Zbiory
1
Zbiory
1
Zbiór
•
podstawowe pojęcie matematyczne
2
Zbiór
•
podstawowe pojęcie matematyczne
•
potoczne rozumienie: pojemnik, pudełko, worek
3
Zbiór
•
podstawowe pojęcie matematyczne
•
potoczne rozumienie: pojemnik, pudełko, worek
•
to czym jest zbiór, zależy tylko i wyłącznie od tego
co do tego zbioru należy
4
Przykład.
Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.
5
Przykład.
Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.
Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ
6
Przykład.
Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.
Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ
Rektor UJ ∈ zbiór pracowników administracyjnych UJ
7
Przykład.
Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.
Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ
Rektor UJ
|
{z
}
r
∈ zbiór pracowników administracyjnych UJ
|
{z
}
P
8
Przykład.
Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.
Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ
Rektor UJ
|
{z
}
r
∈ zbiór pracowników administracyjnych UJ
|
{z
}
P
r ∈ P
9
a ∈ X —
10
a ∈ X — „obiekt a należy do zbioru X”
11
a ∈ X — „obiekt a należy do zbioru X”
albo:
12
a ∈ X — „obiekt a należy do zbioru X”
albo: „obiekt a jest elementem zbioru X
13
należy vs zawiera
14
należy vs zawiera
•
8 należy do zbioru liczb parzystych
15
należy vs zawiera
•
8 należy do zbioru liczb parzystych
•
zbiór liczb podzielnych przez 4 zawiera się w zbiorze
liczb parzystych
16
należy vs zawiera
•
8 należy do zbioru liczb parzystych
•
zbiór liczb podzielnych przez 4 zawiera się w zbiorze
liczb parzystych
•
Jan jest Polakiem
17
należy vs zawiera
•
8 należy do zbioru liczb parzystych
•
zbiór liczb podzielnych przez 4 zawiera się w zbiorze
liczb parzystych
•
Jan jest Polakiem
•
zbiór Polaków zawiera się w zbiorze Europejczyków
18
należy vs zawiera
19
należy vs zawiera
a ∈ X
Y ⊆ X
20
x nie należy do B zapisujemy:
21
x nie należy do B zapisujemy:
x 6∈ B
22
x nie należy do B zapisujemy:
x 6∈ B
C nie zawiera się w D zapisujemy:
23
x nie należy do B zapisujemy:
x 6∈ B
C nie zawiera się w D zapisujemy:
C 6⊆ D
24
Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:
A = {a, b, c, d}
25
Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:
A = {a, b, c, d}
Analogicznie, jeśli jedynymi elementami A są elementy
x
1
, x
2
, . . . , x
k
to piszemy:
A = {x
1
, x
2
, . . . , x
k
}
26
Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:
A = {a, b, c, d}
Analogicznie, jeśli jedynymi elementami A są elementy
x
1
, x
2
, . . . , x
k
to piszemy:
A = {x
1
, x
2
, . . . , x
k
}
Jeśli zbiór A posiada tylko jeden element a to piszemy:
A = {a}
27
Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:
A = {a, b, c, d}
Analogicznie, jeśli jedynymi elementami A są elementy
x
1
, x
2
, . . . , x
k
to piszemy:
A = {x
1
, x
2
, . . . , x
k
}
Jeśli zbiór A posiada tylko jeden element a to piszemy:
A = {a}
Jeśli A nie posiada w ogóle żadnych elementów to pi-
szemy:
A = ∅
28
Zasada ekstensjonalności
29
Zasada ekstensjonalności
Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?
30
Zasada ekstensjonalności
Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?
Wtedy gdy mają takie same elementy.
31
Zasada ekstensjonalności
Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?
Wtedy gdy mają takie same elementy.
Symbolicznie:
A = B ↔
32
Zasada ekstensjonalności
Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?
Wtedy gdy mają takie same elementy.
Symbolicznie:
A = B ↔ (dla dowolnego x : x ∈ A ↔ x ∈ B)
33
Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?
i.
{1, 2, 3}, {3, 2, 1}
34
Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?
i.
{1, 2, 3}, {3, 2, 1}
ii.
{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}
35
Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?
i.
{1, 2, 3}, {3, 2, 1}
ii.
{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}
iii.
{4}, {4, 4}
36
Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?
i.
{1, 2, 3}, {3, 2, 1}
ii.
{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}
iii.
{4}, {4, 4}
iv.
{1, 6}, {6, 1, 1, 1, 1, . . .}
37
Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?
i.
{1, 2, 3}, {3, 2, 1}
ii.
{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}
iii.
{4}, {4, 4}
iv.
{1, 6}, {6, 1, 1, 1, 1, . . .}
v.
zbiór córek, zbiór kobiet
38
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
39
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
40
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
iii.
