOC DOSTARCZANA
Żeby utrzymać stałą amplitudę drgań trzeba dostarczać
energii z zewn
ątrz. Energia dostarczana równa jest pracy
wykonywanej przez sił
ę zewnętrzną przeciwko sile oporu.
Moc jest równa pracy wykonanej w jednostce czasu.
Jednostk
ą mocy jest 1 wat [1W=1 J/s]:
dW
F ds
P
F v
dt
dt
⋅
=
=
= ⋅
w przypadku ruchu jednowymiarowego, kiedy
F = F
x
dx
P
F
dt
=
W ruchu drgaj
ącym pracę wykonuje siła
dx
F
m
dt
γ
=
Średnia moc dostarczana:
2
2
dx
P
m
mv
dt
γ
γ
= ⋅
= ⋅
2
0
2
2
1
x
m
P
ω
γ
⋅
⋅
>=
<
•
po wł
ączeniu siły wymuszającej gromadzenie energii
•
w stanie ustalonym pokrycie strat cieplnych.
9
RUCH APERIODYCZNY
Przypadek 2
2
2
0
1
4
ω
γ
≤
2
2
0
1
1
2
4
α
γ
γ
ω
= −
±
−
jest liczb
ą rzeczywistą
1
2
1
2
t
t
x
A e
A e
α
α
=
+
2
2
1
0
1
1
2
4
α
γ
γ
ω
= −
+
−
2
2
2
0
1
1
2
4
α
γ
γ
ω
= −
−
−
Rozwi
ązanie jest rzeczywiste i aperiodyczne.
typ (a) gdy v
0
║
−
s
0
oraz
0
1
0
s
v
α
>
10
ROZWIĄZANIE OGÓLNE
I ROZWIĄZANIE SZCZEGÓLNE
Równanie niejednorodne:
m
F
x
x
x
/
2
0
=
+
+
ω
γ
Rozwiązanie szczególne tego równania dla F=F
0
cos
ω
t:
( )
0
( )
cos(
)
s
x
t
x
t
ω θ
=
+
Je
żeli do
x
(s)
dodamy funkcj
ę będącą rozwiązaniem
równania jednorodnego:
0
2
0
=
+
+
x
x
x
ω
γ
czyli:
1
( )
2
0
0
( )
c o s(
)
t
o
x
t
A e
t
γ
γ
ω
ϕ
−
⋅
=
+
lub
1
2
( )
1
2
( )
a t
a t
o
x
t
A e
A e
=
+
nazywan
ą rozwiązaniem ogólnym równania
niejednorodnego, to suma tych rozwi
ązań też będzie
rozwi
ązaniem równania niejednorodnego.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
x
t
x
t
x
s
o
+
=
