1
Ć
wiczenie 5
STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA I WYZNACZANIE MODUŁU
SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ
Opracował: dr inż. Stefan Sawiak
1. Wprowadzenie
Próbę skręcania przeprowadza się na próbkach okrągłych o odpowiednio dobranych
częściach uchwytowych, które pozwalają na zamocowanie próbek w skręcarce. Próbkę
obciąża się na końcach dwoma, równoważącymi się momentami skręcającymi M
s
,
działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Zakładamy, że próbka skręca się
równomiernie, czyli kąt obrotu poprzecznego przekroju jest proporcjonalny do odległości
tego przekroju od końca części pomiarowej próbki. Powstały wtedy stan odkształcenia próbki
określa wartość jednostkowego kąta skręcenia
φ′
odniesionego do jej długości pomiarowej.
Jest on równy
0
l
ϕ
φ
=
′
(1)
gdzie:
φ′
– jednostkowy kąt skręcenia odniesiony do długości pomiarowej próbki,
ϕ
–
całkowity kąt skręcenia próbki, l
0
– długość pomiarowa próbki.
Rys. 1. Skręcanie próbki okrągłej
Powyższa równość wynika z założenia, słusznego dla materiałów jednorodnych, że
podczas odkształcenia próbki nie ulegają deformacji jej kołowe przekroje płaskie ze względu
na symetrię obrotową, a jedynie obracają się względem siebie o kąt
ϕ
. Natomiast warstwy
równoległe do osi próbki układają się wzdłuż linii śrubowej, nachylonej pod kątem
γ
do
tworzącej próbki.
Ze związku (1) wynika, że kąty odkształcenia postaciowego współosiowych warstw
walcowych w próbce są proporcjonalne do odległości
ρ
tych warstw od środka próbki, czyli
ρ
γ
γ
=
r
max
=const,
(2)
gdzie:
γ
max
– kąt odkształcenia postaciowego włókien skrajnych,
γ
– kąt odkształcenia
postaciowego włókien leżących wewnątrz próbki w odległości
ρ
od osi próbki, r – promień
r
ρ
γ
max
M
s
M
s
l
0
ϕ
γ
ρ
ρ
r
2
przekroju poprzecznego próbki,
ρ
– promień przekroju poprzecznego warstwy wewnętrznej
próbki.
Ponieważ w obszarze sprężystości obowiązuje prawo Hooke'a wyrażające się w przypadku
skręcania wzorem
γ
τ
G
=
(3)
oraz
max
max
γ
τ
G
=
(4)
przy czym: G – moduł sprężystości postaciowej materiału próbki (moduł Kirchhoffa),
τ
–
naprężenie tnące od skręcania.
Ze wzorów (2) i (3) wynika zależność
=
= C
ρ
τ
const.
(5)
Wartość stałej C we wzorze (5) można otrzymać z warunku równości momentów sił
zewnętrznych i wewnętrznych o postaci (rys. 2)
Rys. 2. Moment skręcający sił zewnętrznych i naprężenia styczne
( )
( )
O
A
A
s
J
C
dA
C
dA
M
⋅
=
=
=
∫
∫
2
ρ
ρτ
,
(6)
gdzie
( )
∫
=
A
O
dA
J
2
ρ
– biegunowy moment bezwładności przekroju.
Stąd
O
s
J
M
C
=
,
(7)
czyli równanie (5) przyjmuje postać
ρ
τ
O
s
J
M
=
.
(8)
Dla
2
d
r
=
=
ρ
otrzymuje się największe naprężenia tnące, działające na konturze
zewnętrznym próbki równe
M
s
τ
r
ρ
dA
ρ
3
O
s
O
s
W
M
d
J
M
=
=
2
max
τ
,
(9)
gdzie W
O
– biegunowy wskaźnik przekroju na skręcanie równy
2
d
J
W
O
O
=
.
