PODSTAWY OBLICZEŃ
GEODEZYJNYCH
dr inż. Marian Poniewiera
marzec 2007 r.
PODSTAWY OBLICZEŃ
GEODEZYJNYCH
dr inż. Marian Poniewiera
marzec 2007 r.
Wielkości mierzalne
●
wielkość projektowana (nominalna),
●
wielkość tolerowana,
●
wielkość graniczna,
●
wielkość rzeczywista,
●
wielkość zmierzona (metrologiczna).
Odchyłki
●
odchyłki dopuszczalne - mieszczące się
w granicach norm lub przepisów
●
odchyłki niedopuszczalne - nie mieszczące się
w w/w granicach
Przedział ufności
P(x
0
– tm < x< x
0
+ tm) = 1 – α
α
– współczynnik istotności,
1 – α
– współczynnik ufności,
t
– parametr odczytywany z tablic rozkładu normalnego dla
zadanego poziomu ufności,
m
– błąd średni.
Podstawowe grupy błędów
●
błędy grube, czyli pomyłki lub pomiar wykonany
niewłaściwie,
●
błędy systematyczne,
●
błędy przypadkowe (losowe).
Źródła błędów
●
niedokładność zmysłów obserwatora,
●
niedokładność narzędzi pomiarowych,
●
wpływ warunków zewnętrznych.
Rozkład błędów losowych
Wielkość najprawdopodobniejsza
X
śr
=
[
X
i
]
n
Błąd pozorny
=X
śr
−X
i
Metoda najmniejszych kwadratów
[νν] = min
Średni błąd pojedynczego pomiaru m
0
m
0
=
[
]
n−1
Średni błąd średniej arytmetycznej
z n pomiarów
M
=
m
0
n
Błąd przeciętny
d
=
[
]
n
Błąd graniczny
M
max
= 3m
Błąd średni sumy (lub różnicy) wielkości
mierzonych
F = x
1
± x
2
± x
3
± ... ± x
n
Średni błąd funkcji F = f(X, Y,..., Z)
m
F
=
m
1
2
m
2
2
m
3
2
...m
n
2
Obliczenie najprawdopodobniejszej wartości
kąta i wartości błędu średniego
Rezultaty
pomiarów
a
i
n
i
= x
śr
-
a
i
nn
Obliczenia
30
0
51
′
14"
20"
18"
22"
16"
Obliczenie najprawdopodobniejszej wartości
kąta i wartości błędu średniego
Rezultaty
pomiarów
a
i
n
i
= x
śr
-
a
i
nn
Obliczenia
30
0
51
′
14"
20"
18"
22"
16"
+
-
-
+
4"
2"
0
4"
2"
16
4
0
16
4
Σ
a
ι
= 90
"
Σ
n = 0
Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia
Błąd średni średniej arytmetycznej
Przykład. Z jakim błędem średnim można wyznaczyć
pole trójkąta, jeżeli wysokość w=40 m (zadanie wykonać
także dla w=20+n, gdzie n<1,30>) pomierzono
z błędem średnim m
w
= 0,02m, zaś podstawę a=60m
pomierzono z błędem średnim m
a
=±0,03m,
a wiadomo że P = aw/2.
m
P
=
1
4
w
2
m
a
2
1
4
a
2
m
w
2
=0,85 m
2
dla w=20+n, gdzie n<1,30> m
P
wynosi
n
m
P
n
m
P
n
m
P
1
0,68
11
0,76
21
0,86
2
0,68
12
0,77
22
0,87
3
0,69
13
0,78
23
0,88
4
0,70
14
0,79
24
0,89
5
0,71
15
0,80
25
0,90
6
0,72
16
0,81
26
0,91
7
0,72
17
0,82
27
0,93
8
0,73
18
0,83
28
0,94
9
0,74
19
0,84
29
0,95
10
0,75
20
0,85
30
0,96
Tolerancja budowlana
Różnica między projektem a realizacją
(dl)
2
= (dl
t
)
2
+ (dl
b
)
2
gdzie: dl
t
– tyczenia, dl
b
– prac budowlanych
dl
t
= dl
b
= 0,7 dl
Aby uzyskać błąd graniczny należy uwzględnić poziom ufności
m
t
dl
t
/r,
gdzie r – poziom ufności
r = 2 p = 95% r = 2,5 p = 98%
r = 3 p = 99%
dla r = 2,5 m
t
= 0,28 dl ±4
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn dwóch macierzy
Iloczyn dwóch macierzy
Transpoza macierzy
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Wzory rachunkowe Hausbrandta
Przecięcie dwóch prostych,
znane punkty ABCD
Wyznaczenie współrzędnych punktu
przecięcia się dwóch prostych
25,40
59,45
52,70
12,10
Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia
się dwóch prostych
25,40
59,45
52,70
12,10
35.33
27.37
Rzutowanie punktów na prostą
Przecięcie okręgu prostą
Wyznaczenie prostej równoległej do danej
Dane są współrzędne punktów A, B, C, z których punkty A i B
wyznaczają prostą l. Obliczyć współrzędne wybranego punktu D
leżącego na prostej l' (C, D) równoległej do l.
Wzory rozwiązujące
:
x
D
= - x
A
+ x
B
+ x
C
y
D
= - y
A
+ y
B
+ y
C
Wzory kontrolujące:
∆
x
CD
=
∆
x
AB
∆
y
CD
=
∆
y
AB
Wyznaczenie prostej równoległej do danej
Nr punktu
Współrzędne
Przyrosty
x
y
∆
x
∆
y
A
B
C
D
102,31
508,64
-106,53
200,15
802,67
901,18
Wyznaczenie prostej równoległej do danej
Nr punktu
Współrzędne
Przyrosty
x
y
∆
x
∆
y
A
B
C
D
102,31
508,64
-106,53
299,80
200,15
802,67
901,18
1503,70
406,33
406,33
602,52
602,52
Wyznaczanie prostej prostopadłej do danej
Dane są współrzędne punktów A, B, C, z których punkty A i B wyznaczają prostą l.
Obliczyć współrzędne wybranego punktu D prostej p (C, D) prostopadłej do l (A, B).
Wzory rozwiązujące :
punkt D z lewej strony prostej l’:
x
D
= - y
A
+ y
B
+ x
C
y
D
= x
A
- x
B
+ y
C
'
punkt D z prawej strony prostej l‘:
x
D
= y
A
- y
B
+ x
C
y
D
= - x
A
+ x
B
+ y
C
Wzory kontrolujące:
punkt D z lewej strony prostej l‘:
-
∆
x
AB
=
∆
y
CD
∆
y
AB
=
∆
x
CD
punkt D z prawej strony prostej l‘:
∆
x
AB
=
∆
y
CD
-
∆
y
AB
=
∆
x
CD
Wyznaczanie prostej prostopadłej do danej
Punkt D położony z lewej strony prostej l'
Nr punktu
Współrzędne
Przyrosty
x
y
∆
x
∆
y
A
B
C
D
102,31
508,64
-106,53
200,15
802,67
901,18
Wyznaczanie prostej prostopadłej do danej
Punkt D położony z lewej strony prostej l'
Nr punktu
Współrzędne
Przyrosty
x
y
∆
x
∆
y
A
B
C
D
102,31
508,64
-106,53
495,99
200,15
802,67
901,18
494,85
-406,33
602,52
602,52
-406,33