Obliczenia procentowe

loguj

rejestracja

Matematyka

Ogromny wybór. Unikalne tytuły Sprawdź jakie
są ceny.

www.allegro.pl

Lokata na pół roku i 6,5%

Promocja do końca Marca ZałóŜ Lokatę w
Polbanku.

Polbank.pl

Zarobki

Kalkulator płacy brutto i netto. Raporty
średnich płac w branŜach.

www.pracuj.pl

logika i zbiory

analiza matematyczna

algebra

geometria analityczna

rach. prawdopodobieństwa

liga matematyczna

konkursy

matura

pomoce naukowe

katalog stron

ogłoszenia

korepetycje

forum

kalkulator

o nas

zobacz

sonda

Który to juŜ rok?

Pierwszy (miau) ;)

Drugi

Trzeci - ostatni - nareszcie

Stary system jeszcze - (IV
lub V)

głosuj | zobacz wyniki

czy wiesz, Ŝe...

... granica jednostajnie zbieŜnego
ciągu funkcji ciągłych jest funkcją
ciągłą.

forum

[geometria] suma kątów w...

[algebra] zbiory

[geometria] kula

[geometria] cięciwa

[krp] prawdopodobieństwo...

[geometria] wykazać nieró...

[analiza] zbiór wartości...

[analiza] definicja

algebra » zbiory liczbowe

Obliczenia procentowe

Pojęcie procentu

Przyjrzyjmy się danym z 2001 roku przedstawionych w tabelce:

W Hiszpanii w 2001 roku uŜytkowanych było znacznie mniej samochodów osobowych niŜ w Wielkiej Brytanii.
Jednak nie znaczy, Ŝe w Anglii cieszyły się one większą popularnością. Aby obiektywnie sprawdzić, w którym
kraju były one uŜytkowane w większej ilości pokaŜmy, ile samochodów przypadało na stu mieszkańców:

w Wielkiej Brytanii:

samochody,

w Hiszpanii:

samochodów.

ZauwaŜamy więc, Ŝe mimo większej ilości samochodów uŜytkowanych w Anglii, cieszyły się one większą
popularnością w Hiszpanii. Obliczenie liczby aut przypadających na stu mieszkańców pozwoliło dokładniej

porównać dane. Tak więc zwrot "

na stu mieszkańców" jest równowaŜny "

liczby wszystkich

mieszkańców".

Stąd wzięła się nazwa procentu - określenie "na sto" po łacinie brzmi "pro centum".

Do czego słuŜą nam procenty?

Z pojęciem procentu

spotykamy się codziennie w najróŜniejszych sytuacjach - w prasie, sklepach,

ogłoszeniach, bankach, rocznikach statystycznych, radiu, telewizji itp. Wykorzystanie procentów pomaga w
wyraŜeniu najróŜniejszych danych w tabelach, diagramach, itp.

Definicja

Jednym procentem liczby nazywamy setną część tej liczby i oznaczamy

Wielka

Brytania

Hiszpania

Liczba samochodów

osobowych

24594000

18151000

Liczba mieszkańców

59070000

40266000

Przykład

Page 1 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

polecamy

Procent a ułamek

Zamieńmy teraz procent na ułamek dziesiętny.

Wiemy juŜ, ze jeden procent równa się jednej setnej jakiejś wielkości. Wobec tego:

W analogiczny sposób zamienia się procenty na ułamki zwykłe:

Z przedstawionego powyŜej diagramu moŜemy dowiedzieć się wielu rzeczy, na przykład:

zdecydowanie największą grupę etniczną w Polsce stanowią Polacy (

całej

społeczności),

drugą pod względem liczebności grupę stanowią Ukraińcy,

śydów jest znacznie więcej niŜ Białorusinów i Niemców, ale stanowczo mnie niŜ
Ukraińców,

pozostałe grupy stanowią jedynie

całej liczby ludności Polski.

Przykład

Z powyŜszego diagramu moŜemy odczytać na przykład, Ŝe:

Polska importuje więcej niŜ eksportuje paliwa o

więcej jest eksportowanych niŜ importowanych towarów rolno-spoŜywczych,

produktów przetwórstwa przemysłowego jest więcej eksportowanych niŜ importowanych,

Page 2 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Oczywiście moŜna takŜe wykonywać zamiany odwrotne, tzn. zamieniając ułamki zwykłe lub dziesiętne na
procent. W niektórych przypadkach moŜna zamienić ułamek na procent rozszerzając go do mianownika

ZauwaŜmy więc, Ŝe takie same wyniki otrzymalibyśmy mnoŜąc kaŜdy z ułamków przez

i dopisując znak

Jednak nie kaŜdy ułamek da się rozszerzyć do mianownika

. W takich przypadkach najczęściej znajduje

się rozwinięcie dziesiętne ułamka (dzieląc licznik przez mianownik) i procent podaje się w zaokrągleniu:

Jaki to procent?

Obliczając, jakim procentem danej liczby jest druga liczba, zaczynamy od ustalenia, jakim ułamkiem jednaj
liczby jest druga, a następnie zamieniamy ten ułamek na procent.

