Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
1
Politechnika Poznańska
Projekt wykonał: Krzysztof Matyniak
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Konsultacje: mgr inŜ. Anita Kaczor
Zakład Mechaniki Budowli
OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ
Wpływ obciąŜenia
Schemat układu:
Przyjmuje przekroje prętów I
1
i I
2
z dwuteowników walcowanych:
I
1
→ I200
→ I
x
=2140 cm
4
I
2
→ I160
→ I
x
=935 cm
4
kNm
EI
4387
10
2140
10
205
8
9
1
=
⋅
⋅
⋅
=
−
kNm
EI
75
,
1916
10
935
10
205
8
9
2
=
⋅
⋅
⋅
=
−
I
2
=0,4369158 I
1
Układ podstawowy.
u
2
u
1
u
3
3
5
5
6
3
0
1
2
3
4
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
5
kN
m
10 kNm
25 kN
5
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
2
Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń
=
⇒
=
=
0
0
0
3
2
1
R
R
R
Niewiadome:
3
2
1
,
,
u
ϕ
ϕ
Oznaczamy:
1
1
ϕ
=
u
Łańcuch kinematyczny.
Równania łańcucha kinematycznego.
0125 →
0
6
0
6
25
12
01
=
⋅
−
⋅
+
⋅
ψ
ψ
ψ
→
25
01
ψ
ψ
=
0125 ↓
0
0
5
3
25
12
01
=
⋅
−
⋅
+
⋅
ψ
ψ
ψ
→
12
01
3
5
ψ
ψ
−
=
523 →
1
0
6
23
25
=
⋅
+
⋅
ψ
ψ
→
6
1
25
=
ψ
→
6
1
01
=
ψ
→
10
1
5
3
6
1
12
−
=
−
⋅
=
ψ
423 →
1
0
3
23
24
=
⋅
+
⋅
−
ψ
ψ
→
3
1
24
−
=
ψ
1
3
5
5
6
3
0
1
2
3
4
5
3
3
2
2
∆
ϕ
=
=
u
u
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∆
ϕ
ϕ
∆
ϕ
ϕ
∆
ϕ
ϕ
6
1
3
1
0
10
1
6
1
25
24
23
12
01
=
−
=
=
−
=
=
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
3
Stan φ
1
=1
Korzystając ze wzorów transformacyjnych obliczam momenty przęsłowe przywęzłowe.
(
)
(
)
1
1
01
1
0
1
01
2981424
,
0
0
3
1
0
2
7082039
,
6
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
=
⋅
−
+
⋅
=
−
+
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
1
1
01
0
1
1
10
5962848
,
0
0
3
0
1
2
7082039
,
6
2
3
2
2
EI
EI
l
EI
M
=
⋅
−
+
⋅
=
−
+
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
1
1
2
12
2
1
2
12
3495326
,
0
4369158
,
0
8
,
0
0
3
0
1
2
5
2
3
2
2
EI
EI
EI
l
EI
M
=
⋅
=
⋅
−
+
⋅
=
−
+
=
ψ
ϕ
ϕ
(
)
(
)
1
1
2
12
1
2
2
21
1747663
,
0
4369158
,
0
4
,
0
0
3
1
0
2
5
2
3
2
2
EI
EI
EI
l
EI
M
=
⋅
=
⋅
−
+
⋅
=
−
+
=
ψ
ϕ
ϕ
0
25
=
M
0
52
=
M
0
23
=
M
0
24
=
M
Wykres M 1
Z równowagi węzłów otrzymujemy:
1
11
1
1
11
9458174
,
0
3495326
,
0
5962848
,
0
EI
r
EI
EI
r
=
+
=
1
21
1747662
,
0
EI
r
=
Korzystając z zasady pracy wirtualnej obliczam reakcje r
31
:
(
)
(
)
(
)
(
)
1
31
1
1
31
12
1
21
12
01
1
10
01
31
0966414
,
0
0
10
1
1747663
,
0
3495326
,
0
6
1
5962848
,
0
