42
L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A
8
Oś liczbowa. Odległości liczb na osi liczbowej
ĆWICZENIE A.
Na poniższym rysunku każdy punkt oznaczony literą odpo-
wiada pewnej liczbie. Wymień, które z tych liczb są:
a) większe od 4,
c) większe od −2 lub równe −2,
b) mniejsze od −1,
d) mniejsze od 5 lub równe 5.
ĆWICZENIE B.
Narysuj oś liczbową i zaznacz na niej kilka liczb większych
od −3,5. Zaproponuj, jak zaznaczyć na osi wszystkie liczby spełniające ten
warunek.
Liczby, które rozważaliśmy w powyższych ćwiczeniach, musiały speł-
niać pewne warunki. Każdy z tych warunków można opisać za pomocą
nierówności. Zbiory wszystkich liczb spełniających takie nierówności
możemy zaznaczać na osi liczbowej.
Liczby większe od 3,5 to te,
które spełniają nierówność:
x
> 3,5
Liczby mniejsze od −1 to te,
które spełniają nierówność:
x
< −1
Liczby większe od −2 lub równe −2
to te, które spełniają nierówność:
x
≥ −2
Liczby mniejsze od 5 lub równe 5
to te, które spełniają nierówność:
x
≤ 5
ĆWICZENIE C.
Poniższe nierówności opisują następujące zbiory liczbowe:
1 — liczby dodatnie, 2 — liczby ujemne, 3 — liczby nieujemne, 4 — liczby
niedodatnie. Dopasuj każdy z tych zbiorów do odpowiedniej nierówności.
A x < 0
B
x ≥ 0
C
x > 0
D x ≤ 0
Przyjmujemy, że na osi liczbowej odcinek
łączący liczby 0 i 1 ma długość 1 i nazy-
wamy go odcinkiem jednostkowym.
ĆWICZENIE D.
Podaj przykład dwóch liczb ujem-
nych, których odległość na osi jest równa 1.
Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jest
równa długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom
(jednostką długości jest odcinek jednostkowy).
O Ś L I C Z B O W A . O D L E G Ł O Ś C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J
43
Na osi liczbowej między liczbami 3 i 7 miesz-
czą się 4 odcinki jednostkowe, więc odległość
między tymi liczbami wynosi 4.
Na osi liczbowej między liczbami −8 i −6,5
mieści się 1,5 odcinka jednostkowego. Odle-
głość między tymi liczbami wynosi 1,5.
Na osi liczbowej między liczbami −2 i 6 mie-
ści się 8 odcinków jednostkowych. Odległość
między tymi liczbami wynosi 8.
ĆWICZENIE E.
Zaznacz na osi liczbowej liczby −5,6 i −2.
a) Jaka jest odległość między tymi liczbami?
b) Od większej z tych liczb odejmij liczbę mniejszą. Co zauważyłeś?
Aby obliczyć odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej, wy-
starczy od większej z tych liczb odjąć liczbę mniejszą.
Przykład
Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a = −9,1 i b = −3,7?
−9,1 < −3,7
Ustalamy, która liczba jest większa.
b
− a = −3,7 − (−9,1) = −3,7 + 9,1 = 5,4
Od większej z liczb odejmujemy
liczbę mniejszą.
Odp. Odległość między liczbami a i b wynosi 5,4.
Zadania
1.
Zapisz odpowiednie nierówności:
a) Liczba x jest większa od −2,5.
b) Liczba a jest mniejsza od 11.
c) Liczba x jest ujemna.
d) Liczba x jest mniejsza lub równa 5.
e) Liczba y jest nieujemna.
f) Liczba b jest nie mniejsza niż 8.
g) Liczba c jest nie większa niż 11.
Uwaga. Liczba jest nie mniejsza od 8, gdy jest większa od 8 lub równa 8.
73 /5
2
2.
Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających podany warunek.
a) x < −2
c) x ≤ 200
e) x ≥ −3,5
b) x ≥ 10
d) x < −1
1
4
f) x >
7
3
44
L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A
3.
Zapisz nierówność, jaką spełniają wszystkie liczby z zaznaczonego
zbioru (i tylko te liczby).