{1, ∅}
41
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
iii.
{1, ∅}
iv.
{ϑ, {ϑ}}
42
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
iii.
{1, ∅}
iv.
{ϑ, {ϑ}}
v.
{∅, {∅}, {{∅}}}
43
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
iii.
{1, ∅}
iv.
{ϑ, {ϑ}}
v.
{∅, {∅}, {{∅}}}
vi.
{{{{{{∅, ∅}}}}}}
44
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
iii.
{1, ∅}
iv.
{ϑ, {ϑ}}
v.
{∅, {∅}, {{∅}}}
vi.
{{{{{{∅, ∅}}}}}}
vii.
{{1, 2, 3, 4, 5}}
45
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
iii.
{1, ∅}
iv.
{ϑ, {ϑ}}
v.
{∅, {∅}, {{∅}}}
vi.
{{{{{{∅, ∅}}}}}}
vii.
{{1, 2, 3, 4, 5}}
viii.
{∅, 1, {27, 7, 3 · 9}, 6, {6}}
46
Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:
i.
{1, 3, 9, 7, 3}
ii.
{4, 9, 9 − 5}
iii.
{1, ∅}
iv.
{ϑ, {ϑ}}
v.
{∅, {∅}, {{∅}}}
vi.
{{{{{{∅, ∅}}}}}}
vii.
{{1, 2, 3, 4, 5}}
viii.
{∅, 1, {27, 7, 3 · 9}, 6, {6}}
ix.
{{a, b}, b, a, {{b, a, b}}}
47
Rysowanie zbioru pustego...
48
Rysowanie zbioru pustego...
Zbiór pusty ∅ to „puste putełko”:
49
Rysowanie zbioru pustego...
Zbiór pusty ∅ to „puste putełko”:
50
Rysowanie zbioru pustego...
Zbiór {∅} to puste putełko w pudełku:
51
Rysowanie zbioru pustego...
Zbiór {∅} to puste putełko w pudełku:
52
Rysowanie zbioru pustego...
Zbiór {∅, {∅}} to puste putełko i pudełko w którym jest
puste pudełko, w pudełku:
53
Rysowanie zbioru pustego...
Zbiór {∅, {∅}} to puste putełko i pudełko w którym jest
puste pudełko, w pudełku:
54
i tak dalej...
55
Relacje
56
Zbiór dwuelementowy {x, y} nazywamy parą nieupo-
rządkowaną, ponieważ:
{x, y} = {y, x}.
57
Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:
(x, y)
58
Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:
(x, y)
Jeśli x 6= y to:
59
Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:
(x, y)
Jeśli x 6= y to:
(x, y) 6= (y, x).
60
Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:
(x, y)
Jeśli x 6= y to:
(x, y) 6= (y, x).
Kiedy para (x, y) jest równa parze (z, t)?
61
Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:
(x, y)
Jeśli x 6= y to:
(x, y) 6= (y, x).
Kiedy para (x, y) jest równa parze (z, t)?
(x, y) = (z, t) ↔ [x = z oraz y = t]
62
Niech A, B będą zbiorami. Zbiór wszystkich par (x, y)
takich, że x ∈ A oraz y ∈ B nazywamy iloczynem
Kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy:
A × B.
63
Przykład.
{a, b} × {1, 2} =
64
Przykład.
{a, b} × {1, 2} = {
65
Przykład.
{a, b} × {1, 2} = {(a, 1),
66
Przykład.
{a, b} × {1, 2} = {(a, 1), (a, 2),
67
Przykład.
{a, b} × {1, 2} = {(a, 1), (a, 2), (b, 1),
68
Przykład.
{a, b} × {1, 2} = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
69
Przykład.
{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
70
Przykład.
{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
71
Przykład.
{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
72
Przykład.
{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
73
Przykład.
{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
74
Przykład.
{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
Zatem iloczyn kartezjański ma 4 · 4 = 16 elementów.
75
Ile elementów ma iloczyn kartezjański:
{1, 2, . . . , 20} × {1, 2, . . . , 500}?
76
Iloczyn kartrezjański zbirów A i B:
77
Definicja. Niech X, Y będą dowolnymi zbiorami. Re-
lacją pomiędzy elementami zbioru X a elementami zbio-
ru Y nazywamy dowolny podzbiór R ⊆ X × Y .
78
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
79
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
80
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
81
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2
4
= 16, np.:
82
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2
4
= 16, np.:
R
1
= ∅
(relacja „pusta”)
83
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2
4
= 16, np.:
R
1
= ∅
(relacja „pusta”)
R
2
= {(1, 1)}
84
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2
4
= 16, np.:
R
1
= ∅
(relacja „pusta”)
R
2
= {(1, 1)}
R
3
= {(1, 2)}
85
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2
4
= 16, np.:
R
1
= ∅
(relacja „pusta”)
R
2
= {(1, 1)}
R
3
= {(1, 2)}
...
