Microsoft Word - 01_Elementy

1. Elementy logiki

Zakres podstawowy

Praca klasowa nr 1 gr. A

(Kod: K1_D1_P_K1A)

Zadanie 1. (3 p.)
Oceń wartości logiczne zdań:
a) Trójkąt, którego boki mają długości 6, 8, 10 jest prostokątny.
b) Dla dowolnej liczby x prawdziwa jest równość: (x – 4)

= x

+ 16.

c) Istnieje wielokąt, którego liczba przekątnych jest równa liczbie jego boków.

Zadanie 2. (4 p.)
Uczeń przystąpił do egzaminu składającego się z dwóch części. Z każdej części mógł uzyskać
maksymalnie po 15 punktów. Warunkiem zdania egzaminu było uzyskanie z każdej części co
najmniej po 7 punktów i z obu części w sumie więcej niż 15 punktów. Czy z całą pewnością
możemy stwierdzić, który z chłopców zdał egzamin, a któremu się nie powiodło jeśli:
a) Wacek uzyskał w sumie z obu części 60% możliwych punktów.
b) Piotr otrzymał z jednej części 10 punktów, a w sumie uzyskał 16 punktów.
Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 3. (4 p.)
Oceń wartości logiczne zdań:

p: – 2

= 16, q:

3 +

= 7, r: 2 jest liczb

pierwsz

a nast

pnie oce

warto

ść

logiczn

zdania:

(

⇒

)

∧

Zadanie 4. (3 p.)
Poni

ej podane s

twierdzenia. Oce

ich warto

ci logiczne.

a) Je

li liczba jest podzielna przez 3, to jest podzielna przez 6.

b) Je

li przek

tne czworok

ta przecinaj

pod k

tem prostym, to ten czworok

t jest

rombem.
c) Je

li trójk

t ma wszystkie k

ty ostre, to jest ostrok

tny.

Zadanie 5. (3 p.)
Podaj prawo negacji alternatywy i udowodnij je. Napisz negacj

zdania:

Pojadę w góry lub

nie pojadę nad morze

Zadanie 6. (3 p.)
Oznaczmy zdania: p –

Mój ojciec ma nowe renault clio

q –

Moja mama nie ma prawa jazdy

r –

Ojciec podwozi mamę do pracy

Zapisz zdanie: (p

∧

⇒

r. Podaj zaprzeczenie utworzonego zdania, korzystaj

c z prawa

negacji implikacji:

¬(

⇒

)

⇔

∧

(

)

Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie:

Jeśli Tomek jest gimnazjalistą, to Jacek jest licealistą i nieprawda, że

jeśli Wojtek studiuje prawo, to Tomek nie jest gimnazjalistą.

Czy prawd

jest,

e Tomek jest

gimnazjalist

, Jacek licealist

, a Wojtek studentem prawa?

1. Elementy logiki

Zakres podstawowy

Praca klasowa nr 1 gr. B

(Kod: K1_D1_P_K1B)

Zadanie 1. (3 p.)
Oce

warto

ci logiczne zda

a) Trójk

t, którego boki maj

długo

ci 5, 12, 13 jest prostok

tny.

b) Dla dowolnej liczby x prawdziwa jest równo

ść

: (x + 3)

= x

+ 3x + 9.

c) Istnieje trójk

t, który ma dwa k

ty rozwarte.

Zadanie 2. (4 p.)
Ucze

przyst

pił do egzaminu składaj

cego si

z dwóch cz

ęś

ci. Z ka

dej cz

ęś

ci mógł uzyska

maksymalnie po 15 punktów. Warunkiem zdania egzaminu było uzyskanie z ka

dej cz

ęś

ci co

najmniej po 7 punktów i z obu cz

ęś

ci w sumie wi

cej ni

15 punktów. Czy z cał

pewno

emy stwierdzi

, który z chłopców zdał egzamin, a któremu si

nie powiodło je

li:

a) Marcin uzyskał w sumie z obu cz

ęś

ci 16 punktów.

b) Piotr otrzymał z jednej cz

ęś

ci 8 punktów, a w sumie uzyskał 45% punktów.

Odpowied

uzasadnij.

