1
Zakład Fizyki i Badań
Strukturalnych ATH
Laboratorium
Fizyki
Ćwiczenie nr 40
Zastosowanie metody Stokesa do
badania wpływu temperatury na lepkość
cieczy
1
Zakład Fizyki i Badań
Strukturalnych ATH
Laboratorium
Fizyki
Ćwiczenie nr 40
Zastosowanie metody Stokesa do
badania wpływu temperatury na lepkość
cieczy
2
Lepkość
Lepkość zwana inaczej tarciem wewnętrznym jest zjawiskiem wpływającym w bardzo
istotny sposób zarówno na przepływ cieczy jak też na ruch ciał w nich zanurzonych. Termin
„tarcie wewnętrzne” wiąże się z tym, że jeżeli w przemieszczaniu się ciał stałych siły tarcia
istnieją tylko na ich powierzchniach zewnętrznych, to w cieczach wpływ lepkości ujawnia się w
całej ich objętości. Parametrem charakteryzującym ciecz pod względem jej lepkości jest
współczynnik lepkości dynamicznej oznaczany symbolem
η
. Współczynnik ten jest zdefiniowany
poprzez równanie Newtona określające siłę tarcia wewnętrznego F występującą między
warstwami cieczy poruszającej się ruchem laminarnym ( warstwowym), działającą stycznie do
powierzchni warstw :
dx
dv
S
F
⋅
⋅
=
η
(1)
gdzie: S - pole powierzchni styku trących o siebie warstw cieczy,
dx
dv
- gradient prędkości cieczy w kierunku prostopadłym do kierunku przepływu cieczy,
który określa zmianę prędkości cieczy pomiędzy dwoma warstwami oddalonymi o
nieskończenie małą odległość dx (rys.1)
Rys.1. Laminarny przepływie cieczy lepkiej
Zjawisko lepkości należy do kategorii zjawisk transportu. Jest ono spowodowane
przenoszeniem pędu pomiędzy cząsteczkami zawartymi w przesuwających się względem siebie
warstwach cieczy. W rezultacie, warstwy cieczy poruszające się szybciej pociągają za sobą
warstwy wolniejsze i odwrotnie, warstwy wolniejsze bądź nieruchome, spowalniają ruch warstw
szybszych.
Jak wynika z równania (1) współczynnik lepkości dynamicznej określa wartość siły tarcia
wewnętrznego przypadającej na jednostkę powierzchni jaka występuje przy jednostkowym
gradiencie prędkości cieczy.
Jednostką współczynnika lepkości
η
w układzie SI jest Ns/m
2
zwana też paskalosekundą (Pa
⋅
s).
Stosowana jest także nie należąca do układu SI jednostka: puaz (P), 1 puaz = 0.1 Ns/m
2
.
Lepkość cieczy jest również charakteryzowana przez tzw. współczynnik lepkości kinematycznej
υ
definiowany jako stosunek współczynnika lepkości dynamicznej
η
do gęstości cieczy
ρ
:
ρ
η
υ
=
(2)
Parametr ten określa szybkość zanikania różnic w prędkości pomiędzy poszczególnymi
warstwami cieczy.
Czynnikiem mającym bardzo istotny wpływ na lepkość cieczy jest jej temperatura. Efekt ten
związany jest z tym, że przemieszczanie się cząsteczek w objętości cieczy jest uwarunkowane
posiadaniem przez nie odpowiednio dużej energii wystarczającej do pokonania ograniczających
ją oddziaływań międzycząsteczkowych i umożliwiającej zmianę położenia. Uzyskanie tej energii
3
jest możliwe właśnie dzięki wzrostowi temperatury. W rezultacie, im wyższa temperatura, tym
bardziej swobodny staje się ruch cząsteczek, a w konsekwencji współczynnik lepkości maleje.
Wpływ temperatury na współczynnik lepkości dynamicznej opisany jest następującą zależnością :
kT
E
o
e
⋅
=
η
η
(2)
gdzie: E – energia aktywacji przepływu lepkiego, jest to energia tworzenia wnęki cząsteczkowej,
czyli miejsca w które przeskakuje dana cząsteczka opuszczając po wykonaniu pewnej
liczby drgań, swoje poprzednie położenie
k - 1.3805 10
-23
[J/K] – stała Boltzmana,
T - temperatura w skali bezwzględnej.