2981424
,
0
0
,
1
0
0
,
1
EI
r
EI
EI
r
EI
M
M
EI
M
M
r
−
=
=
−
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
−
−
ψ
ψ
0,1748 EI1
0,3495 EI1
0,5963 EI1
0,2981 EI1
r31
r21
r11
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
4
Stan φ
2
=1
0
10
01
=
=
M
M
(
)
1
2
12
1747663
,
0
0
3
1
0
2
5
2
EI
EI
M
=
⋅
−
+
⋅
=
(
)
1
2
21
3495326
,
0
0
3
0
1
2
5
2
EI
EI
M
=
⋅
−
+
⋅
=
(
)
(
)
1
1
25
2
1
25
5
,
0
0
1
6
3
3
EI
EI
l
EI
M
=
−
=
−
=
ψ
ϕ
0
52
=
M
(
)
1
1
24
0
1
3
3
EI
EI
M
=
−
=
0
42
=
M
(
)
1
2
23
2621494
,
0
0
1
5
3
EI
EI
M
=
−
=
0
32
=
M
Wykres M 2
Z równowagi węzłów otrzymujemy:
1
12
1747663
,
0
EI
r
=
1
22
1
1
1
1
22
111682
,
2
1
2621491
,
0
5
,
0
3495326
,
0
EI
r
EI
EI
EI
EI
r
=
+
+
+
=
Korzystając z zasady pracy wirtualnej obliczam reakcje r
32
:
(
)
( )
(
)
( )
1
32
1
1
1
1
32
3024297
,
0
0
3
1
1
0
2621494
,
0
6
1
5
,
0
10
1
3495326
,
0
1747663
,
0
0
,
1
EI
r
EI
EI
EI
EI
r
=
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
−
⋅
+
+
⋅
−
1 EI1
0,2621 EI1
0,5 EI1
0,3495 EI1
0,1748 EI1
r12
r22
r32
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
5
Stan u
3
=1
1
10
01
1490712
,
0
EI
M
M
−
=
=
1
21
12
0524298
,
0
EI
M
M
=
=
1
25
0833333
,
0
EI
M
−
=
0
52
=
M
1
24
333333
,
0
EI
M
=
0
42
=
M
0
32
23
=
=
M
M
Wykres M 3
Z równowagi węzłów otrzymujemy:
1
13
1
1
13
0966414
,
0
0524298
,
0
1490712
,
0
EI
r
EI
EI
r
−
=
+
−
=
1
23
1
1
1
23
3024297
,
0
0833333
,
0
0524298
,
0
3333333
,
0
EI
r
EI
EI
EI
r
=
−
+
=
Korzystając z zasady pracy wirtualnej obliczam reakcje r
33
:
(
)
(
)
+
−
⋅
+
+
⋅
+
−
⋅
−
10
1
0524298
,
0
0524298
,
0
6
1
1490712
,
0
1490712
,
0
0
,
1
1
1
33
EI
EI
r
(
)
(
)
0
6
1
0833333
,
0
3
1
3333333
,
0
1
1
=
⋅
−
−
⋅
+
EI
EI
1
32
1851762
,
0
EI
r
=
0,08333 EI1
0,3333 EI1
0,0524 EI1
0,0524 EI1
0,149 EI1
0,149 EI1
r13
r23
r33
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
6
Stan „P”
kNm
Pl
M
963137
,
20
8
7082033
,
6
25
8
01
−
=
⋅
−
=
=
kNm
Pl
M
963137
,
20
8
7082033
,
6
25
8
01
=
⋅
=
=
kNm
ql
M
416667
,
10
12
5
5
12
2
2
12
−
=
⋅
−
=
=
kNm
ql
M
416667
,
10
12
5
5
12
2
2
21
=
⋅
=
=
kNm
ql
M
625
,
15
8
5
5
8
2
2
23
=
⋅
−
=
=
Wykres M
P
0
Z równowagi węzłów otrzymujemy:
kNm
r
r
P
P
54647
,
20
10
963137
,
20
416667
,
10
1
1
=
+
+
−
=
kNm
r
r
P
P
208333
,
5
416667
,
10
625
,
15
2
2
−
=
+
−
=
Korzystając z zasady pracy wirtualnej obliczam reakcje r
3P
:
W celu obliczenia ∆A
,
∆C
,
∆D
musimy rozwiązać łańcuch kinematyczny.
