1
Wstawka matematyczna
1. Rachunek wektorowy
Wszystkie prawa fizyki mają taka samą
postać w dowolnym inercjalnym
.
układ kartezjański
układ sferyczny
k
j
i
r
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
+
+
=
θ
φ
θ
φ
θ
cos
sin
sin
cos
sin
r
z
r
y
r
x
=
=
=
1
Wstawka matematyczna
1. Rachunek wektorowy
Wszystkie prawa fizyki mają taka samą
postać w dowolnym inercjalnym
.
układ kartezjański
układ sferyczny
k
j
i
r
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
+
+
=
θ
φ
θ
φ
θ
cos
sin
sin
cos
sin
r
z
r
y
r
x
=
=
=
2
połoŜenie r
prędkość v
przyspieszenie a
pęd p
a
x
=x
B
-x
A
, a
y
=y
B
-y
A
, a
z
=z
B
-z
A
AB = a = [ a
x
, a
y
, a
z
]
k
j
i
a
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
a
a
a
+
+
=
wektory
długo
ść
wektora:
a
x
=b
x
, a
y
=b
y
, a
z
=b
z
.
współrz
ę
dne wektorów:
równo
ść
wektorów:
2
2
2
z
y
x
a
a
a
a
+
+
=
dodawanie wektorów:
mno
Ŝ
enie wektora
przez liczb
ę
:
a + b = c
c
x
=a
x
+b
x
, c
y
=a
y
+b
y
, c
z
=a
z
+b
z
c
x
= k a
x
, c
y
= k a
y
, c
z
= k a
z
c = k a
3
iloczyn skalarny wektorów:
a
b = a b cos
α
a
b =a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
iloczyn wektorowy :
a x
x
x
x b = c
c=a b sin
α
4
c
x
=a
y
b
z
- a
z
b
y
c
y
=a
z
b
x
– a
x
b
z
c
z
=a
x
b
y
– a
y
b
x
Konwencja:
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
c
ˆ
ˆ
ˆ
=
a x
x
x
x b = c
iloczyn wektorowy (współrz
ę
dne):
k
j
i
c
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
c
c
c
+
+
=
Wstawka matematyczna
2. Pochodne i całki
5
x
x
f
x
x
f
dx
df
x
f
x
∆
−
∆
+
=
=
→
∆
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
Pochodna funkcji f(x)
Pochodna funkcji f(x)
Podstawowe własności pochodnej :
(g + f)' = g ' + f '
(g f)' = gf ' + fg '
(g/f)' = (g ' f – f ' g) / f
2
[ f (g(x)) ] ' = f '(u) g '(x) = f ' [g(x)] g'(x)
( gdzie: u=g(x) )
Przykłady:
(x
n
)' = n x
n-1
(ln x)' = 1/x (x>0)
(sin x)' = cos x
(cos x)’= - sin x
(e
x
)' = e
x
6
W przedziale czasu
∆
t przyrost wektora r(t) wynosi
∆
r:
∆
r = r(t+
∆
t) – r(t),
to stosunek:
dt
d
t
r
r
→
∆
∆
(gdy
∆
t
→
0)
Pochodna wektora
Całka nieoznaczona
∫
=
)
(
)
(
x
f
dx
x
g
Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja f(x) ma taką własność, Ŝe po zróŜniczkowaniu jej
otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):
[f (x)+C]' = g(x)
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
ściślej:
C
x
f
dx
dx
x
df
+
=
∫
)
(
)
(
inaczej:
oraz:
∫
=
)
(
)
(
x
g
dx
x
g
dx
d
7
∫ e
x
dx = e
x
+ C
∫ (1/x) dx = ln x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = - cos x + C
Przykłady:
C
x
1
n
1
dx
x
1
n
n
+
+
=
+
∫
Całka oznaczona:
[
] [
]
∫
∫
=
=
+
−
+
=
−
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
g
C
a
f
C
b
f
a
f
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
Niech :
przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:
nazywamy całką oznaczoną.
8
S
x
x
g
x
x
f
x
a
f
b
f
dx
x
g
i
N
i
i
i
N
i
i
i
b
a
=
∆
→
∆
=
∆
→
∆
=
−
=
∑
∑
∫
)
(
0
lim
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
Znaczenie całki oznaczonej:
i
i
i
i
i
x
x
f
x
x
f
x
g
∆
∆
→
∆
=
=
)
(
0
lim
)
(
'
)
(
i
i
i
x
x
g
x
f
∆
=
∆
)
(
)
(
∫
=
b
a
dx
x
g
S
)
(