Metody Obliczeniowe - wykłady
MES dla konstrukcji prętowych
dr inż. Jan Jaśkowiec
Kraków, Marzec 2013
dr inż. Jan Jaśkowiec
Metody Obliczeniowe - wykłady
MES dla konstrukcji prętowych
dr inż. Jan Jaśkowiec
Kraków, Marzec 2013
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
x
e
y
e
p
e
x
(x
e
)
p
e
y
(x
e
)
f
e
1
f
e
2
f
e
3
f
e
4
f
e
5
f
e
6
Rysunek:
obciążenie elementu prętowego w układzie lokalnym pręta
p
e
(x
e
) =
p
e
x
(x
e
)
p
e
y
(x
e
)
– wektor obciążenia zewnętrznego pręta
f
e
=
f
e
1
f
e
2
f
e
3
f
e
4
f
e
5
f
e
6
T
– wektor sił przywęzłowych
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
W wyniku obciążenia punkty w pręcie ulegają przemieszczeniu, które
opisywane jest wektorem:
u
e
(x
e
) =
u
e
x
(x
e
)
u
e
y
(x
e
)
(1)
gdzie:
u
e
x
(x
e
) - przemieszczenie opisujące ’wydłużenie’ elementu
u
e
y
(x
e
) - przemieszczenie opisujące ugięcie elementu
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Energia potencjalna elementu prętowego
Φ
e
(u
e
) =
1
2
Z
V
e
σ
e
ε
e
dV
e
−
L
e
Z
0
u
eT
p
e
dx
e
− q
eT
f
e
(2)
gdzie: q
e
– wektor uogólnionych przemieszczeń na początku i końcu
elementu
q
e
=
q
e
1
q
e
2
q
e
3
q
e
4
q
e
5
q
e
6
=
u
e
x
(0)
u
e
y
(0)
u
0e
y
(0)
u
e
x
(L
e
)
u
e
y
(L
e
)
u
0e
y
(L
e
)
(3)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Odkształcenie w elemencie ramowych jest złożeniem odkształcenia
związanego z rozciąganiem oraz ugięciem:
ε = u
0
x
−
y
%
(4)
gdzie:
% – krzywizna ugięcia elementu
Dla małych ugięć krzywizna jest wyrażona przez drugą pochodną funkcji
ugięcia:
% =
1
u
00
y
(5)
Zatem:
ε = u
0
x
− yu
00
y
(6)
Prawo Hooke’a
σ = E ε = E (u
0
x
− yu
00
y
)
(7)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Z
V
e
σε dV
e
=
Z
V
e
E (u
0
x
− yu
00
y
)
2
dV
e
=
Z
V
e
E (u
0
x
2
− 2u
0
x
yu
00
y
+ y
2
u
00
y
2
) dV
e
=
(8)
L
e
Z
0
Z
A
E (u
0
x
2
− 2u
0
x
yu
00
y
+ y
2
u
00
y
2
) dA dx
e
=
(9)
L
e
Z
0
Z
A
dAE u
0
x
2
dx
e
−
L
e
Z
0
Z
A
y dA 2E u
0
x
u
00
y
dx
e
+
L
e
Z
0
Z
A
y
2
dA E u
00
y
2
dx
e
(10)
R
A
dA = A – pole przekroju pręta
R
A
y dA = 0 – moment statyczny przekroju
R
A
y
2
dA = I – moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Z
V
e
σε dV
e
=
L
e
Z
0
EAu
0
x
2
+ EI u
00
y
2
dx
e
(11)
e =
u
0
x
−u
00
y
,
D =
EA
0
0
EI
(12)
Z
V
e
σε dV
e
=
L
e
Z
0
e
T
De dx
e
(13)
Φ
e
(u
e
) =
1
2
L
e
Z
0
e
e T
De
e
dx
e
−
L
e
Z
0
u
eT
p
e
dx
e
− q
eT
f
e
(14)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Interpolacja:
u
e
x
= N
e
1
(x
e
)q
e
1
+ N
e
2
(x
e
)q
e
4
– interpolacja Lagrange’a
u
e
y
= H
e
1
(x
e
)q
e
2
+ H
e
2
(x
e
)q
e
3
+ H
e
3
(x
e
)q
e
5
+ H
e
4
(x
e
)q
e
6
– interp. Hermite’a
u
e
=
u
e
x
u
e
y
=
N
e
1
0
0
N
e
2
0
0
0
H
e
1
H
e
2
0
H
e
3
H
e
4
q
e
1
q
e
2
q
e
3
q
e
4
q
e
5
q
e
6
= N
e
q
e
(15)
e
e
=
N
e
1
0
0
0
N
e
2
0
0
0
0
−H
e
1
00
−H
e
2
00
0
−H
e
3
00
−H
e
4
00
q
e
1
q
e
2
q
e
3
q
e
4
q
e
5
q
e
6
= B
e
q
e
(16)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Funkcje interpolacyjne Lagrange’a
N
1
(x ) = 1 − ξ
N
2
(x ) = ξ
ξ = x /L
e
Funkcje interpolacyjne Hermite’a
H
1
(x ) = 1 − 3ξ
2
+ 2ξ
3
H
2
(x ) = L
e
(ξ − 2ξ
2
+ ξ
3
)
H
3
(x ) = 3ξ
2
− 2ξ
3
H
4
(x ) = L
e
(ξ
3
− ξ
2
)
ξ = x /L
e
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Φ
e
(u
e
) =
1
2
L
e
Z
0
e
e T
De
e
dx
e
−
L
e
Z
0
u
eT
p
e
dx
e
− q
eT
f
e
(17)
Φ
e
(q
e
) =
1
2
q
e T
L
e
Z
0
B
e T
DB
e
dx
e
q
e
− q
e T
L
e
Z
0
N
eT
p
e
dx
e
− q
eT
f
e
(18)
Φ
e
(q
e
) =
1
2
q
e T
k
e
q
e
− q
e T
z
e
− q
e T
f
e
(19)
k
e
– elementowa macierz sztywności elementu ramowego w ukł. lok.