2
2
Ay
Ax
A
∆
+
∆
=
∆
0A →
0A ↓
lub:
(
)
(
)
0
5
5
5
5
25
0
,
1
23
23
12
21
12
01
10
01
3
=
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
+
+
+
+
+
⋅
−
−
−
−
D
C
A
M
M
M
M
M
r
P
ψ
ψ
ψ
D
C
A
r3P
r2P
r1P
15,625 EI1
10,4167 EI1
10,4167 EI1
20,9631 EI 1
20,9631 EI 1
0
42
24
=
=
M
M
0
52
25
=
=
M
M
0
32
=
M
2
1
6
1
3
3
01
=
⋅
=
=
⋅
Ax
Ax
∆
∆
ψ
4
1
6
1
5
1
5
1
01
=
⋅
=
=
⋅
,
Ay
Ay
,
∆
∆
ψ
m
,
A
5590169
0
4
1
2
1
2
2
=
+
=
∆
m
,
,
l
A
5590169
0
2
708
6
6
1
2
01
01
=
⋅
=
⋅
=
ψ
∆
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
7
32C ↓
3D ↓
(
)
(
)
(
)
+
⋅
−
+
−
⋅
+
−
+
⋅
+
−
+
⋅
−
0
625
,
15
10
1
416667
,
10
416667
,
10
6
1
963137
,
20
963137
,
20
0
,
1
3
P
r
0
0
5
5
4
1
5
5
5590169
,
0
25
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
kN
r
P
225423
,
20
3
−
=
Podstawiając do układu równań kanonicznych otrzymujemy:
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
−
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
−
=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
225423
,
20
1851762
,
0
3024297
,
0
0966414
,
0
208333
,
5
3024297
,
0
111682
,
2
,
1747663
,
0
54647
,
20
0966414
,
0
1747663
,
0
9458174
,
0
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
u
EI
EI
EI
u
EI
EI
EI
u
EI
EI
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
m
EI
u
rad
EI
rad
EI
030290192
,
0
8830737
,
132
210759596
,
0
00367845
,
0
1373552
,
16
067443632
,
0
0017711
,
0
16399662
,
5
1
3
0
1
2
0
1
1
ϕ
ϕ
Korzystając z zasady superpozycji obliczymy wartości momentów.
0
3
3
2
2
1
1
P
n
P
M
u
M
M
M
M
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
ϕ
ϕ
(
)
(
) (
) (
) (
)
963137
,
20
8830737
,
132
1490712
,
0
1373552
,
16
0
16399662
,
5
2981424
,
0
01
−
+
⋅
−
+
−
⋅
+
−
⋅
=
M
kNm
M
311783
,
42
01
−
=
(
)
(
) (
)
962137
,
20
8830737
,
132
1490712
,
0
0
16399662
,
5
5962848
,
0
10
+
⋅
−
+
+
−
⋅
=
M
kNm
M
9251149
,
1
10
−
=
(
)
(
)
(
)
416667
,
10
8830737
,
132
0524298
,
0
1373552
,
16
1747663
,
0
16399662
,
5
3495326
,
0
12
−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
=
M
kNm
M
0748851
,
8
12
−
=
(
)
(
)
(
)
416667
,
10
8830737
,
132
0524298
,
0
1373552
,
16
3495326
,
0
16399662
,
5
1747663
,
0
21
+
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
=
M
kNm
M
840676
,
10
21
=
(
)
kNm
M
855398
,
19
625
,
15
0
1373552