Zadanie 3. (4 p.)
Oce

warto

ci logiczne zda

p: – 3

= – 9, q:

= 12, r: 3 jest liczb

pierwsz

a nast

pnie oce

warto

ść

logiczn

zdania:

(

⇒

)

∧

Zadanie 4. (3 p.)
Poni

ej podane s

twierdzenia. Oce

ich warto

ci logiczne.

a) Je

li liczba jest podzielna przez 4, to jest podzielna przez 2.

b) Je

li przek

tne czworok

ta przecinaj

pod k

tem prostym, to ten czworok

t jest

kwadratem.
c) Je

li trójk

t ma dwa k

ty ostre, to jest ostrok

tny.

Zadanie 5. (3 p.)
Podaj prawo negacji koniunkcji i udowodnij je. Napisz negacj

zdania:

Nie kupię pomidorów

i kupię mandarynki

Zadanie 6. (3 p.)
Oznaczmy zdania: p –

Pan Kowalski kupił kwiaty

q –

Mężczyzna wybrał róże

r –

Róże są herbaciane

Zapisz zdanie: (p

∧

⇒

r. Podaj zaprzeczenie utworzonego zdania, korzystaj

c z prawa

negacji implikacji:

¬(

⇒

)

⇔

∧

(

)

Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie:

Jeśli Ania dostała piątkę z klasówki, to Beata dostała trójkę i

nieprawdą jest, że Ania dostała piątkę i Beata trójkę.

Czy Ania dostała pi

z klasówki?

1. Elementy logiki

Zakres podstawowy

Praca klasowa nr 2 gr. A

(Kod: K1_D1_P_K2A)

Zadanie 1. (3 p.)
Które z poni

szych wypowiedzi s

zdaniami logicznymi prawdziwymi?

a) x + 1 = 3.

c) Czy masz dobry humor?

b) 1 < 3.

d) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni.

Zadanie 2. (3 p.)
Dane jest twierdzenie:

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 2 i przez 3, to jest podzielna

przez 6.

a) Czy podane twierdzenie jest prawdziwe?
b) Sformułuj twierdzenie odwrotne do danego.
c) Oce

warto

ść

logiczn

twierdzenia odwrotnego do danego.

Zadanie 3. (3 p.)

Wiadomo,

e w(p

⇒

q) = 0. Jak

warto

ść

logiczn

ma zdanie: [p

∧

(

)

]

⇔

q ?

Zadanie 4. (3 p.)
Dane s

zdania:

2 jest liczb

wymiern

, q: 3 jest wi

ksze od 8.

a) Napisz alternatyw

powy

szych zda

ywaj

c symboli matematycznych, a nast

pnie

podaj zaprzeczenie utworzonego zdania.
b) Oce

warto

ść

logiczn

alternatywy zda

Zadanie 5. (4 p.)
Uzupełnij tabelk

i oce

, czy wyra

enie rachunku zda

: (

∧

)

⇒

(

⇔

)

jest prawem

logicznym.

∧

⇔

(

∧

)

⇒

(

⇔

)

Zadanie 6. (4 p.)
Oce

warto

ść

logiczn

zdania:

Dowolna liczba rzeczywista dodatnia jest nie mniejsza od

odwrotności tej liczby

i zapisz je, u

ywaj

c kwantyfikatorów i symboli matematycznych.

Podaj jego negacj

Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie:

Nieprawda, że jeśli Platon założył Akademię, to jeśli Arystoteles był

uczniem Platona, to Arystoteles nie uczęszczał do Akademii.

Czy na podstawie tej informacji mo

na udzieli

odpowiedzi na pytanie:

Czy Platon założył

Akademię?

li tak, to podaj i uzasadnij t

odpowied

Odpowiedzi

(Kod: K1_D1_P_K2A)

1.  Tylko b) jest zdaniem prawdziwym.
2.  a) Tak;
     b) Je

li liczba jest podzielna przez 6 to jest podzielna przez 2 i przez 3;

     c) Twierdzenie jest prawdziwe.
3.  Zdanie jest prawdziwe.
4.  a)

∨

∈

;

≤

∧

∉

;

b) Zdanie jest fałszywe.
5. Wyra

enie rachunku zda

nie jest tautologi

≥

∈

∀

; zdanie po negacji:

∈

∃

7. Tak.

1. Elementy logiki

Zakres podstawowy

Praca klasowa nr 2 gr. B

(Kod: K1_D1_P_K2B)

Zadanie 1. (3 p.)
Które z poni

szych wypowiedzi s

zdaniami logicznymi fałszywymi?

a) 4 jest liczb

nieparzyst

c) x + 1 < 6

b) π ma warto

ść

równ

3,14.

d) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Zadanie 2. (3 p.)
Dane jest twierdzenie:

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 15, to jest podzielna

przez 3.

a) Czy podane twierdzenie jest prawdziwe?
b) Sformułuj twierdzenie odwrotne do danego.
c) Oce

warto

ść

logiczn

twierdzenia odwrotnego do danego.