(10)
Biegunowy moment bezwładności J
O
pełnego przekroju kołowego wynosi (rys. 2)
( )
4
4
4
0
2
2
1
,
0
32
2
2
d
d
r
d
dA
J
r
A
O
≅
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
∫
∫
π
π
ρ
πρ
ρ
ρ
[m
4
],
(11)
natomiast biegunowy wskaźnik przekroju na skręcanie W
O
pełnego przekroju kołowego
wynosi
3
3
2
,
0
16
d
d
W
O
≅
=
π
[m
3
].
(12)
Podstawiając (12) do (9) otrzymujemy
3
3
max
2
,
0
16
d
M
d
M
s
s
≅
=
π
τ
.
(13)
Związek między kątem skręcania
ϕ
, a kątem odkształcenia postaciowego
γ
jest
następujący (rys. 1)
0
l
r
max
⋅
=
⋅
γ
ϕ
,
(14)
czyli
G
l
W
M
l
G
l
d
O
s
max
max
0
0
0
2
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
τ
γ
ϕ
,
(15)
albo
O
s
GJ
l
M
0
=
ϕ
,
(16)
sk
ą
d
ϕ
0
l
GJ
M
O
s
=
.
(17)
Dla pełnego przekroju kołowego wzory (15) i (16) przyjmuj
ą
posta
ć
G
d
l
M
G
d
l
M
s
s
4
0
4
0
10
32
≅
=
π
ϕ
,
(18)
ϕ
ϕ
π
0
4
0
4
1
0
32
l
G
d
,
l
G
d
M
s
≅
=
.
(19)
4
2. Cel ćwiczenia
2.1. Cel ogólny
Celem ogólnym jest zapoznanie si
ę
ze sposobem przeprowadzenia tzw. statycznej próby
skr
ę
cania pr
ę
tów okr
ą
głych, sposobem prowadzenia pomiarów, zapoznanie si
ę
ze zjawiskiem
histerezy spr
ęż
ystej, nabycie umiej
ę
tno
ś
ci wyznaczania wielko
ś
ci charakterystycznych przy
skr
ę
caniu dla stali w
ę
glowej.
2.2. Cele szczególne
1. Wyznaczenie modułu spr
ęż
ysto
ś
ci postaciowej Kirchhoffa G i liczby Poissona
ν
,
2. Wykonanie dla próbki stalowej wykresów:
a. histerezy spr
ęż
ystej
τ
(
γ
) w zakresie liniowo – spr
ęż
ystym,
b. napr
ęż
enie
τ
(
γ
) – k
ą
t odkształcenia postaciowego
γ
.
3. Wyznaczenie wielko
ś
ci charakteryzuj
ą
cych stal pod wzgl
ę
dem wytrzymało
ś
ciowym
przy skr
ę
caniu (granica plastyczno
ś
ci na skr
ę
canie: R
es
i wytrzymało
ść
na skr
ę
canie
R
ms
).
3. Wykres skręcania
Do celów praktycznych wykres skr
ę
cania sporz
ą
dza si
ę
w układzie współrz
ę
dnych M
s
–
ϕ
, gdzie: M
s
– moment skr
ę
caj
ą
cy próbk
ę
,
ϕ
– k
ą
t skr
ę
cenia próbki (rys. 3)
Rys. 3. Wykres skręcania próbki stalowej o średniej zawartości węgla
3. Definicje
3.1. Granica proporcjonalności na skręcanie
O
H
Hs
W
M
R
=
[MPa = N/mm
2
],
(20)
gdzie: M
H
− najwi
ę
ksza warto
ść
momentu skr
ę
caj
ą
cego, przy którym odkształcenie materiału
pozostaje jeszcze proporcjonalne do k
ą
ta skr
ę
cenia (spełnione jest prawo Hooke’a) (rys. 3),
W
O
− wska
ź
nik przekroju na skr
ę
canie.
ϕ
M
s
M
H
M
sp
M
Rs
M
pl
5
3.2. Granica sprężystości na skręcanie
0
W
M
R
sp
sps
=
[MPa = N/mm
2
],
(21)
gdzie: M
sp
− najwi
ę
kszy moment skr
ę
caj
ą
cy, przy którym jeszcze nie pojawia si
ę
odkształcenie plastyczne (trwałe) materiału (rys. 3), W
0
− wska
ź
nik przekroju na skr
ę
canie.