η
o
– stała zależna od rodzaju cieczy
Podczas ruchu z niezbyt dużymi prędkościami ciał stałych w cieczy lepkiej, gdy ciecz
opływa je w sposób laminarny, ciała te doznają działania siły oporu, która jest bezpośrednio
uwarunkowana lepkością cieczy. Warstwy cieczy przylegające do ciała są unoszone razem z nim
i dzięki tarciu wewnętrznemu pociągają za sobą kolejne warstwy położone w coraz dalszej
odległości od ciała i poruszające się z coraz mniejszą prędkością. Wprawione w ruch warstwy
cieczy działają hamująco na ciało wytwarzając wypadkową siłę oporu T zwróconą przeciwnie do
kierunku jego ruchu i proporcjonalną do prędkości ciała v, jego charakterystycznego wymiaru
liniowego l oraz współczynnika lepkości dynamicznej
η
:
lv
k
T
η
=
(3)
gdzie k jest współczynnikiem zależnym od kształtu ciała. Dla kuli współczynnik ten wynosi
6π, natomiast charakterystyczny wymiar liniowy l jest równy promieniowi kuli. Siłę oporu
lepkiego dla kuli wyraża wzór Stokesa:
rv
T
πη
6
=
(4)
Wymagania
1. Definicja lepkości cieczy i parametrów charakteryzujących lepkość. Opis mikroskopowy
zjawiska lepkości.
2. Siła tarcia wewnętrznego – wzór Newtona.
3. Zależność współczynnika lepkości dynamicznej od temperatury.
4. Siła Stokesa. Ogólne własności siły oporu lepkiego.
5. Analiza ruchu kuli w cieczy lepkiej, przed i po osiągnięciu stanu równowagi.
6. Rodzaje przepływu cieczy i ich uwarunkowania.
Opis metody pomiarowej i przyrządów
W ćwiczeniu wykorzystywane są następujące przyrządy: wiskozymetr Stokesa,
ultratermostat, termometr elektroniczny do pomiaru temperatury cieczy w wiskozymetrze, kulki
stalowe – 35 sztuk, śruba mikrometryczna do pomiaru średnicy kulek, stoper, waga laboratoryjna
i waga analityczna.
Zasadniczym elementem wiskozymetru jest pionowo ustawiona rura szklana (Rys.2) o
długości ok. 80 cm, z otwartym od góry wlotem, wypełniona wodnym roztworem gliceryny
4
(86 % gliceryny). Dwie poziome linie zaznaczone na rurze wyznaczają odcinek o długości 50
cm. Rura umieszczona jest współosiowo w szklanym cylindrze o nieco większej średnicy, który
wyposażony jest w kanały wlotu i wylotu wody dostarczanej z ultratermostatu. Woda pełni rolę
czynnika grzewczego i stabilizującego temperaturę roztworu gliceryny. Wymuszony, zamknięty
obieg wody jest możliwy dzięki pompie znajdującej się w ultratermostacie. Wewnątrz
ultratermostatu woda jest ogrzewana do wymaganej temperatury i pompowana do cylindra.
Temperaturę roztworu wskazuje termometr elektroniczny, którego końcówka jest w niej
zanurzona.
Rys.2. Wiskozymetr Stokesa
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości dynamicznego współczynnika lepkości
η
roztworu gliceryny dla siedmiu temperatur, rozpoczynając od temperatury otoczenia.
Współczynnik wyznaczany jest pośrednio, w oparciu o pomiar prędkości opadania metalowej
kulki w roztworze.
Kulka wrzucona do cieczy jest poddana działaniu trzech sił : siły ciężkości Q, siły
wyporu cieczy F
w
i siły oporu lepkiego T, którą w dalszym ciągu nazywać będziemy siłą Stokesa
(Rys.3).
