I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW  

Z ELEMENTAMI  

ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

POMIAR

 

FIZYCZNY 

Pomiar bezpośredni to doświadczenie, w którym przy pomocy 
odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy z jednostką) 
interesującą nas wielkość fizyczną np. 

 

     

pomiar długości przedmiotu linijką 

4

2

h

d

V





Pomiar pośredni to doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość 
interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innych wielkości 
fizycznych związanych z daną wielkością znanym związkiem 
funkcyjnym np. 
      
     

pomiar objętości walca poprzez pomiar jego rozmiarów 

geometrycznych  

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW 

Wynik pomiaru bez podania dokładności doświadczenia (niepewności 
pomiarowej) jest bezwartościowy. 

Zapisując wyniki pomiarów stosujemy następującą konwencję: 
 
   

podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności, a jeżeli 

zaokrąglenie do jednej cyfry nie zmieni wartości więcej niż o 10% to 
podaje się tylko jedną cyfrę 
 
   

wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce dziesiętne dalej niż 

miejsce dziesiętne niepewności, a następnie zaokrąglamy wg. 
normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego 
zaokrąglono niepewność pomiarową. 

1,34 

± 0,02 m 

  

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

Niepewności 

Błędy pomiarowe a niepewności pomiarowe. 
 
Rodzaje błędów pomiarowych: 
•   błędy przybliżenia 
•   błędy grube 

Typy niepewności pomiarowych: 
•

niepewności systematyczne 

•

niepewności przypadkowe 
 

 
Sposoby unikania i zmniejszania błędów pomiarowych. 
 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE 

Niepewności systematyczne związane są ze skończoną dokładnością przyrządów 
pomiarowych i niedoskonałością obserwatora. 
 
•   Pomiar przymiarem milimetrowym  - Δx = 1mm 
 
Niepewności systematyczne można zmniejszyć:     
•   stosując doskonalsze przyrządy 
•   wykonując bardzo starannie pomiary. 
Małe niepewności (w stosunku do innych) można zaniedbać. 

 

Niepewności systematycznych nie można wyeliminować! 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE 

Niepewności przypadkowe występują, gdy wyniki pomiarów zmieniają się od 
pomiaru do pomiaru, powodując odchylenie od wartości prawdziwej zarówno 
w jedną jak i w drugą stronę. 
Metody statystyki pozwalają na oszacowanie niepewności przypadkowych 
zarówno jakościowo jak i ilościowo. 

•

Prawdziwa wartość mierzonej wielkości  -  wartość oczekiwana. 
 

•

Rozkład prawdopodobieństwa φ(x) wartości mierzonej jest rozkładem      

Gaussa. 

 

•

Przy skończonej ilości pomiarów, parametry rozkładu Gaussa można        

jedynie estymować. 

 

•

Szukanie prawdziwej wartości mierzonej wielkości i jej niepewności -  to 

estymacja wartości oczekiwanej i jej odchylenia standardowego. 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

ROZKŁAD

 GAUSSA 



















n

i

i

x

x

x

n

n

S

1

2

1

1







n

i

i

x

n

x

1

1















n

i

i

x

x

x

n

S

1

2

1

1

Estymator wartości oczekiwanej: 

Estymator niepewności pojedynczego 
pomiaru: 

Estymator odchylenia standardowego  
średniej arytmetycznej: 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

ROZKŁAD STUDENTA-FISHERA 

Przy liczbie pomiarów n<10, odchylenie standardowe średniej 
arytmetycznej      przyjmuje zaniżoną wartość. Chcąc otrzymać  
poprawną wartość, należy  pomnożyć go przez tzw. 
współczynnik rozkładu Studenta-Fishera tn



 

. Współczynnik  

tn



 

zależy od liczby pomiarów n oraz przyjętego poziomu 

ufności 



, a jego wartość można znaleźć w odpowiednich 

tablicach. Poziom ufności 



 

to prawdopodobieństwo, z jakim 

wyznaczony przedział  zawiera wartość rzeczywistą mierzonej 
wielkości. W laboratorium studenckim przyjmuje się zazwyczaj 
poziom ufności 0.95. 

x

S

 

  

 

  

x

S

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

CAŁKOWITA NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA 

 

3

3

2

x

x

S

x









 

2

2

3

1

x

S

S

x

x







 

Niepewność systematyczna w ujęciu statystycznym: 

Całkowita niepewność pomiarowa: 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

NIEPEWNOŚĆ W POMIARACH POŚREDNICH 





n

x

x

x

f

z

,.....

