Funkcje kosztów
1. Minimalizacja kosztów
2. Elastyczność substytucji
3. Funkcje kosztów w długim okresie (LR)
4. Funkcje kosztów w długim okresie (LR) i korzyści skali
5. Koszty w krótkim okresie (SR) przy jednym zmiennym czynniku
6. Zależność między kosztami w długim okresie (LR) i krótkim okresie
(SR)
Minimalizacja kosztów
Minimalizacja kosztów
Funkcja kosztów:
najniższe ekonomiczne
koszty do produkcji
każdego możliwego
poziomu produktu.
Funkcję produkcji reprezentują
izokwanty wypukłe
względem początku układu
współrzędnych.
(Płace i
renty są parametrami.)
Kombinacja czynników prowadząca do minimalizacji
kosztów (K*, L*) osiągana jest w punkcie styczności
izokwanty z linią izokosztów, TC*.
Minimalizacja kosztów
Warunek styczności można
interpretować:
nachylenie izokwanty =
dK/dL = - w/r
= nachylenie linii izokosztów
MRTS = - (dK/dL) = w/r =
MP
L
/MP
K
.
Równanie minimalizacji kosztów oznacza, że firma dostosowuje
kombinację zatrudnionych czynników aż technicznie
wyznaczona MRTS zrówna się ze stosunkiem cen
wyznaczonym przez rynek.
Minimalizacja kosztów
Elastyczność substytucji
Elastyczność substytucji
W długim okresie firma może dostosowywać
kombinację zatrudnienia czynników w odpowiedzi na
zmiany stosunku cen rynkowych.
Zakres tych dostosowań zależy od techniki produkcji
zawartej w izokwantach.
Miarą możliwości dostosowań jest
elastyczność substytucji
wzdłuż izokwanty.
Elastyczność substytucji
Elastyczność substytucji
pokazuje reakcje minimalizującego koszty stosunku
kapitału i pracy na zmiany stosunku cen tych
czynników w LR
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
L
K
r
w
r
w
d
L
K
d
L
K
r
w
r
w
L
K
r
w
r
w
L
K
L
K
cena
placa
stosunku
praca
kapital
stosunku
KL
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
_
_
_
%
_
_
_
%
=
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
σ
Elastyczność substytucji
Graniczne przypadki elastyczności substytucji
Graniczne przypadki elastyczności substytucji
Funkcje kosztów w
długim okresie (LR)
Funkcje kosztów w długim okresie
Ś
cieżka rozwoju w długim okresie
z punktów styczności izokwant i linii izokosztów:
Z minimalizacji kosztów
wiemy, że dla funkcji:
x = K
1/2
L
1/2
otrzymujemy:
a jest to
ś
cieżka rozwoju
firmy w długim okresie.
(
)
r
w
L
K
K
,
*,
*
* =
Ś
cieżka rozwoju w długim okresie
*
*
L
r
w
K =
Funkcje kosztów w długim okresie
Wyprowadzenie funkcji kosztów całkowitych firmy w LR
Funkcje kosztów w długim okresie
Koszty przeciętne i krańcowe w LR
Mając funkcje kosztów całkowitych w
LR możemy wyprowadzić koszty
przeciętne i
krańcowe w LR:
•
TC* = LRTC
•
LRAC = LRTC/x
•
LRMC = d(LRTC)/dx
Funkcje kosztów w LR
i korzyści skali
Funkcje kosztów w LR i korzyści skali
Funkcje kosztów przeciętnych o kształcie U
i korzyści skali
Przyjęcie funkcji LRAC o kształcie U implikuje
założenie, że funkcję produkcji charakteryzują
najpierw rosnące, a potem malejące korzyści skali.
Wynikają z tego dwa możliwe kształty dla krzywych
LRAC:
- LRAC jako funkcja produktu mogą najpierw maleć
przy wzroście produkcji, potem być stałe, gdy zakład
jest „powielany” i w końcu rosnąć.
- LRAC krzywa może maleć do punktu minimum i
potem rosnąć.
Funkcje kosztów w LR i korzyści skali
Funkcja LRTC najpierw
jest wklęsła, a potem
wypukła
odzwierciedlając
rosnące korzyści skali,
po których następują
malejące korzyści skali.
LRAC maleje przy
wzroście produkcji,
osiąga minimum, , w
punkcie styczności
promienia, a potem
rośnie.
x
,
Funkcje kosztów w LR przy funkcji LRAC
w kształcie U
Koszty w SR przy jednym
zmiennym czynniku
Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku
Koszty całkowite w krótkim okresie
SRTC można wyprowadzić ze ścieżki rozwoju firmy w
SR:
SRTC są rozkładane na koszty stałe – FC i koszty
zmienne – VC:
SRVC = wL
FC = r
SRTC = wL + r
(
)
(
)
r
w
K
L
x
SRTC
SRTC
,
;
;
=
K
K
Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku
Wyprowadzenie funkcji SRTC firmy
Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku
Aby wyprowadzić SRVC skorzystamy z funkcji produktu
całkowitego pracy: . Odwrotność jej:
(
)
K
L
x
x
,
=
.
(
)
K
x
L
L
x
;
1
=
=
−
Wyprowadzenie funkcji dla firmy
(
)
K
x
L ;
.
Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku
Zależność między
i
w
.
SRVC =0 dla L=0, a potem
równa się:
w
razy
(
)
K
x
L ;
(
)
K
x
L ;
.
