I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

Z ELEMENTAMI

ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

POMIAR

FIZYCZNY

Pomiar bezpośredni to doświadczenie, w którym przy pomocy
odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy z jednostką)
interesującą nas wielkość fizyczną np.

pomiar długości przedmiotu linijką

4

2

h

d

V





Pomiar pośredni to doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość
interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innych wielkości
fizycznych związanych z daną wielkością znanym związkiem
funkcyjnym np.

pomiar objętości walca poprzez pomiar jego rozmiarów

geometrycznych

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW

Wynik pomiaru bez podania dokładności doświadczenia (niepewności
pomiarowej) jest bezwartościowy.

Zapisując wyniki pomiarów stosujemy następującą konwencję:

podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności, a jeżeli

zaokrąglenie do jednej cyfry nie zmieni wartości więcej niż o 10% to
podaje się tylko jedną cyfrę

wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce dziesiętne dalej niż

miejsce dziesiętne niepewności, a następnie zaokrąglamy wg.
normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego
zaokrąglono niepewność pomiarową.

1,34

± 0,02 m

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

Niepewności

Błędy pomiarowe a niepewności pomiarowe.

Rodzaje błędów pomiarowych:
• błędy przybliżenia
• błędy grube

Typy niepewności pomiarowych:
•

niepewności systematyczne

•

niepewności przypadkowe

Sposoby unikania i zmniejszania błędów pomiarowych.

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE

Niepewności systematyczne związane są ze skończoną dokładnością przyrządów
pomiarowych i niedoskonałością obserwatora.

• Pomiar przymiarem milimetrowym - Δx = 1mm

Niepewności systematyczne można zmniejszyć:
• stosując doskonalsze przyrządy
• wykonując bardzo starannie pomiary.
Małe niepewności (w stosunku do innych) można zaniedbać.

Niepewności systematycznych nie można wyeliminować!

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE

Niepewności przypadkowe występują, gdy wyniki pomiarów zmieniają się od
pomiaru do pomiaru, powodując odchylenie od wartości prawdziwej zarówno
w jedną jak i w drugą stronę.
Metody statystyki pozwalają na oszacowanie niepewności przypadkowych
zarówno jakościowo jak i ilościowo.

•

Prawdziwa wartość mierzonej wielkości - wartość oczekiwana.

•

Rozkład prawdopodobieństwa φ(x) wartości mierzonej jest rozkładem

Gaussa.

•

Przy skończonej ilości pomiarów, parametry rozkładu Gaussa można

jedynie estymować.

•

Szukanie prawdziwej wartości mierzonej wielkości i jej niepewności - to

estymacja wartości oczekiwanej i jej odchylenia standardowego.

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

ROZKŁAD

GAUSSA



















n

i

i

x

x

x

n

n

S

1

2

1

1







n

i

i

x

n

x

1

1















n

i

i

x

x

x

n

S

1

2

1

1

Estymator wartości oczekiwanej:

Estymator niepewności pojedynczego
pomiaru:

Estymator odchylenia standardowego
średniej arytmetycznej:

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

ROZKŁAD STUDENTA-FISHERA

Przy liczbie pomiarów n<10, odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej przyjmuje zaniżoną wartość. Chcąc otrzymać
poprawną wartość, należy pomnożyć go przez tzw.
współczynnik rozkładu Studenta-Fishera tn



. Współczynnik

tn



zależy od liczby pomiarów n oraz przyjętego poziomu

ufności



, a jego wartość można znaleźć w odpowiednich

tablicach. Poziom ufności



to prawdopodobieństwo, z jakim

wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej
wielkości. W laboratorium studenckim przyjmuje się zazwyczaj
poziom ufności 0.95.

x

S

x

S

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

CAŁKOWITA NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA

 

3

3

2

x

x

S

x









 

2

2

3

1

x

S

S

x

x







Niepewność systematyczna w ujęciu statystycznym:

Całkowita niepewność pomiarowa:

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

NIEPEWNOŚĆ W POMIARACH POŚREDNICH





n

x

x

x

f

z

,.....

,

2

1







n

x

x

x

f

z

,...

,

2

1



2

2

2

2

1

.....

2

1

























































n

x

n

x

x

z

S

x

f

S

x

f

S

x

f

S

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

z





























....

2

2

1

1

max

Związek funkcyjny pomiędzy mierzonymi wielkościami:

Średnia arytmetyczna jako estymator wartości oczekiwanej:

Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej:

Niepewność maksymalna (występują tylko niepewności statystyczne):

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

TABELE

NAJBARDZIEJ ZWARTY I CZYTELNY ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW

• Zawsze, gdy jest to możliwe wyniki pomiarów zapisujemy i przedstawiamy w
postaci tabel.
• Wartości jednej wielkości zapisujemy w kolumnie.
• Nagłówek kolumny powinien zawierać symbol wielkości i jej jednostkę.
• Wielkość jednostki miary dobieramy tak, aby zapisywane liczby mieściły się w
zakresie 0.1 do 1000.

Czas

t [s]

Natężenie
prądu I [mA]

1,3

0,1

2,0

0,3

2,8

0,6

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

WYKRESY

dlaczego?

RI

U



•

Pozwalają wyznaczyć wartości pewnych wielkości (zazwyczaj jeden z

parametrów zależności liniowej łączącej dwie wielkości fizyczne).

•

Stanowią poglądową ilustrację wyników doświadczenia.

•

Służą do ustalania empirycznych zależności między dwiema wielkościami.

b

IB

R

U

H

H



I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

WYKRES

najbardziej efektywny sposób przedstawienia wyników pomiarów

• Dobry wykres jest dostosowany do prezentowanego zagadnienia
• Wykresy sporządzamy w układzie kartezjańskim
• Na osiach rozmieszczamy wielokrotności jednostki wielkości wykreślanej.
• Używamy jednostek układu SI lub ich wielokrotności
• Osie opisujemy symbolem i jednostką wielkości fizycznej
• Zakres zmiennej na osi nie musi zaczynać się od zera
• Zakresy osi wykresu należy dobrać tak, aby punkty pomiarowe znajdowały się
na całej powierzchni ograniczonej osiami
• Punkty pomiarowe należy zaznaczać wyraźnie i jednoznacznie
• Wykres powinien być tak wykonany, aby można było z niego łatwo odczytać
przybliżone wartości współrzędnych poszczególnych punktów
• Punktów pomiarowych nie łączymy ze sobą linią łamaną
• Prostokąty niepewności pomiarowych (o ile są dostatecznie duże) nanosimy tak
aby nie zaciemniały informacji zawartych na wykresie

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

WYKRESY

jak?

Konwencja:
Na osi poziomej odkładana jest zmienna niezależna (przyczyna)
Na osi pionowej odkładana jest zmienna zależna (skutek)

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

REGRESJA LINIOWA

1

2

3

4

5

6

2

4

6

8

10

12

N

ap

ięc

ie U

[

V

]

Natężenie prądu I [mA]

y=ax+b
a=(1.96

±0.05)kΩ

b=(0.08

±0.01)V

r=0.998

Wielkości x i y związane zależnością liniową.

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

I Pracownia Fizyczna IF UJ

październik 2007

BŁĘDY GRUBE

Błędy grube to błędy powstające w wyniku pomyłki eksperymentatora
lub w wyniku niesprawności aparatury pomiarowej.

Zwykle są na tyle duże, że można je łatwo zauważyć.

Żeby uniknąć błędów grubych należy starannie zorganizować proces
pomiarowy i używać tylko właściwie wytestowanych przyrządów.

Punkty obarczone błędem grubym odrzucamy.