Zadanie 3. (3 p.)
Wiadomo,

e w(p ∨ q) = 0. Jak

warto

ść

logiczn

ma zdanie: (¬p ∧ q )

⇒

Zadanie 4. (3 p.)
Dane s

zdania:

p: 3 jest liczb

niewymiern

, q: 4 = –2.

a) Napisz koniunkcj

powy

szych zda

ywaj

c symboli matematycznych, a nast

pnie podaj

zaprzeczenie utworzonego zdania.
b) Oce

warto

ść

logiczn

koniunkcji zda

Zadanie 5. (4 p.)
Uzupełnij tabelk

i oce

, czy wyra

enie rachunku zda

: [(p

⇒

q) ∨ (¬q)] ⇔ p jest prawem

logicznym.

⇒

¬q

⇒

q) ∨ (¬q)

[(p

⇒

q) ∨ (¬q)] ⇔ p

Zadanie 6. (4 p.)
Oce

warto

ść

logiczn

zdania:

Dla każdej liczby rzeczywistej x suma liczby x i jej kwadratu

jest dodatnia

i zapisz je, u

ywaj

c kwantyfikatorów i symboli matematycznych. Podaj jego

negacj

Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie:

Nieprawda, że jeśli Platon założył Akademię, to jeśli Arystoteles był

uczniem Platona, to Arystoteles nie uczęszczał do Akademii.

Czy na podstawie tej informacji mo

na udzieli

odpowiedzi na pytanie:

Czy Arystoteles był

uczniem Platona?

li tak, to podaj i uzasadnij t

odpowied

Odpowiedzi

(Kod: K1_D1_P_K2B)

1.  Zdania logiczne fałszywe – a, b.
2.  a) Twierdzenie jest prawdziwe;
     b) Je

li liczba jest podzielna przez 3 to jest podzielna przez 15;

     c) Twierdzenie jest fałszywe.
3.  Zdanie prawdziwe.
4.  a)

−

∧

∈

;

−

≠

∨

∉

;

     b) Zdanie fałszywe.
5.  Nie jest prawem logicznym.
6.

∈

∀

; zdanie po negacji

≤

∈

∃

7. Tak

1. Elementy logiki

Zakres rozszerzony

Praca klasowa nr 1 gr. A

(Kod: K1_D1_R_K1A)

Zadanie 1. (5 p.)
Okre

l, które z poni

szych wyra

jest zdaniem, a które form

zdaniow

. Poni

sze

wypowiedzi zapisz za pomoc

kwantyfikatorów oraz symboli matematycznych. Oce

warto

ci logiczne zda

a) Odwrotno

ść

liczby a jest równa 5 lub a jest liczb

podzieln

przez 7.

b) Istnieje liczba rzeczywista p, której warto

ść

bezwzgl

dna jest liczb

niedodatni

c) Pierwiastek kwadratowy z kwadratu dowolnej liczby rzeczywistej b jest równy tej liczbie.

Zadanie 2. (5 p.)
a) Podaj prawo negacji implikacji dwóch zda

b) Udowodnij prawo negacji implikacji dwóch zda

c) Podaj zaprzeczenie zdania:

Jeśli będę otrzymywał dobre stopnie w liceum to dostanę się na

studia lub wyjadę na stypendium za granicę.

Zadanie 3. (2 p.)
Wiadomo,

e w(p

∧

q) = 1. Jak

warto

ść

logiczn

ma zdanie: [(¬p ⇔ q) ∧ (p ∨ q)]

⇒

Zadanie 4. (5 p.)
W

ród poni

szych twierdze

znajduj

twierdzenia prawdziwe oraz fałszywe.

Wybierz twierdzenia fałszywe. Utwórz twierdzenia odwrotne do nich i oce

ich warto

ść

logiczn

a) Je

li liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 12.

b) Je

li przek

tne czworok

ta przecinaj

pod k

tem prostym, to ten czworok

t jest

kwadratem.
c) Je

li trójk

t jest ostrok

tny, to ma wszystkie k

ty ostre.