Rys.3. Siły działające na kulkę opadającą w cieczy
5
Wypadkowa F tych sił nadaje opadającej kulce o masie m przyspieszenie a, którego
wartość określa druga zasada dynamiki:
T
F
Q
F
ma
w
−
−
=
=
(5)
Dwie spośród działających na kulkę sił : Q i F
w
nie zmieniają się w czasie eksperymentu, na-
tomiast siła Stokesa jest siłą zmienną, zależy bowiem wprost proporcjonalnie od prędkości v
kulki ( równanie (4)). Uwzględniając, że: T = Cv ( gdzie C=6
πη
r ) oraz a = dv/dt, możemy
napisać:
Cv
F
Q
dt
dv
m
w
−
−
=
(6)
W pierwszym etapie ruchu, gdy prędkość v kulki wzrasta, siła oporu T również rośnie. W
rezultacie, wypadkowa siła F działająca na kulkę, a w konsekwencji również jej przyspieszenie
( patrz równania (5) i (6)) systematycznie maleją. Oznacza to, że kulka porusza się ruchem
niejednostajnie zmiennym, w którym tempo narastania prędkości jest coraz mniejsze. Prędkość
zupełnie przestaje narastać wtedy gdy siła Stokesa stanie się na tyle duża, że wypadkowa siła
działająca na kulkę zmaleje do zera. Prędkość graniczna v
g
przy której osiągnięty zostaje ten
warunek dana jest równaniem:
η
π
r
F
Q
C
F
Q
v
v
Cv
F
Q
F
w
w
g
w
6
0
−
=
−
=
=
→
=
−
−
=
(7)
Rozwiązując równanie różniczkowe (6) można wykazać, że do momentu osiągnięcia warunku
równowagi, prędkość kulki opisana jest równaniem:
−
=
⋅
−
m
C
t
g
e
v
v
1
(8)
Po zrównoważeniu się sił działających na kulkę porusza się ona ruchem jednostajnym z
prędkością v
g
. Z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że taki właśnie ruch ma miejsce gdy
kulka opada pomiędzy dwoma poziomymi liniami zaznaczonymi na wiskozymetrze.
Prędkość graniczną można łatwo wyznaczyć jako stosunek długości tego odcinka, l = 0.5 m
do czasu opadania kulki między poziomymi liniami v
g
= l/t. Następnie po prostych
przekształceniach równania (7) znajdujemy współczynnik lepkości
η
:
g
w
rv
F
Q
π
η
6
−
=
(9)
Uwzględniając ponadto, że:
mg
Q
=
i
g
d
Vg
F
w
3
6
1
π
ρ
ρ
=
=
(10)
gdzie
g- przyspieszenie ziemskie a
ρ
,
V i d to odpowiednio gęstość gliceryny, objętość i średnica
kulki,
6
otrzymujemy:
l
d
gt
d
m
⋅
⋅
⋅
−
=
π
ρπ
η
3
6
1
3
(11)
A zatem, aby wyznaczyć współczynnik lepkości
η
, mierzymy czas t opadania kulki na
odcinku l, a także jej masę m i średnicę d. Ponadto, niezbędna jest znajomość gęstości
ρ
roztworu gliceryny w temperaturze w której odbywa się eksperyment.
Przebieg ćwiczenia
1. Sprawdzić czy ultratermostat napełniony jest wodą i w razie potrzeby napuścić wody do pełna.
Włączyć pompę obiegu wody ustawiając przełącznik główny na H0. Pomiary można rozpocząć
po 5 min.
2. Wykonać pomiar czasu opadania kulki między zaznaczonymi liniami wiskozymetru w
początkowej temperaturze roztworu (odległość między liniami l = 50 cm
±
0.5 cm). Temperaturę
i zmierzony czas wpisać do tabeli 1 arkusza wyników. Pomiar powtórzyć dla 4 następnych
kulek.
3. Czynności z punktu 1 powtórzyć dla temperatur 25
o
C, 30
o
C, 35
o
C, 40
o
C, 45
o
C i 50
o
C. W
każdej temperaturze należy zmierzyć czasy opadania dla 5 kulek. Wszystkie wyniki zapisać w
tabeli 1.
Grzałkę ultratermostatu włączamy ustawiając przełącznik główny w pozycji H4. Po uzyskaniu
wymaganej temperatury przełącznik ustawiamy w pozycji H0, pracuje wtedy tylko pompa
ultratermostatu. Kończąc pomiary przełącznik ustawiamy w pozycji 0.