3.3. Granica plastyczności na skręcanie
O
pl
es
W
M
R
=
[MPa = N/mm
2
],
(22)
gdzie: M
pl
− moment skr
ę
caj
ą
cy, kiedy nast
ę
puje jego pierwszy spadek (rys. 3), W
0
−
wska
ź
nik przekroju na skr
ę
canie.
3.4. Wytrzymałość na skręcanie
O
Rs
ms
W
M
R
=
[MPa = N/mm
2
],
(23)
gdzie: M
Rs
− najwi
ę
kszy moment skr
ę
caj
ą
cy wyst
ę
puj
ą
cy w próbce, po przekroczeniu granicy
plastyczno
ś
ci (rys. 3), W
0
− wska
ź
nik przekroju na skr
ę
canie.
Wielko
ś
ci wyst
ę
puj
ą
ce w (20)
÷ (23) s
ą
napr
ęż
eniami (umownymi), odpowiadaj
ą
cymi
charakterystycznej warto
ś
ci momentu, odniesionemu do pocz
ą
tkowego przekroju
poprzecznego próbki.
4. Obliczanie wartości charakterystycznych
4.1. Obliczanie granic wytrzymałościowych
W praktyce przeprowadza si
ę
wyznaczanie:
−
granicy proporcjonalno
ś
ci na skr
ę
canie,
−
granicy spr
ęż
ysto
ś
ci na skr
ę
canie,
−
granicy plastyczno
ś
ci na skr
ę
canie,
−
wytrzymało
ś
ci na skr
ę
canie.
Granica proporcjonalno
ś
ci jest granic
ą
stosowalno
ś
ci prawa Hooke'a. W pobli
ż
u tej
granicy le
ż
y granica spr
ęż
ysto
ś
ci, przez któr
ą
rozumiemy tak
ą
warto
ść
napr
ęż
enia tn
ą
cego, po
przekroczeniu którego pojawia si
ę
trwałe odkształcenie materiału. Przy granicy plastyczno
ś
ci
pojawiaj
ą
si
ę
wyra
ź
ne odkształcenia trwałe, które zmieniaj
ą
kierunek przebiegu krzywej
skracania. Cechy granicy plastyczno
ś
ci przy skr
ę
caniu nie wyst
ę
puj
ą
tak wyra
ź
nie jak przy
próbie rozci
ą
gania mi
ę
kkiej stali, gdy
ż
odkształcania plastyczne pojawiaj
ą
si
ę
najpierw w
zewn
ę
trznej warstwie próbki a zatem nie powstaj
ą
równocze
ś
nie w całym przekroju.
Pocz
ą
wszy od załamania, charakteryzuj
ą
cego granic
ę
plastyczno
ś
ci, krzywa skr
ę
cania
wzrasta na ogół bardzo łagodnie a
ż
do zniszczenia próbki.
6
Ms [kNm]
1,5
1,2
0,9
0,6
0,3
Obroty
bębna
0
0,25
0,5
0,75 1
Rys. 4. Wykresy skręcania dla materiałów plastycznych
Na szczególn
ą
uwag
ę
zasługuje wykres skracania dla
ż
eliwa i dla stali hartowanej.
Rys. 5. Wykresy skręcania dla: 1) żeliwa, 2) stali nawęglanej i zahartowanej
Je
ś
li granica spr
ęż
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci nie przebiega wyra
ź
nie na wykresie skracania,
to mo
ż
na j
ą
wyznaczy
ć
korzystaj
ą
c z zale
ż
no
ś
ci pomi
ę
dzy k
ą
tem odkształcenia postaciowego
γ
i wydłu
ż
eniem wzgl
ę
dne
ε
1
1
2
ε
γ
=
.
(24)
Poniewa
ż
dla oznaczenia umownej granicy plastyczno
ś
ci przy rozci
ą
ganiu przyjmuje si
ę
ε
= 0,2%, a zatem dla umownej granicy plastyczno
ś
ci na skracanie
γ
= 0,4%, st
ą
d
odpowiednikiem R
0,2
b
ę
dzie R
es
0,4
przy skr
ę
caniu. Wszystkie wska
ź
niki przy oznaczeniach
wa
ż
nych dla rozci
ą
gania nale
ż
y wi
ę
c pomno
ż
y
ć
przez 2, czyli
r
l
r
l
0
1
0
2
ε
γ
ϕ
=
⋅
=
.