Jeżeli o lic
zbie x wia
do-
mo, że jes
t większa
lub
równa −2,
ale mniejs
za
od 3, to m
ożemy to
za-
pisać króc
ej:
−2 ≤ x < 3
Na osi lic
zbowej lic
zby
spełniając
e ten waru
nek
możemy z
aznaczyć
tak:
4.
Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełnia-
jących warunek:
a) 4 ≤ x < 9
c) −2,5 ≤ s ≤ 2,5
b) −3 < a < 0
d) −1 < y ≤
1
2
5.
Ustal, ile jest liczb spełniających warunek:
a) x ≤ 14 i x jest liczbą naturalną,
b) x > −6
3
7
i x jest liczbą całkowitą ujemną,
c) −2,5 < x ≤ 3,4 i x jest liczbą naturalną,
d) −105 ≤ x ≤ 95 i x jest liczbą naturalną.
6.
Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami a i b, gdy:
a) a = 3,5
b) a = −12
c) a = −1
d) a =
3
4
b
= 1
b
= 37
b
= −105
b
= −1
7.
a) Jakie liczby leżą na osi liczbowej w odległości 15 od liczby −5?
b) Pewna liczba leży na osi liczbowej dokładnie w tej samej odległości
od liczb −3 i 17. Co to za liczba?
8.
Zaznacz na trzech różnych osiach podane zbiory liczbowe, a następnie
opisz je za pomocą nierówności (zob. ramka powyżej).
1 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 5 od liczby 0.
2 Zbiór liczb leżących w odległości nie większej niż 2 od liczby 1.
3 Zbiór liczb leżących w odległości mniejszej niż 10 od liczby −7.
9.
Na osi liczbowej zaznaczono punkt A o współrzędnej −5 oraz punkt B
o współrzędnej 7. Następnie zaznaczono jeszcze dwa punkty C i D
w taki sposób, że odległości między punktami C i A oraz D i B są
równe 1,5. Jaka jest odległość między punktami C i D?
O Ś L I C Z B O W A . O D L E G Ł O Ś C I L I C Z B N A O S I L I C Z B O W E J
45
Symbol |a| oznacza wartość bezwzględną
liczby a. Bezwzględną wartością liczby do-
datniej lub równej 0 jest ta sama liczba,
a bezwzględną wartością liczby ujemnej
jest liczba do niej przeciwna. Na przykład:
5
1
3
= 5
1
3
|
0| = 0
|
− 4| = 4
Wartość bezwzględna jest zawsze liczbą
nieujemną. Zauważ, że dla każdej liczby
jej odległość od zera na osi liczbowej jest
równa wartości bezwzględnej tej liczby.
Gdy dla dowolnych dwóch liczb a i b naj-
pierw obliczymy różnicę a − b, a potem ob-
liczymy różnicę b − a, to otrzymamy dwie
liczby przeciwne, a więc liczby, których
wartości bezwzględne są równe.
Na przykład dla a = 2 i b = −8 otrzymamy:
|a
− b| = |2 − (−8)| = |10| = 10
|b
− a| = | − 8 − 2| = | − 10| = 10
Możemy więc powiedzieć, że dla dowol-
nych liczb a i b zachodzi równość:
|a
− b| = |b − a|
Zatem, gdy chcemy określić odległość mię-
dzy dwiema dowolnymi liczbami na osi
liczbowej, nie musimy ustalać, która z liczb
jest większa, wystarczy obliczyć wartość
bezwzględną z dowolnej różnicy tych liczb.
Do określania odległości między liczbami na
osi liczbowej symbol wartości bezwzględ-
nej przydaje się szczególnie wtedy, gdy nie
wiemy, która z dwóch liczb jest większa.
76 /
52
10.
a) Przeczytaj ciekawostkę i oblicz:
|
− 5|
|
2,6|
|
0 − 6,7|
|
7,5 − 10|
|
− 8 − 2|
|
6 − (−2)|
b) Zdanie: Odległość liczby a od 7 jest równa 3 można opisać za po-
mocą równania |a − 7| = 3. Dwie liczby spełniają ten warunek. Jakie?
c) Znajdź liczby spełniające równanie |x − 12| = 15.