Tab.1
Nr
pomiaru
Temperatura
[
o
C]
Temperatura
[K]
1/T
[1/K]
t
1
[s]
t
2
[s]
t
3
[s]
t
4
[s]
t
5
[s]
〈
t
〉
[s]
1
2
3
4
5
6
7
7
3. Za pomocą śruby mikrometrycznej wykonać pomiary średnicy 5 wybranych kulek. Wyniki
pomiarów wpisać do tabeli 2.
Tab.2
d
1
[10
-3
m]
d
2
[10
-3
m]
d
3
[10
-3
m]
d
4
[10
-3
m]
d
5
[10
-3
m]
〈
d
〉
[10
-3
m]
S
d
[10
-3
m]
∆
d
[10
-3
m]
4. Wyznaczyć masę wybranych 10 kulek.
a) Wstępny pomiar wykonać przy pomocy wagi szalkowej.
b) Dokładny pomiar wykonać przy pomocy wagi analitycznej dla dwóch wariantów ważenia.
W wariancie pierwszym nastawa wagi powinna nieznacznie przekraczać masę ustaloną w
pomiarze wstępnym - wynik wpisać do tabeli 3 jako masę M
1
.
W wariancie drugim nastawa wagi powinna być nieznacznie mniejsza od masy ustalonej w
pomiarze wstępnym - wynik wpisać do tabeli 3 jako masę M
2
.
Tab.3
M
1
[10
-3
kg]
M
2
[10
-3
kg]
M
[10
-3
kg]
∆
M
[10
-3
kg]
m
[10
-3
kg]
∆
m
[10
-3
kg]
Opracowanie wyników pomiarów
1. Zamienić wartości temperatur w których odbywały się pomiary na wartości w skali
bezwzględnej a następnie obliczyć ich odwrotności 1/T [1/K]. Wyniki wpisać do tabeli 1.
2. Obliczyć średnie czasy opadania kulki dla poszczególnych temperatur i wpisać do tabeli 1.
5
5
1
∑
=
=
i
i
t
t
(12)
3. Na podstawie pomiarów średnicy kulki obliczyć;
a) średnią średnicę kulki:
5
5
1
∑
=
=
i
i
d
d
(13)
b) średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru średnicy S
d
skorygowany przez współczynnik
Studenta t
α,n
dla poziomu ufności α = 0.7 i liczby pomiarów n =5:
8
(
)
n
i
i
d
t
d
d
S
,
5
1
2
1
5
α
⋅
−
−
=
∑
=
(14)
współczynnik Studenta t
α,n,
odczytać z tablic.
błąd bezwzględny pomiaru średnicy kulki :
2
2
δ
+
=
∆
d
S
d
(15)
gdzie błąd systematyczny pomiaru średnicy δ = 0.01 mm.
Wyniki wpisać do tabeli 2.
4. Obliczyć masę M 10 kulek jako średnią arytmetyczną mas M
1
i M
2.
Błąd pomiaru masy
obliczyć według zależności:
2
2
2
1
2
δ
+
−
=
∆
M
M
M
(16)
gdzie błąd systematyczny odczytu masy δ = 0.1 mg.
Obliczyć masę m jednej kulki, a jej błąd oszacować jako
∆
m =
∆
M/10. Wyniki wpisać do tabeli 3
5. Wprowadzić wyniki pomiarów i obliczeń zgromadzone w tabelach 1-3 do programu
komputerowego. Wprowadzić wartości gęstości roztworu gliceryny wykorzystując dane z tab.5
zamieszczonej na ostatniej stronie instrukcji. Gęstość w temperaturze początkowej ustalić metodą
interpolacji liniowej.