(25)
Otrzymamy wtedy wielko
ść
dopuszczalnego k
ą
ta skr
ę
cania wyra
ż
onego w radianach.
Wielko
ść
k
ą
ta
ϕ
, odpowiadaj
ą
cego umownej warto
ś
ci
γ
, odmierzamy na wykresie podobnie
jak przy próbie rozci
ą
gania. Wyznaczona w ten sposób warto
ść
momentu M
0,4
, posłu
ż
y do
umownego obliczenia R
es
0,4
.
M
om
en
t s
kr
ę
ca
ją
cy
M
s
Jednostkowy kąt skręcenia φ′
1
2
7
Wykre
ś
ln
ą
metod
ą
wyznaczania przybli
ż
onej warto
ś
ci umownej granicy plastyczno
ś
ci
R
es
0,4
przedstawiono na rys. 7.
Rys. 6. Wykreślna metoda wyznaczania przybliżonej wartości umownej granicy plastyczności R
es0,4
4.2. Obliczanie modułu sprężystości postaciowej G
Moduł spr
ęż
ysto
ś
ci postaciowej (moduł Kirchhoffa) G w zakresie odkształce
ń
spr
ęż
ystych i proporcjonalnych przy skr
ę
caniu definiuje si
ę
moduł jako stosunek napr
ęż
enia
stycznego
τ
przy jednoosiowym stanie napr
ęż
enia do odpowiadaj
ą
cego mu odkształcenia
postaciowego wzgl
ę
dnego
γ
(rys. 7):
γ
τ
=
G
.
(26)
Rys. 7. Zależność
τ
= f(
γ
)
w przypadku odkształceń sprężystych i proporcjonalnych
Graficzna interpretacja modułu G: jest to współczynnik kierunkowy prostoliniowego
odcinka wykresu rozci
ą
gania
τ
= f(
γ
) i jest równy co do warto
ś
ci liczbowej tangensowi k
ą
ta
α
nachylenia prostoliniowej cz
ęś
ci wykresu skr
ę
cania.
Uwaga 1
: W przypadku odkształce
ń
spr
ęż
ystych i nie proporcjonalnych, kiedy wykres
skr
ę
cania nie wykazuje odcinka o przebiegu prostoliniowym (jak w przypadku
ż
eliwa lub
stali spr
ęż
ynowej), oblicza si
ę
moduł spr
ęż
ysto
ś
ci styczny lub sieczny.
γ
τ
O
α
γ
1
τ
1
M
om
en
t s
kr
ę
ca
ją
cy
M
s
Jednostkowy kąt skręcenia φ′
M
0,4
φ′ = 0,004
8
Rys. 8. Moduł styczny G
t
i moduł sieczny G
s
Moduł styczny G
t
definiuje si
ę
jako
γ
τ
d
d
G
t
=
.
(27)
G
t
jest równy tangensowi k
ą
ta nachylenia stycznej do krzywej skr
ę
cania w okre
ś
lonym
punkcie (rys. 8, graficzna interpretacja modułu G
t
).
Moduł sieczny G
s
definiuje si
ę
jako
γ
τ
∆
∆
=
s
G
.
(28)
Jest on równy tangensowi k
ą
ta nachylenia siecznej krzywej skr
ę
cania poprowadzonej przez 2
punkty wykresu (rys. 8). Moduły G
t
i G
s
wyznacza si
ę
w zakresie obci
ąż
e
ń
odpowiadaj
ą
cych
napr
ęż
eniom w przedziale 10%
÷ 90% umownej granicy spr
ęż
ysto
ś
ci.