,
16
2621494
,
0
0
23
−
=
−
+
−
⋅
+
=
0
0
0
0
0
32
=
+
+
+
=
M
(
)
(
)
kNm
M
156998
,
28
0
8830737
,
132
333333
,
0
1373552
,
16
1
0
24
=
+
⋅
+
−
⋅
+
=
0
0
0
0
0
42
=
+
+
+
=
M
(
)
(
)
kNm
M
142263
,
19
0
8830737
,
132
083333
,
0
1373552
,
16
5
,
0
0
25
−
=
+
⋅
−
−
⋅
+
=
0
0
0
0
0
52
=
+
+
+
=
M
m
,
C
C
,
4
1
10
1
5
2
5
2
12
=
−
⋅
−
=
=
⋅
−
∆
∆
ψ
0
23
=
=
D
D
∆
∆
ψ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
8
Wykres M [kNm]
kNm
M
A
S
730384
,
21
=
moment pod siłą skupioną
kNm
,
M
ekst
214912
6
=
moment ekstremalny - pręt 1-2
kNm
,
M
ekst
274248
7
=
moment ekstremalny - pręt 2-3
(wyznaczenie – patrz ostatnia strona)
WYZNACZANIE TNĄCYCH
kN
T
T
M
T
093685
,
19
0
92
,
1
354102
,
3
25
311783
,
42
7082039
,
6
0
01
01
1
01
=
=
−
⋅
−
−
⋅
=
⇒
∑
kN
T
T
M
T
9063153
,
5
0
92
,
1
354102
,
3
25
311783
,
42
7082039
,
6
0
01
10
0
10
−
=
=
−
⋅
+
−
⋅
=
⇒
∑
kN
T
T
M
T
954
,
11
0
8
,
10
5
,
2
5
5
07
,
8
5
0
12
12
2
12
=
=
+
⋅
⋅
−
−
⋅
=
⇒
∑
19,1423
28,1569
7,2742
19,8554
8,0749
1,9251
21,7304
42,3118
6,2149
28,1569
T
24
T
42
19,1423
T
52
T
25
19,8554
T
32
T
23
10,8407
8,0749
T
21
T
12
5
kN
m
1,9251
42,3118
T
10
25 kN
T
01
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
9
kN
T
T
M
T
046
,
13
0
8
,
10
5
,
2
5
5
07
,
8
5
0
21
21
1
21
−
=
=
+
⋅
⋅
+
−
⋅
=
⇒
∑
kN
T
T
M
T
47108
,
16
0
5
,
2
5
5
855398
,
19
5
0
23
23
3
23
=
=
⋅
⋅
−
−
⋅
=
⇒
∑
kN
T
T
M
T
5289204
,
8
0
5
,
2
5
5
855398
,
19
5
0
32
32
2
32
−
=
=
⋅
⋅
+
−
⋅
=
⇒
∑
kN
T
T
M
T
385666
,
9
0
156998
,
28
3
0
24
24
4
24
−
=
=
+
⋅
=
⇒
∑
kN
T
T
385666
,
9
24
42
−
=
=
kN
T
T
M
T
1903772
,
3
0
142263
,
19
6
0
25
25
5
25
=
=
−
⋅
=
⇒
∑
kN
T
T
1903772
,
3
25
52
=
=
Wykres T [kN]
16,4711
-13,046
3,1904
-8,5289
-9,3856
11,954
-5,0963
19,0937
-
+
-
+
-
+
-
+
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
10
WYZNACZANIE NORMALNYCH
Węzeł 1
∑
=
0
X
0
cos
sin
12
10
01
=
+
−
⋅
−
N
N
T
α
α
→
kN
N
N
580461
,
12
21
12
−
=
=
0
=
∑
Y
0
sin
cos
12
10
01
=
−
−
⋅
T
N
T
α
α
→
kN
N
N
318136
,
16
10
01
−
=
=
Węzeł 2
∑
=
0
X
0
25
23
24
21
=
−
+
+
−
T
N
T
N
→
0
32
23
=
=
N
N
Pręt 24
0
=
∑
Y
0
42
24
=
+
−
N
N
→
0
42
24
=
=
N
N
Węzeł 2
0
=
∑
Y
0
25
23
21
=
−
−
N
T
T
→
kN
N
N
51708
,
29
52
25
−
=
=
Wykres N [kN]
N
23
N
25
N
24
N
21
N
12
N
10
T
25
T
24
T
23
T
21
T
12
T
10
-16,3181
-12,5805
-29,5171
-29,5171
-12,5805