86
Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2
4
= 16, np.:
R
1
= ∅
(relacja „pusta”)
R
2
= {(1, 1)}
R
3
= {(1, 2)}
...
R
16
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} (relacja „pełna”)
87
Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?
88
Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?
2
10·10
=
89
Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?
2
10·10
= 2
100
=
90
Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?
2
10·10
= 2
100
=
= 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376
91
Oznaczenia.
92
Oznaczenia.
Zamiast pisać (x, y) ∈ R, piszemy:
xRy
93
Oznaczenia.
Zamiast pisać (x, y) ∈ R, piszemy:
xRy
Zamiast pisać (x, y) 6∈ R, piszemy:
¬xRy
94
Graf relacji. Przykład.
95
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
96
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:
97
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:
98
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:
99
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:
100
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:
101
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:
102
Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:
103
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
104
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
•
zwrotną, gdy ∀x xRx
105
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
•
zwrotną, gdy ∀x xRx
•
przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx
106
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
•
zwrotną, gdy ∀x xRx
•
przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx
•
symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)
107
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
•
zwrotną, gdy ∀x xRx
•
przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx
•
symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)
•
antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)
108
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
•
zwrotną, gdy ∀x xRx
•
przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx
•
symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)
•
antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)
•
słabo-antysymetryczną, gdy ∀x, y
(xRy ∧ yRx) → x = y
109
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
•
zwrotną, gdy ∀x xRx
•
przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx
•
symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)
•
antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)
•
słabo-antysymetryczną, gdy ∀x, y
(xRy ∧ yRx) → x = y
•
przechodnią, gdy ∀x, y, z
(xRy ∧ yRz) → xRz
110
Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:
•
zwrotną, gdy ∀x xRx
•
przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx
•
symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)
•
antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)
•
słabo-antysymetryczną, gdy ∀x, y
(xRy ∧ yRx) → x = y
•
przechodnią, gdy ∀x, y, z
(xRy ∧ yRz) → xRz
•
spójną, gdy ∀x, y (xRy ∨ yRx ∨ x = y)
111
Ćwiczenie 1. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
112
Ćwiczenie 1. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
113
Ćwiczenie 2. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (3, 4), (2, 1), (4, 3)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
114
Ćwiczenie 2. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (3, 4), (2, 1), (4, 3)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
115
Ćwiczenie 3. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 4)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
116
Ćwiczenie 3. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 4)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
117
Ćwiczenie 4. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
118
Ćwiczenie 4. Zbadać własności relacji
R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}
w zbiorze {1, 2, 3, 4}.
119
Ćwiczenie 5. Zbadać własności relacji w zbiorze
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
i.
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 6)}
ii.
R = {(1, 2), (3, 4), (6, 5)}
iii.
R = {(1, 2), (3, 2), (5, 4), (1, 6), (3, 4), (5, 6)}
iv.
R = {(6, 6), (3, 2), (1, 2), (5, 2), (4, 5), (4, 2)}
v.
R = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (6, 6), (4, 3), (3, 4), (1, 1),
(2, 1), (5, 2), (5, 1), (1, 5), (5, 5), (4, 4), (5, 2)}
120
Relacje rozważane poniżej, są określone w zbiorze ludzi.
Np. relacja „bycia matką” zachodzi między x a y wtedy
i tylko wtedy, gdy x jest matką y.
121
Relacje rozważane poniżej, są określone w zbiorze ludzi.
Np. relacja „bycia matką” zachodzi między x a y wtedy
i tylko wtedy, gdy x jest matką y. Czyli
xRy ↔ x jest matką y.
122
Relacje rozważane poniżej, są określone w zbiorze ludzi.
Np. relacja „bycia matką” zachodzi między x a y wtedy
i tylko wtedy, gdy x jest matką y. Czyli
xRy ↔ x jest matką y.
Jakie własności posiada relacja:
i.
bycia matką
ii.
bycia bratem
iii.
bycia znajomym
iv.
bycia krewnym
v.
zwierzchnictwa (w pracy)
vi.
bycia kochanym
123
vii.
bycia starszym
viii.
bycia o rok starszym
ix.
bycia tego samego wieku
x.
bycia przeciwnej płci
xi.
bycia nie-siostrą
xii.
bycia starszym lub młodszym
xiii.
wyznawania tej samej religii
xiv.
bycia dziadkiem
xv.
bycia najmłodszą siostrą
xvi.
posiadania wspólnego rodzica
124