Uwaga 2
: W niektórych zagadnieniach analitycznych wytrzymało
ś
ci materiałów stosuje
si
ę
poj
ę
cia: modułu stycznego lub siecznego – w odniesieniu do zakresu odkształce
ń
poza
zakresem spr
ęż
ysto
ś
ci – wówczas definicje i graficzne interpretacje modułów s
ą
analogiczne
jak podano wy
ż
ej.
4.3. Obliczanie momentu skręcającego w obszarze plastycznym
Po przekroczeniu obszaru proporcjonalno
ś
ci przestaje obowi
ą
zywa
ć
prawo Hooke'a.
Wraz z osi
ą
gni
ę
ciem stanu plastyczno
ś
ci pojawia si
ę
inny rozkład napr
ęż
e
ń
ni
ż
w stanie
spr
ęż
ystym. Nakładanie si
ę
odkształce
ń
plastycznych na spr
ęż
yste wywołuje napr
ęż
enia
wst
ę
pne zniekształcaj
ą
c prawdziwy obraz przej
ś
cia materiału ze stanu spr
ęż
ystego do
plastycznego. Dla próbki o przekroju kołowym obliczenie wielko
ś
ci napr
ęż
enia tn
ą
cego, przy
której zewn
ę
trzna warstewka próbki osi
ą
ga granic
ę
plastyczno
ś
ci, nie nastr
ę
cza trudno
ś
ci.
Pocz
ą
wszy bowiem od momentu M
pl
, nie zmieniaj
ą
swej wielko
ś
ci napr
ęż
enia
τ
max
ze
zwi
ę
kszeniem si
ę
warto
ś
ci M, je
ż
eli pomin
ąć
na ogół niezbyt silne umocnienie zaznaczaj
ą
ce
si
ę
podczas skr
ę
cania metali plastycznych. Wykres napr
ęż
e
ń
stycznych z trójk
ą
tnego
przechodzi na trapezowy, a
ż
eby ostatecznie zamieni
ć
si
ę
na prostok
ą
tny (rys. 10).
W przypadku całkowitego uplastycznienia przekroju warto
ść
momentu M
pl
mo
ż
na
otrzyma
ć
z warunku równo
ś
ci momentów sił zewn
ę
trznych i wewn
ę
trznych o postaci (rys. 9)
γ
O
∆
γ
A
B
G
t
G
s
∆
τ
τ
α
9
Rys. 9. Rozkład naprężeń tnących w obszarze plastycznym
( )
3
2
2
3
0
pl
r
pl
A
pl
pl
r
d
dA
M
τ
π
ρ
πρ
τ
ρ
τ
ρ
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∫
∫
,
czyli
12
2
3
3
3
d
M
r
M
pl
pl
pl
π
π
τ
=
=
.
(29)
Rys. 10. Schemat naprężeń stycznych w poprzecznym przekroju skręconej próbki (dla materiału doskonale
jednorodnego i przy pominięciu umocnienia): a) w obszarze czysto sprężystym, b) w obszarze odkształceń
sprężysto
−plastycznym, c) w obszarze odkształceń czysto plastycznych (przegub plastyczny)
W przypadku uplastycznienia si
ę
tylko warstwy zewn
ę
trznej przekroju warto
ść
momentu M
pl
jest równa (rys. 10)
( )
16
2
2
3
3
0
2
pl
pl
r
pl
A
pl
pl
d
r
d
r
dA
r
M
τ
π
τ
π
ρ
πρ
τ
ρ
ρ
τ
ρ
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∫
∫
.
(30)
Dla tych obu warto
ś
ci momentu skr
ę
caj
ą
cego okre
ś
la si
ę
dwie granice plastyczno
ś
ci materiału
na skr
ę
canie: teoretyczn
ą
i rzeczywist
ą
.
5. Próbki do próby skręcania
Do próby skr
ę
cania u
ż
ywa si
ę
próbek o długo
ś
ci pomiarowej (5
÷ 20)d
0
. Najcz
ęś
ciej
przyjmuje si
ę
L
0
= 10d
0
. Kształt próbki do prób skr
ę
cania przedstawiono na rys. 11.