-16,3181
-
-
-
4472136
0
7082039
6
3
8944272
0
7082039
6
6
,
,
cos
,
,
sin
=
=
=
=
α
α
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
11
KONTROLA STATYCZNA
0
=
∑
X
0
1903772
,
3
385666
,
9
sin
25
sin
093685
,
19
cos
318136
,
16
=
−
−
⋅
+
⋅
−
⋅
α
α
α
0
004
,
0
≅
∑
=
0
Y
0
51708
,
29
5289204
,
8
50
cos
25
cos
093685
,
19
sin
318136
,
16
=
−
−
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
α
α
α
0
00000
,
0
≅
∑
=
0
0
M
0
311783
,
42
8
51708
,
29
13
5289204
,
8
9
385666
,
9
5
,
10
5
5
5
,
5
5
5
10
354102
,
3
25
=
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
−
⋅
0
057163
,
0
≅
KONTROLA KINEMATYCZNA
Układ podstawowy
( )
∑∫
⋅
=
⋅
S
n
ds
EI
M
M
1
1
0
,
1
ϕ
(
)
−
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
1
730384
,
21
1
31783
,
42
730384
,
21
1
2
311783
,
42
1
2
6
354102
,
3
1
0
,
1
1
1
EI
ϕ
(
)
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
9251149
,
1
1
730384
,
21
1
9251149
,
1
1
2
730384
,
21
1
2
6
354102
,
3
0011751589
,
0
1554223
,
5
0
,
1
1
1
−
=
−
=
⋅
EI
ϕ
00117711
,
0
0011751589
,
0
−
≅
−
25 kN
10 kNm
5
kN
m
8,5289
9,3856
29,5171
3,1904
19,0937
16,3181
42,3118
M
1
1
1,0
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
12
Obliczam momenty w punktach A, B, C;
Moment pod siłą skupioną:
?
=
A
S
M
A
S
M
,
,
,
=
−
⋅
311783
42
354102
3
093685
19
kNm
,
M
A
S
730384
21
=
(rozciągane włókna dolne)
Moment ekstremalny - pręt 1-2
( )
0
5
954
11
=
⋅
−
=
x
,
x
T
e
x
,
x
⇒
=
3908
2
(rozciągane włókna dolne)
Moment ekstremalny - pręt 2-3
( )
0
5
47108
16
=
⋅
−
=
x
,
x
T
e
x
,
x
⇒
=
2942
3
(rozciągane włókna dolne)
SPRAWDZENIE NAPRĘśEŃ NORMALNYCH WYWOŁANYCH MOMENTAMI
ZGINAJĄCYMI W OBU GRUPACH PRĘTÓW.
Dla prętów grupy pierwszej I
1
największy moment zginający wynosi 42,311783 kNm.
Dla prętów grupy drugiej I
2
największy moment zginający wynosi 19,855398 kNm.
I
1
200 → I
x
= 2140 cm
4
I
2
160 → I
x
= 935 cm
4
Dla prętów grupy pierwszej:
Dla prętów grupy drugiej:
NapręŜenia dla obu grup prętów są mniejsze od dopuszczalnych.
Wykorzystanie przekroju: pręty grupy pierwszej: 92 % ; pręty grupy drugiej: 79 %.
Nie zachodzi potrzeba zmiany przekrojów.
Gdyby zaistniała potrzeba przeprojektowania przekrojów, zmianie uległaby proporcja sztywności
poszczególnych grup prętów i całe zadanie naleŜałoby przeliczyć ponownie.