(
)
K
x
L ;
Wyprowadzenie funkcji SRVC
Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku
Aby otrzymać SRTC
dodajemy SRVC i FC
Wyprowadzenie funkcji SRTC z funkcji
SRVC i FC
Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku
SRAC i SRMC
• SRAVC = SRVC/x = wL(x)/x
• AFC = FC/x = r
/x
• SRATC = SRTC/x = wL(x)/x + r
/x
• SRMVC =
• SRMC =
K
/
K
/
)
(
x
L
dx
d
w
SRVC
dx
d
=
0
)
(
+
=
x
L
dx
d
w
SRTC
dx
d
Przykład: Koszty przeciętne cementowni –
rentowność skali (economies of scale)
Kształt krzywych AC w przemyśle kanadyjskim
Rosnące korzyści skali (increasing returns to scale): podwojenie
zatrudnienia wszystkich czynników prowadzi do zwiększenia produkcji
więcej niż dwukrotnie.
Rentowność skali (economies of scale): podwojenie produkcji
zwiększa koszty, ale mniej niż dwukrotnie.
Rentowność skali
(economies of scale) mierzone
są za pomocą
kosztowej elastyczności produkcji
:
E
C
= (∆
∆
∆
∆
C/C)/ (∆
∆
∆
∆
q/q).
Poniższy zapis pokazuje zależność między
E
C
i kosztami
mierzonymi tradycyjnie:
E
C
= (∆
∆
∆
∆
C/∆
∆
∆
∆
q)/ (C/q) =
MC/AC
.
Jeżeli
E
C
= 1
, to stałe korzyści skali (returns to scale);
E
C
<1
: rentowność skali (economies of scale): koszty rosną
mniej niż proporcjonalnie niż produkcja: MC<AC (obydwa
maleją)
E
C
>1
: brak rentowności skali (diseconomies of scale):
MC>AR: koszty rosną bardziej proporcjonalnie niż
produkcja.
Learning by doing
(a) Wraz ze
zwiększaniem produkcji samolotu C-141
malał przeciętny koszt wytworzenia jednego
samolotu. Wzdłuż osi poziomej mierzona jest
całkowita liczba wyprodukowanych
samolotów. (b) W krótkim okresie dodatkowa
produkcja zmniejsza koszty przeciętne dzięki
rentowności skali, gdyż q
1
< q
2
< q
3
. A leży
wyżej niż B, a B powyżej C. W długim okresie
dodatkowa produkcja obniża koszty
przeciętne dzięki learning by doing. Aby
wytworzyć q
2
w tym okresie trzeba ponieść
koszt B na AC
1
, ale produkcja B w następnym
okresie kosztuje b na AC
2
. Jeśli firma
produkuje q
3
zamiast q
2
w tym okresie, to jej
koszty przeciętne w następnym okresie
wyniosą AC
3
zamiast AC
2
dzięki
dodatkowemu learning by doing. Ta
dodatkowa produkcja w tym okresie obniża
koszty firmy dwoma sposobami: Obniża
koszty przeciętne w tym okresie dzięki
korzyściom skali i obniża koszty przeciętne
takiej wielkości produkcji w następnym
okresie dzięki learning by doing.
Przykład:
Learning by doing
a
rentowność skali
(economics of scale)
Rentowność (korzyści) zakresu
(
economies of scope
)
Łączna produkcja dwóch dóbr pojedynczej firmy jest
większa od produkcji wytworzonej przez dwie
oddzielne firmy, z których każda produkuje
pojedynczy produkt.
Miernik korzyści zakresu
:
SC= [C(q
1
) + C(q
2
) – C(q
1
, q
2
)] / C(q
1
, q
2
)]
Application: Dead End
Finally, dead people are pulling their weight – by providing „fuel”
for heating thousands of homes in Sweden. The ovens of two
high-tech crematoriums send power to local energy companies.
The firms benefit from
economies of scope
because the costs of
cremating and of producing energy are lower if the two activities
are combined.
Graficzne i matematyczne wyprowadzenie kosztów w SR
dla funkcji produkcji :
2
/
1
2
/
1
L
K
x =
:
K
wx
wL
SRVC
2
=
=
K
r
K
wx
K
r
wL
SRTC
+
=
+
=
2
K
wx
x
K
wx
x
wL
SRAVC
=
=
=
/
2
x
K
r
K
wx
x
K
r
x
wL
SRATC
+
=
+
=
K
wx
SRTC
dx
d
SRMC
2
=
=
Wyprowadzenie kosztów przeciętnych
i krańcowych
Przykład: Koszty w SR drukarni w Norwegii
Skutki wprowadzenia podatku jednostkowego w wysokości $10 na koszty w SR
Wpływ podatku jednostkowego w wysokości $10 przesuwa zarówno krzywą kosztów krańcowych, jak i
krzywą kosztów przeciętnych o $10. To równoległe przesunięcie krzywej kosztów przeciętnych do góry
powoduje, że minimum krzywej kosztów przeciętnych zarówno przed opodatkowaniem, AC
b
, jak i po nim,
AC
a
, wypada przy tej samej wielkości produkcji równej 8 sztuk.
Przykład: wpływ opłaty licencyjnej, L, na wielkość produkcji przy minAC
Koszty w SR przy jednym zmiennym czynniku
Dla funkcji:
x = K
1/2
L
1/2
można wykazać, że:
MC = min ATC
w SR.
Zależność między kosztami
w LR i SR
Funkcje LRTC są obwiedniami funkcji SRTC
Funkcja LRTC jest obwiednią funkcji SRTC
Przykład: Krzywe kosztów w LR rafinerii
Przykład: Dokonywanie wyboru między drukarką laserową,
a atramentową