M
pl
τ
pl
r
ρ
dρ
a)
τ
b)
τ
pl
c)
τ
pl
10
Rys. 11. Próbka do prób skręcania prętów okrągłych
6. Przeprowadzenie próby
Ć
wiczenie wykonywane jest na dwóch stanowiskach:
− stanowisko, na którym k
ą
t skr
ę
cania w danym przekroju próbki mierzymy za pomoc
ą
aparatu Martensa,
− maszyna do skr
ę
cania zwana skr
ę
cark
ą
.
6.1. Pomiar kąta skręcenia za pomocą aparatu Martensa
K
ą
t skr
ę
cania w danym przekroju próbki obliczamy za pomoc
ą
aparatu Martensa w
sposób nast
ę
puj
ą
cy (rys. 12):
ϕ
ϕ
2
2
≅
= tg
L
S
,
(31)
gdzie
S
= S
2
– S
1
.
(32)
St
ą
d
L
S
2
≅
ϕ
,
(33)
gdzie: S
1
, S
2
− warto
ść
odczytów na skalach 1 i 2 aparatu Martensa w [mm] z dokładno
ś
ci
ą
do
0,1 mm, L
− odległo
ść
skali od lusterka równa 1 m.
Podczas próby stosuje si
ę
próbk
ę
o
ś
rednicy d = 10 mm, natomiast promie
ń
R tarczy, na
której zawieszamy ci
ęż
arki jest równy R = 152 mm.
K
ą
t skr
ę
cenia próbki jest równy (rys. 13)
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
[rad].
(34)
R
LUSTERKA
F
l
0
CIĘŻARKI
F
1
2
Rys. 12. Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia
a
d
0
l
0
= (5÷20)d
0
a
φ
1
φ
2
d
11
PRÓBKA
0
l
SKALA
LUNETA
S
2
LUSTERKO
S
S
1
2
Rys. 13. Schemat aparatu Martensa do pomiaru kąta skręcenia
6.2. Wykonanie statycznej próby skręcania na skręcarce
Skr
ę
carka składa si
ę
z nast
ę
puj
ą
cych zespołów: urz
ą
dzenia nap
ę
dowego 1 z przekładni
ą
o nap
ę
dzie r
ę
cznym lub mechanicznym, uchwytów do próbek 3, 4, siłomierza 8 mierz
ą
cego
warto
ść
momentu skr
ę
caj
ą
cego i samoczynnego zapisu wykresu.
Pokazana na rys. 14 skr
ę
carka wyposa
ż
ona jest w przekładni
ę
ś
limakow
ą
1 o nap
ę
dzie
r
ę
cznym lub mechanicznym z odpowiednio dobranym przeło
ż
eniem.
4
2 3
9
1
7
8
5
6
A
A
A-A
Rys. 14. Schemat skręcarki
Próbk
ę
2 o odpowiednich ko
ń
cówkach umieszcza si
ę
w uchwytach: nap
ę
dowym 3 i
pomiarowym 4, z którym poł
ą
czona jest d
ź
wignia 5. Na d
ź
wigni tej osadza si
ę
wymienne
obci
ąż
niki 6, odpowiednio do obranego i przewidzianego dla danej maszyny zakresu
momentu skracaj
ą
cego. Wychylenie d
ź
wigni ci
ęż
arowej podczas obci
ąż
enia próbki z
poło
ż
enia pionowego wykorzystuje si
ę
do pomiaru warto
ś
ci momentu skracaj
ą
cego. Obrót
d
ź
wigni poprzez z
ę
batk
ę
7 powoduje obrót wskazówki siłomierza 8, wyskalowanej w
L
PRÓBKA
S
φ
1
φ
2
12
jednostkach momentu skr
ę
caj
ą
cego. Wykres skr
ę
cania wykre
ś
lany jest na b
ę
bnie przez rysik
sprz
ęż
ony ze wskazówk
ą
siłomierza. Nap
ę
d b
ę
bna uzyskuje si
ę
za pomoc
ą
linki poł
ą
czonej z
uchwytem 3 i 4.