Zadanie 5. (3 p.)
Wyznacz dziedzin

formy zdaniowej:

2 − = 5 ∧ x

– 8x + 16 = 0. Podaj zbiór

wszystkich elementów, które spełniaj

form

zdaniow

Zadanie 6.***
Napisz negacj

zdania:

Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy świeci słońce

Odpowiedzi

(Kod: K1_D1_R_K1A)

1. a)

∨

;

≤

∈

∃

( zdanie prawdziwe);

∈

∀

(zdanie fałszywe).

2. a) [¬(p

⇒

q)] ⇔ [p ∧ (¬q)];

Będę otrzymywał dobre stopnie w liceum i nie dostanę się na studia i nie wyjadę na

stypendium za granicę

3.  Zdanie jest prawdziwe.
4.  Twierdzenia fałszywe – a, b;
     a) Je

li liczba jest podzielna przez 12, to jest parzysta (twierdzenie prawdziwe).

b) Je

li czworok

t jest kwadratem, to jego przek

tne przecinaj

pod k

tem prostym

(twierdzenie prawdziwe).

5. D =

〈

, +∞) ; x ∈ {4}.

Trawa jest zielona i nie świeci słońce lub świeci słońce i trawa nie jest zielona

1. Elementy logiki

Zakres rozszerzony

Praca klasowa nr 1 gr. B

(Kod: K1_D1_R_K1B)

Zadanie 1. (5 p.)
Okre

l, które z poni

szych wyra

jest zdaniem, a które form

zdaniow

. Poni

sze

wypowiedzi zapisz za pomoc

kwantyfikatorów oraz symboli matematycznych. Oce

warto

ci logiczne zda

a) Liczba przeciwna do liczby a jest równa 5 lub a jest liczb

podzieln

przez 3.

b) Istnieje liczba rzeczywista r, której kwadrat jest liczb

niedodatni

c) Pierwiastek kwadratowy z kwadratu dowolnej liczby rzeczywistej y jest równy warto

bezwzgl

dnej tej liczby.

Zadanie 2. (5 p.)
a) Podaj prawo alternatywy dwóch zda

b) Udowodnij prawo alternatywy dwóch zda

c) Podaj zaprzeczenie zdania:

Jem dużo cukierków lub jeśli jest gorąco, to nie gardzę lodami

Zadanie 3. (2 p.)
Wiadomo,

e w(p

⇒

q) = 0. Jak

warto

ść

logiczn

ma zdanie: [(¬p ⇔ q) ∧ (p ∨ q)]

⇒

Zadanie 4. (5 p.)
W

ród poni

szych twierdze

znajduj

twierdzenia prawdziwe oraz fałszywe.

Wybierz twierdzenia fałszywe. Utwórz twierdzenia odwrotne do nich i oce

ich warto

ść

logiczn

a) Je

li liczba jest nieparzysta, to jest podzielna przez 3.

c) Je

li przek

tne czworok

ta przecinaj

pod k

tem prostym, to ten czworok

t jest

deltoidem.
c) Je

li trójk

t jest rozwartok

tny, to ma jeden k

t rozwarty.

Zadanie 5. (3 p.)
Wyznacz dziedzin

formy zdaniowej:

3 − = 2 ∧ x

– 9 = 0. Podaj zbiór wszystkich

elementów, które spełniaj

form

zdaniow

Zadanie 6.***
Napisz negacj

zdania:

Jest smutno wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz

Odpowiedzi

(Kod: K1_D1_R_K1B)

1. a) – a = 5 ∨ 3|a;
b)

≤

∈

∃

(zdanie prawdziwe);

∈

∀

(zdanie prawdziwe).

2. a) [¬(p ∨ q)] ⇔ [(¬p) ∧ (¬q)];
c)

Nie jem dużo cukierków i jest gorąco i gardzę lodami

3.  Zdanie jest fałszywe.
4.  Twierdzenia fałszywe – a, b.
     Twierdzenia odwrotne:

a) Je

li liczba jest podzielna przez 3, to jest nieparzysta (twierdzenie fałszywe).

b) Je

li czworok

t jest deltoidem, to jego przek

tne przecinaj

pod k

tem prostym

(twierdzenie prawdziwe).

5. D =

)

1 +∞

, x ∈ {3}

Jest smutno i nie pada deszcz lub pada deszcz i nie jest smutno

1. Elementy logiki

Zakres rozszerzony

Praca klasowa nr 2 gr. A

(Kod: K1_D1_R_K2A)

Zadanie 1. (5 p.)
Oce

warto

ci logiczne zda

(podaj równie

warto

ci logiczne zda

składowych):

∨ 4

+ 4

= 4

b) Istnieje liczba pierwsza mniejsza od liczby 2.

