Praca domowa nr 6 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka”
Zad. 1. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem:
.
4
gdy
,
4
2
gdy
,
2
2
gdy
,
2
gdy
,
1
0,6,
,
1
,
0
,
0
t
t
t
t
t
F
Wyznaczyć:
a) rozkład zmiennej losowej X , b)
4
2
X
P
, c) prawdopodobieństwo, że w pięciu niezależnych
doświadczeniach zmienna losowa X co najmniej raz przyjmie wartość z przedziału
4
,
2
.
Zad. 2. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa postaci:
i
x
2
/
1
3
/
1
3
/
1
2
/
1
i
i
x
X
P
p
2
,
0
4
,
0
3
,
0
1
,
0
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y , jeśli: a)
5
6
X
Y
, b)
4
X
Y
.
Zad. 3. Wyznaczyć c , dla której funkcja f , dana wzorem: a)
x
I
x
cx
x
f
1
,
0
2
1
,
b)
x
I
cxe
x
f
x
,
0
4
2
, jest gęstością zmiennej losowej.
Wskazówka do a):
3
2
2
2
1
x
x
x
c
x
cx
;
Wskazówka do b): przy wyznaczaniu całki
dx
xe
x
2
4
, należy zastosować podstawienie
t
x
2
4
.
Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
tym.
poza
,
0
,
4
0
gdy
,
12
3
1
,
0
2
gdy
,
3
1
6
x
x
x
x
x
f
Wyznaczyć:
a) dystrybuantę zmiennej losowej X , b)
3
,
1
X
P
, c) prawdopodobieństwo zdarzenia, że
w czterech niezależnych doświadczeniach co najmniej dwa razy zmienna losowa X przyjmie wartość
z przedziału
3
,
1
.
Zad. 5. Wyznaczyć
1
2
X
P
, gdy zmienna losowa
X
ma rozkład o gęstości
tym.
poza
,
0
,
4
2
gdy
,
6
3
2
,
2
2
gdy
,
6
1
12
x
x
x
x
x
f
Odpowiedzi:
Zad. 1: a)
4
,
0
;
4
,
5
,
0
;
2
,
1
,
0
;
2
, b) 9
,
0
, c)
5
1
,
0
1
;
Zad. 2: a)
1
,
0
;
2
,
3
,
0
;
3
,
4
,
0
;
7
,
2
,
0
;
8
, b)
3
,
0
;
16
/
1
,
7
,
0
;
81
/
1
;
Zad. 3: a) 12 , b)
8
; Zad. 4: a)
,
,
4
gdy
,
4
,
0
gdy
,
0
,
2
-
gdy
,
2
,
gdy
,
1
,
3
1
3
24
3
/
1
3
/
12
,
0
2
2
t
t
t
t
/
t/
/
-t
,
t
/
t
t
F
b)
3
1
, c)
27
11
; Zad. 5:
24
13
.