Na podstawie wprowadzonych danych, program oblicza;
a) współczynniki lepkości dynamicznej η dla wszystkich temperatur w oparciu o równanie (11),
b) błąd bezwzględny współczynników lepkości ∆η, według zależności wynikającej z metody
różniczki zupełnej:
∆
+
∆
+
−
∆
⋅
+
∆
⋅
=
∆
l
l
t
t
d
m
d
d
m
ρ
π
ρ
π
η
η
3
2
6
1
2
1
(17)
występujący w powyższej zależności błąd pomiaru czasu opadania kulki ∆t jest obliczany w
programie w taki sam sposób jak podany powyżej błąd pomiaru średnicy kulki : punkt 3a) - c) z
tym, że w podpunkcie c) – równ. (15), jako błąd systematyczny pomiaru czasu przyjęto δ = 0.2 s
( jest to przeciętny czas reakcji eksperymentatora przy włączaniu i wyłączaniu stopera)
c) wyniki obliczeń wykonanych przez program wpisać do tabeli 4.
9
Tab.4
Nr
pomiaru
T
[K]
1/T
10
-4
[K]
η
[Ns/m
2
]
∆η
[Ns/m
2
]
lnη
[ - ]
η
t
[Ns/m
2
]
1
2
3
4
5
6
7
a = .......... [ ], ∆a = ......... [ ] b = .......... .[ ], ∆b =............[ ]
E =.............. [eV], ∆E =............. [eV]
6. Po zlogarytmowaniu obu stron równania (2) określającego zależność współczynnika lepkości
od temperatury otrzymujemy :
(
)
o
T
k
E
η
η
ln
1
/
ln
+
⋅
=
(18)
Z postaci tej wynika, że pomiędzy wyznaczonymi w eksperymencie wartościami lnη oraz 1/T
jest zależność liniowa ( y = ax + b).
Program komputerowy oblicza parametry a i b prostej regresji dopasowanej metodą
najmniejszych kwadratów do danych eksperymentalnych oraz błędy
∆
a i
∆
b tych parametrów.
Porównując wyznaczone parametry a i b z odpowiednimi wyrazami równania (17) należy:
- ustalić jednostki parametrów a , b ,
∆
a ,
∆
b i wpisać je do tabeli 4 arkusza wyników,
- obliczyć energię aktywacji przepływu lepkiego E oraz błąd bezwzględny
∆
E energii aktywacji:
k
a
E
⋅
=
k
a
E
⋅
∆
=
∆
(19)
-
wyrazić E i
∆
E
w elektronowoltach [eV] i wpisać do tabeli 4.
7. W sprawozdaniu, oprócz wykonania wymienionych powyżej obliczeń i tabel należy :
a) Dla jednej wybranej temperatury przedstawić szczegółowe obliczenia ( z podstawieniem do
wzoru, rozpisaniem poszczególnych etapów i przekształceniem jednostek) wartości
współczynnika lepkości dynamicznej η i jego błędu bezwzględnego ∆η , korzystając z zależności
(11) i (17).
Błąd pomiaru czasu
∆
t
, niezbędny do obliczeń
∆
η, należy wyznaczyć w sposób opisany w
punkcie 3a) - c) z tym, że w podpunkcie c) – równanie (15), jako błąd systematyczny pomiaru
czasu należy przyjąć δ = 0.2 s ( jest to przeciętny czas reakcji eksperymentatora przy włączaniu i
wyłączaniu stopera).
b) Wykorzystując parametry a i b, wyznaczone metodą regresji liniowej oraz równanie (2),
wyznaczyć teoretyczne wartości współczynnika lepkości η
t
, odpowiadające siedmiu
temperaturom w których wykonano pomiary. Wyniki zgromadzić w tabeli 4.
c) Na podstawie danych z tabeli 4 sporządzić na papierze milimetrowym wykres zależności
η = f(T), nanosząc na każdy punkt pomiarowy odcinek błędu ∆η oraz rysując za pomocą
10
krzywika teoretyczny wykres zmian lepkości η
t
= f(T). Punkty krzywej eksperymentalnej i
teoretycznej powinny być zaznaczone innymi kolorami.
d) Na podstawie danych z tabeli 4 sporządzić na papierze milimetrowym wykres zależności
lnη
= f(T), rysując także prostą regresji, której parametry a i b zostały wyznaczone przez program.
Tab.5. Gęstość roztworu wodnego gliceryny ( 86% ) w funkcji temperatury.
Temperatura
[
o
C]
15
20
25
30
35
40
45
50
d [10
3
kg/m
3
]
1.225
1.221
1.219
1.216
1.213
1.211
1.208
1.205