z
e
– wektor zastępników od obciążenia elementu w ukł. lok.
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Elementowa macierz sztywności:
k
e
=
T
L
e
Z
0
B
e T
DB
e
dx
e
(20)
k
e
=
EA
L
0
0
−
EA
L
0
0
0
12EI
L
3
6EI
L
2
0
−
12EI
L
3
6EI
L
2
0
6EI
L
2
4EI
L
0
−
6EI
L
2
2EI
L
−
EA
L
0
0
EA
L
0
0
0
−
12EI
L
3
−
6EI
L
2
0
12EI
L
3
−
6EI
L
2
0
6EI
L
2
2EI
L
0
−
6EI
L
2
4EI
L
e
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Wektor zastępników:
z
e
=
L
e
Z
0
N
eT
p
e
dx
e
(21)
W przypadku gdy
p
e
(x
e
) =
p
e
x
p
e
y
= const
(22)
z
e
=
n
p
e
x
L
e
2
p
e
y
L
e
2
p
e
y
L
e 2
12
p
e
x
L
e
2
p
e
y
L
e
2
−
p
e
y
L
e 2
12
o
T
(23)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Transformacja z układu lokalnego do globalnego:
x
e
y
e
q
e
1
q
e
2
q
e
3
q
e
4
q
e
5
q
e
6
T
e
– elementowa macierz transformacji
X
Y
Q
e
1
Q
e
2
Q
e
3
Q
e
4
Q
e
5
Q
e
6
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Transformacja z układu lokalnego do globalnego:
T
e
– elementowa macierz transformacji (ortogonalna)
T
e −1
= T
e T
,
det(T
e
) = 1
(24)
q
e
= T
e
Q
e
,
Q
e
= T
e T
q
e
,
(25)
T
e
=
c
s
0
0
0
0
−s
c
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
c
s
0
0
0
0
−s
c
0
0
0
0
0
0
1
e
c = cos(α
e
),
s = sin(α
e
)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Transformacja z układu lokalnego do globalnego:
Φ
e
(q
e
) =
1
2
q
e T
k
e
q
e
− q
e T
z
e
− q
e T
f
e
q
e
= T
e
Q
e
,
Φ
e
(Q
e
) =
1
2
Q
e T
T
e T
k
e
T
e
Q
e
− Q
e T
T
e T
z
e
− Q
e T
T
e T
f
e
(26)
Φ
e
(Q
e
) =
1
2
Q
e T
K
e
Q
e
− Q
e T
Z
e
− Q
e T
F
e
(27)
K
e
= T
e T
k
e
T
e
– elementowa mac. sztywności w ukł. glob.
Z
e
= T
e T
z
e
– wektor zastępników obciążenia elementu w ukł. glob.
F
e
= T
e T
f
e
– wektor sił przywęzłowych elementu w ukł. glob.
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Energia potencjalna całej konstrukcji
Φ =
X
e
Φ(Q
e
)
(28)
Φ =
X
e
1
2
Q
e T
K
e
Q
e
− Q
e T
Z
e
− Q
e T
F
e
(29)
Sumę po elementach można zapisać macierzowo, przy pomocy
zagregowanych wielkości:
Φ =
1
2
Q
T
KQ − Q
T
Z − Q
T
(P + R)
(30)
K – globalna macierz sztywności konstrukcji
Z – globalny wektor obciążenia elementów
P – wektor obciążeń węzłowych
R – wektor reakcji
Q – glob. wektor stopni swobody (uogólnionych przemieszczeń węzłów)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Poszukujemy takiego wektora stopni swobody, który minimalizuje energię
potencjalną:
∂Φ
∂Q
= 0
(31)
∂Φ
∂Q
= KQ − Z − P − R = 0
(32)
KQ = Z + P + R
→
Q , R
(33)
dr inż. Jan Jaśkowiec
MES dla konstrukcji prętowych
Powrót do elementu
1
Dla każdego elementu z wektora Q ’wybiera’ się wektor stopni
swobody dla danego elementu Q
e
Q
e
−−−−→ Q
e
(34)
2
Wektor stopnie swobody elementu wyznacza się w układzie loklanym
elementu:
q
e
= T
e
Q
e
(35)
3
Z równania równowagi elementu wyznacza się wektor sił
przywęzłowych dla elementu
k
e
q
e
= z
e
+ f
e
→
f
e
= k
e
q
e
− z
e
(36)
x
e
y
e
p
e
x
(x
e
)
p
e
y
(x
e
)
f
e
1
f
e
2
f
e
3
f
e
4
f
e
5
f
e
6
dr inż. Jan Jaśkowiec