,

2

1







n

x

x

x

f

z

,...

,

2

1



2

2

2

2

1

.....

2

1

























































n

x

n

x

x

z

S

x

f

S

x

f

S

x

f

S

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

z





























....

2

2

1

1

max

Związek funkcyjny pomiędzy mierzonymi wielkościami: 

Średnia arytmetyczna jako estymator wartości oczekiwanej: 

Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej: 

Niepewność maksymalna (występują tylko niepewności statystyczne): 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

TABELE 

NAJBARDZIEJ ZWARTY I CZYTELNY ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW 

• Zawsze, gdy jest to możliwe wyniki pomiarów zapisujemy i przedstawiamy w 
postaci tabel. 
• Wartości jednej wielkości zapisujemy w kolumnie. 
• Nagłówek kolumny powinien zawierać symbol wielkości i jej jednostkę. 
• Wielkość jednostki miary dobieramy tak, aby zapisywane liczby mieściły się w 
zakresie 0.1 do 1000. 

 

Czas 

t [s] 

Natężenie 
prądu I [mA] 

1,3 

0,1 

2,0 

0,3 

2,8 

0,6 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

WYKRESY 

dlaczego? 

RI

U



•

Pozwalają wyznaczyć wartości pewnych wielkości (zazwyczaj jeden z 

parametrów zależności liniowej łączącej dwie wielkości fizyczne). 

 

•

Stanowią poglądową ilustrację wyników doświadczenia. 
 

•

Służą do ustalania empirycznych zależności między dwiema wielkościami. 

b

IB

R

U

H

H



I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

WYKRES 

 

najbardziej efektywny sposób przedstawienia wyników pomiarów 

• Dobry wykres jest dostosowany do prezentowanego zagadnienia 
• Wykresy sporządzamy w układzie kartezjańskim 
• Na osiach rozmieszczamy wielokrotności jednostki wielkości wykreślanej. 
• Używamy jednostek układu SI lub ich wielokrotności 
• Osie opisujemy symbolem i jednostką wielkości fizycznej 
• Zakres zmiennej na osi nie musi zaczynać się od zera 
• Zakresy osi wykresu należy dobrać tak, aby punkty pomiarowe znajdowały się 
na całej powierzchni ograniczonej osiami 
• Punkty pomiarowe należy zaznaczać wyraźnie i jednoznacznie 
• Wykres powinien być tak wykonany, aby można było z niego łatwo odczytać 
przybliżone wartości współrzędnych poszczególnych punktów 
• Punktów pomiarowych nie łączymy ze sobą linią łamaną 
• Prostokąty niepewności pomiarowych (o ile są dostatecznie duże) nanosimy tak 
aby nie zaciemniały informacji zawartych na wykresie 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

WYKRESY 

jak? 

Konwencja: 
Na osi poziomej odkładana jest zmienna niezależna (przyczyna) 
Na osi pionowej odkładana jest zmienna zależna (skutek) 
 
 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

REGRESJA LINIOWA 

1

2

3

4

5

6

2

4

6

8

10

12

N

ap

ięc

ie U

 [

V

]

Natężenie prądu  I [mA]

y=ax+b 
a=(1.96

±0.05)kΩ 

b=(0.08 

±0.01)V 

r=0.998 

Wielkości x i y związane zależnością liniową. 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

 

I Pracownia Fizyczna IF UJ             

październik 2007 

BŁĘDY GRUBE 

Błędy grube to błędy powstające w wyniku pomyłki eksperymentatora 
lub w wyniku niesprawności aparatury pomiarowej. 
 
Zwykle są na tyle duże, że można je łatwo zauważyć. 
 
Żeby uniknąć błędów grubych należy starannie zorganizować proces 
pomiarowy i używać tylko właściwie wytestowanych przyrządów. 
 
Punkty obarczone błędem grubym odrzucamy.