1.
Wśród liczb zaznaczonych na osi na pewno
nie ma żadnej liczby:
A. dodatniej
B. mniejszej od −3
C. nieujemnej
D. mniejszej od 3
2.
Odcinek, którego końce na osi mają współrzędne −4 oraz 12 ma długość:
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
3.
Które z podanych liczb leżą na osi liczbowej w równej odległości od −2?
A. 1 i −5
B. 0 i 2
C. −4 i 4
D. −3 i −4
zadania uzupełniające 73–76, str. 52
52
L I C Z B Y I D Z I A Ł A N I A .
Z A D A N I A U Z U P E Ł N I A J Ą C E
65.
W 2007 r. firma X zatrudniała 340
pracowników, z czego
9
17
stanowili męż-
czyźni. Rok później liczba zatrudnio-
nych wzrosła o
1
5
, przy czym liczba męż-
czyzn wzrosła tylko o 15. Ile kobiet za-
trudniała firma X w 2008 r.?
∗
66.
Zła macocha wsypała dwie miski so-
czewicy do wiadra z popiołem i kazała
Kopciuszkowi w ciągu godziny wybrać
wszystkie ziarenka. Ziarna stanowiły
1
4
ciężaru tej mieszanki. Najpierw przyle-
ciały gołębie i wyłuskały z popiołu
2
5
ziaren, potem przyleciały turkawki i wy-
łuskały 0,7 pozostałych ziaren, na ko-
niec przyleciały wróble i wyjęły z po-
piołu ostatnie 18 dag ziaren. Ile ważyła
soczewica, a ile popiół?
∗
67.
Sprawdź, czy poniższa równość jest
prawdziwa.
1
+
2
1+
2
1+
2
1+
2
1+2
=
2
1
21
Działania na liczbach dodatnich
i ujemnych
68.
Oblicz:
a) −7
4
9
− 2
1
6
e) −7,2 + 12,36
b) 3
1
4
− 8
5
6
f) 6,4 − 10,25
c) −2
3
5
+ 7
1
3
g) −3
1
7
− 1,2
d) −3,12 − 6,1
h) 4
5
6
− 8,2
69.
Oblicz:
a) −5,65 + (−2,08) − 1,35
b) 6,51 + (−2,775) − 11,125
c) −
10
9
+
−
1
6
+ 9
3
4
− (− 6,25)
d) −9,3 −
−12
1
5
− (72,8 − (−13,002))
70.
Oblicz jak najprostszym sposobem:
a) 12 −
2
7
− 7 + 13
3
7
b) −5,8 + 2,7 − 2,2 + 0,3
c) −5
1
8
+ 1
1
12
+ 2
7
12
+
1
8
d) −0,5 −
3
4
+ 1
1
2
− 0,25
71.
Oblicz:
a) −1
1
4
·
(−4)
e) (−3)
2
·
1
3
b) −6
2
3
: 2
f)
1
3
2
·
(−9)
c) −0,2 · (−0,2)
g) −6
2
:
1
2
d) −3
1
3
·
(−3)
h) 3
3
4
: (−1,25)
2
72.
Czy liczba przeciwna do iloczynu
dwóch liczb przeciwnych jest liczbą do-
datnią czy ujemną?
Oś liczbowa. Odległości na osi
liczbowej
73.
Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb
spełniających podany warunek:
a) x ≥ −4
b) x < 7
c) x > 2
3
4
74.
Ustal, ile liczb całkowitych leży na
osi liczbowej w odległości:
a) mniejszej niż 20 od zera,
b) mniejszej niż 20 od liczby 15.
75.
Podaj liczby, których odległość od
liczby −2 na osi liczbowej wynosi:
a) 10
b) 3,5
c) 113
d) 1999
76.
Zapisz, używając symbolu warto-
ści bezwzględnej, równość opisującą po-
dany warunek i znajdź liczby spełniające
ten warunek:
a) Odległość liczby a od liczby 5 na osi
liczbowej jest równa 3.
b) Odległość liczby b od liczby 4 na osi
liczbowej jest równa 20.
c) Odległość liczby c od liczby −2 na osi
liczbowej jest równa 1.