1,9251
42,3118
25 kN
19,093685
5
kN
m
8,0749
10,8407
19,8554
-5,0963
-5,0963
11,954
-13,046
16,47108
( )
( )
( )
kNm
,
x
M
,
,
,
,
,
x
M
,
x
x
,
x
M
e
e
214912
6
0
0749
8
3908
2
5
2
3908
2
954
11
0
0749
8
2
5
954
11
2
2
=
=
−
⋅
−
⋅
=
=
−
⋅
−
⋅
=
( )
( )
( )
kNm
,
x
M
,
,
,
,
,
x
M
,
x
x
,
x
M
e
e
274248
7
0
8554
19
2942
3
5
2
2942
3
47108
16
0
8554
19
2
5
47108
16
2
2
=
=
−
⋅
−
⋅
=
=
−
⋅
−
⋅
=
MPa
MPa
,
cm
kN
,
,
215
72
197
772
19
10
2140
1783
4231
2
<
=
=
⋅
MPa
MPa
,
cm
kN
,
,
215
88
169
988
16
8
935
5398
1985
2
<
=
=
⋅
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
13
OBLICZENIE MOMENTÓW ORAZ SIŁ TNĄCYCH KORZYSTAJĄC Z
RÓWNANIA RÓśNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA – pręt 1-2
( )
)
b
(
D
x
C
x
B
x
A
x
y
EI
,
)
a
(
C
x
B
x
A
x
dx
dy
EI
,
)
x
(
M
B
x
A
x
dx
y
d
EI
,
)
x
(
T
A
x
dx
y
d
EI
,
dx
y
d
EI
,
x
q
dx
y
d
EI
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
−
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
−
=
+
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
2
6
24
5
4369158
0
2
6
5
4369158
0
2
5
4369158
0
5
4369158
0
5
4369158
0
2
3
4
1
2
3
1
2
2
2
1
3
3
1
4
4
1
4
4
2
Warunki brzegowe (przemieszczeniowe):
x=0m
1)
1
1
16399662
5
EI
,
dx
dy
−
=
=
ϕ
2)
1
w
y
=
12
12
1
l
w
⋅
=
ψ
(przemieszczenie zgodne z osią y ⇒
⊕
)
003029019
0
10
030290192
0
10
3
12
,
,
u
=
=
=
ψ
m
,
,
w
0151450
0
5
003029019
0
1
=
⋅
=
x=5m
3)
1
2
1373552
16
EI
,
dx
dy
−
=
=
ϕ
4)
0
2
=
=
w
y
y
x
5
5
kN
m
u 3
u 3
w 1
w 2
rozwiązanie układu równań
kanonicznych metody przemieszczeń
(rzeczywiste przemieszczenia węzłów
konstrukcji):
=
−
=
−
=
1
3
1
2
1
1
8830737
132
1373552
16
16399662
5
EI
,
u
EI
,
EI
,
ϕ
ϕ
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Krzysztof Matyniak
14
Podstawiając warunki brzegowe do równań (a) i (b) otrzymujemy wartości stałych całkowania:
C=-2,2562317
D
EI
=
⋅
⋅
015145
,
0
4369158
,
0
1
⇒
029173
,
29
=
D
+
−
⋅
+
⋅
+
=
−
⋅
+
⋅
+
=
−
029173
29
281159
11
5
12
83333
20
20833
130
0
2562317
2
5
5
12
16667
104
0506654
7
,
,
,
B
,
A
,
,
B
,
A
,
,
⇒
=
−
=
0749101
,
8
946852
,
11
B
A
Stąd otrzymujemy równania T(x) i M(x):
( )
946852
,
11
5
+
⋅
−
=
x
x
T
( )
0749101
,
8
946852
,
11
2
5
2
−
⋅
+
⋅
−
=
x
x
x
M
T(x) obliczone metodą równań róŜniczkowych:
T(x) obliczone metodą przemieszczeń:
( )
kN
T
946852
,
11
0
=
≅
( )
kN
T
954
,
11
0
=
( )
kN
T
053148
,
13
5
−
=
≅
( )
kN
T
046
,
13
5
−
=
M(x) obliczone metodą równań róŜniczkowych: M(x) obliczone metodą przemieszczeń:
( )
kNm
M
0749101
,
8
0
−
=
≅
( )
kNm
M
0748851
,
8
0
−
=
( )
kNm
M
84065
,
10
5
−
=
≅
( )
kNm
M
840676
,
10
5
=
⇓
⇓
rozciąga włókna górne
rozciąga włókna górne