Zadanie 2. (3 p.)
Sprawd

, czy podane wyra

enie rachunku zda

[¬(¬p ∨ ¬q)] ⇔ (p ∧ q) jest tautologi

Zadanie 3. (4 p.)
Zapisz za pomoc

kwantyfikatorów i symboli matematycznych nast

puj

ce zdania. Oce

ich

warto

ci logiczne.

a) Istnieje taka liczba rzeczywista p, której sze

cian jest wi

kszy od jej podwojonego

kwadratu.
b) Dowolna liczba rzeczywista x jest równa swojej odwrotno

ci.

Zadanie 4. (5 p.)
Napisz zaprzeczenia poni

szych zda

Kochanowski napisał „Treny” lub Mickiewicz jest autorem „Dziadów”

Jeśli koło jest figurą ograniczoną, to równoległobok jest trapezem

]

[

≤

∧

−

∈

∀

Zadanie 5. (3 p.)

Okre

l dziedzin

formy zdaniowej:

−

. Podaj zbiór wszystkich elementów

spełniaj

cych t

form

zdaniow

Zadanie 6.***
Na płaszczy

nie z prostok

tnym układem współrz

dnych zaznacz zbiór wszystkich punktów,

których współrz

dne spełniaj

form

zdaniow

F(x, y): y > 3

⇒

2y – 3x < 6.

Odpowiedzi

(Kod: K1_D1_R_K2A)

1.  a) Zdanie fałszywe,
     b) zdanie fałszywe.
2.  Wyra

enie jest tautologi

3. a)

∈

∃

;

∈

∀

; a – zdanie prawdziwe; b – zdanie fałszywe.

4. a)

Kochanowski nie napisał „Trenów” i Mickiewicz nie jest autorem „Dziadów”.

Koło jest figurą ograniczoną i równoległobok nie jest trapezem

]

[

∨

≤

−

∈

∃

5. D = R – {2}, x ∈{0}.
6.

1. Elementy logiki

Zakres rozszerzony

Praca klasowa nr 2 gr. B

(Kod: K1_D1_R_K2B)

Zadanie 1. (5 p.)
Oce

warto

ci logiczne zda

(podaj równie

warto

ci logiczne zda

składowych):

−

∧ 5

+ 5

= 5

b) Istnieje liczba zło

ona, która ma tylko dwa dzielniki naturalne.

Zadanie 2. (3 p.)
Sprawd

, czy podane wyra

enie rachunku zda

: [(p ∨ ¬q)

⇒

p] ⇔ (¬p ∧ q) jest tautologi

Zadanie 3. (4 p.)
Zapisz za pomoc

kwantyfikatorów i symboli matematycznych nast

puj

ce zdania. Oce

ich

warto

ść

logiczn

a) Istnieje taka liczba rzeczywista a,

e jej kwadrat jest mniejszy od potrojonej tej liczby.

b) Dowolna liczba rzeczywista k jest równa liczbie przeciwnej do jej sze

cianu.

Zadanie 4. (5 p.)
Napisz zaprzeczenia poni

szych zda

Kwadrat jest figurą osiowosymetryczną i prosta jest figurą środkowosymetryczną

Jeśli wieloryb jest ssakiem, to płotka jest rybą

]

[

≥

∨

∈

∃

Zadanie 5. (3 p.)

Okre

l dziedzin

formy zdaniowej:

= 0. Podaj zbiór wszystkich elementów

spełniaj

cych t

form

Zadanie 6.***
Na płaszczy

nie z prostok

tnym układem współrz

dnych zaznacz zbiór wszystkich punktów,

których współrz

dne spełniaj

form

zdaniow

F(x, y): x < –2

⇒

y – 3x > 6.

Odpowiedzi

(Kod: K1_D1_R_K2B)

1.  a) Zdanie fałszywe;
     b) zdanie fałszywe.
2.  Wyra

enie nie jest tautologi

3. a)

∈

∃

(zdanie prawdziwe);

∈

∀

(zdanie fałszywe).

4. a)

Kwadrat nie jest figurą osiowosymetryczną lub prosta nie jest figurą

środkowosymetryczną

Wieloryb jest ssakiem i płotka nie jest rybą

]

[

∧

≤

∈

∀

5. D = R – {–5}; x ∈{0}.
6.