Przykład

Na podstawie powyŜszego diagramu określimy:

Jak łatwo policzyć, sprawdzian z matematyki napisało

osób. Wobec tego:

ile procent osób z całej klasy dostało ocenę celującą,

ile procent osób z całej klasy nie zaliczyło sprawdzianu,

ile procent osób z całej klasy otrzymało lepszą ocenę niŜ dostateczna.

mamy do obliczenia, jakim procentem liczby

jest liczba . Obliczamy najpierw, jakim

ułamkiem liczby

jest i zamieniamy otrzymany ułamek na procent:

lub inaczej:

oceny niedostateczne otrzymały osoby, wobec tego obliczymy, jakim procentem liczby

jest liczba :

ocenę lepszą niŜ dostateczna dostało

osób, wobec tego obliczymy, jakim procentem

Page 3 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Oprócz mówienia, Ŝe jakiś towar podroŜał o

, moŜemy równieŜ powiedzieć, Ŝe nowa cena jest o

wyŜsza od początkowej.

Procent danej liczby

PowyŜszy diagram przedstawia skład procentowy kotleta schabowego.

Wyobraźmy sobie, Ŝe dostajemy na obiad kotlet schabowy, który waŜy

g. Na podstawie diagramu

moŜemy obliczyć na przykład, ile dostarczamy naszemu organizmowi tłuszczów, zjadając ten kotlet. Aby się
tego dowiedzieć, musimy obliczyć ile jest

liczby

W Ŝyciu codziennym często spotykamy się z określeniami:

więcej,

mniej, itp. Zastanówmy się

teraz, co one tak w ogóle oznaczają.

liczby

jest liczba

Przykład

Garnitur męski, którego cena wynosiła

zł podroŜał o

zł. Obliczymy o ile procent wzrosła

cena.

Obliczamy, jakim ułamkiem liczby

jest liczba

, a następnie zamieniamy go na procent:

Garnitur podroŜał o

ceny.

Przykład

Ile gramów tłuszczu zawiera waŜący

g kotlet schabowy?

Najpierw zamieniamy procent na ułamek:

Następnie mnoŜymy ułamek przez liczbę:

odp. W kotlecie znajduje się

g tłuszczu.

Przykład

W sklepie z ubraniami zapowiedziano wiosenną obniŜkę cen o

. Sukienka kosztuje

zł. Ile

będzie kosztowała po obniŜce?

Obliczymy to dwoma sposobami.

SPOSÓB I:

Page 4 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Rysunek przedstawia budowlę z klocków wykonaną przez pewnego chłopca. ZuŜył on na jej wykonanie

wszystkich klocków, jakie posiadał oraz

wszystkich klocków koloru Ŝółtego. Ile łącznie klocków posiada

chłopiec i ile łącznie posiada klocków Ŝółtych?

Wiemy, Ŝe liczba uŜytych klocków stanowi

ogólnej liczby posiadanych przez chłopca klocków. Zatem

stanowi

ogólnej liczby. W tym wypadku wartość moŜemy znaleźć bez trudu: skoro

stanowi

, to

stanowi

. Z taką samą łatwością moŜemy obliczyć ogólną liczbę klocków Ŝółtych: skoro

stanowi

, to stanowi

RównieŜ łatwo moŜna obliczyć:

Jednak nie zawsze w taki łatwy sposób moŜna obliczyć zadania. Przy trudniejszych przykładach moŜna się
posłuŜyć równaniami lub proporcjami.

Obliczamy, jakim procentem starej ceny będzie nowa cena:

Zamieniamy procent na ułamek:

Obliczamy nową cenę:

SPOSÓB II:

Zamieniamy procent na ułamek:

Obliczamy kwotę, o którą zostanie obniŜona cena:

Obliczamy nową cenę:

odp. Po obniŜce sukienka będzie kosztowała

zł.

jeŜeli

liczby jest równe

, to

jeŜeli

liczby jest równe

, to

jeŜeli

liczby jest równe

, to

Przykład

Znajdziemy liczbę, której

wynosi

SPOSÓB I:

Zamieniamy procent na ułamek:

Układamy równanie:

Page 5 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm

Obliczenia procentowe

Poznaliśmy  juŜ  trzy  podstawowe rodzaje obliczeń  procentowych.  Jednak  nie  zawsze  łatwo  jest  zdecydować,
jaki  typ  obliczeń  naleŜy  zastosować,  aby  rozwiązać  zadanie.  Czasami  wymagane  jest  stosowanie  dwóch  lub
nawet trzech typów obliczeń.

SPOSÓB II:

Układamy proporcję:

odp. Szukaną liczbą jest

Przykład

Cenę pewnego towaru podwyŜszono o

i wynosi ona obecnie

zł. Jaka była cena tego

towaru przed podwyŜką?

Obliczamy, jakim procentem starej ceny jest nowa cena:

Zamieniamy procent na ułamek:

Układamy i rozwiązujemy równanie:

odp. Cena przed podwyŜką wynosiła

zł.

Przykład

Pan X zarabia

zł. Pan Y zarabia o

więcej niŜ pan X, natomiast o

mniej niŜ pan Z.

Ile zarabia pan Y, a ile pan Z?

Obliczamy, jakim procentem zarobków pana X są zarobki pana Y:

Zamieniamy procent na ułamek:

Obliczamy zarobki pana Y:

Obliczamy zarobki pana Z:

-zarobki pana Z

odp. Pan Y zarabia

zł, a pan Z

zł.

Przykład

Page 6 of 7

matematyka.org - algebra - zbiory liczbowe - obliczenia procentowa

2008-03-29

http://www.matematyka.org/liceum231326020210,2,yisvp.htm