7. Obliczenia
7.1. Moduł sprężystości postaciowej G
−
−
−
−
materiał o charakterystyce liniowo
−
−
−
−
sprężystej
Moduł spr
ęż
ysto
ś
ci postaciowej (moduł Kirchhoffa) G obliczamy jako (rys. 8)
γ
τ
∆
∆
=
G
,
(35)
gdzie:
O
s
W
M
∆
=
∆
τ
,
(36)
ϕ
γ
∆
≅
∆
0
l
r
.
(37)
Po podstawieniu (36) i (37) do (35) otrzymujemy
(
)
0
0
,
J
l
M
M
G
s
s
ϕ
ϕ
∆
∆
≅
∆
∆
.
(38)
Korzystamy ze zbioru punktów w układzie
τ
(
γ
) (napr
ęż
enie
−
−
−
− odkształcenie postaciowe
wzgl
ę
dne całkowite).
Po naniesieniu punktów w układzie współrz
ę
dnych ustalamy zbiór punktów znajduj
ą
cych
si
ę
w zakresie liniowo –spr
ęż
ystym charakterystyki materiału; pomijamy ostatni punkt z tego
zakresu. W przypadku, kiedy punkty uło
ż
one s
ą
na linii prostej, moduł G obliczamy
1
2
1
2
γ
γ
τ
τ
γ
τ
−
−
=
∆
∆
=
G
,
(39)
gdzie odległo
ść
punktów 2 i 1jest mo
ż
liwie du
ż
a. Natomiast kiedy wyniki pomiarów s
ą
obarczone wi
ę
kszymi bł
ę
dami i wyst
ę
puj
ą
odchylenia punktów od zakładanej linii prostej,
mo
ż
na otrzyma
ć
wynik w pewnym stopniu niezale
ż
ny od bł
ę
dów, przyjmuj
ą
c (rys. 15):
1. punkty pomiarowe z zakresu 10
÷ 90% przedziału liniowego;
2. z pomini
ę
ciem punktów znacznie odległych od zakładanej linii prostej.
Wówczas
−
−
−
−
dla n + 1 uwzgl
ę
dnianych punktów – moduł G mo
ż
na obliczy
ć
jako:
∑
=
−
−
−
−
=
n
i
i
i
i
i
n
G
1
1
1
1
γ
γ
τ
τ
.
(40)
7.2. Współczynnik Poissona
ν
ν
ν
ν
Obowi
ą
zuje zale
ż
no
ść
[9, 10]
(
)
ν
+
=
1
2
E
G
,
(41)
po przekształceniu której, otrzymujemy zale
ż
no
ść
, z której mo
ż
na obliczy
ć
Współczynnik
Poissona
ν
13
1
2
−
=
G
E
ν
.
(42)
Rys. 15. Obliczanie modułu G – odchylenia punktów od linii prostej (n = 5)
8. Wykonanie sprawozdania
W sprawozdaniu nale
ż
y umie
ś
ci
ć
:
1. tytuł i cele
ć
wiczenia,
2. definicje: modułu spr
ęż
ysto
ś
ci oraz umownych granic spr
ęż
ysto
ś
ci i plastyczno
ś
ci,
3. schemat aparatu Martensa do pomiaru k
ą
ta skr
ę
cania – rysunek z obja
ś
nieniami cz
ęś
ci
składowych,
4. poda
ć
definicj
ę
modułu G oraz sposób jego obliczenia,
5. poda
ć
zale
ż
no
ść
mi
ę
dzy modułem G i E oraz
ν
.
6. sposób obliczenia liczby Poissona
ν
,
7. poda
ć
zestawienie wyników bada
ń
i wielko
ś
ci obliczanych w tabeli pomiarowej 1; pod
tabel
ą
pomiarow
ą
1 poda
ć
przykład obliczenia warto
ś
ci z jednego wiersza,
8. narysowa
ć
wykresy:
τ
(
τ
) – ¼ p
ę
tli histerezy spr
ęż
ystej,
9. narysowa
ć
wykres
τ
= f(
γ) przy obci
ąż
eniu stale rosn
ą
cym i stale malej
ą
cym,
10. wykona
ć
obliczenie wielko
ś
ci charakterystycznych, stanowi
ą
cych cel
ć
wiczenia; zapisa
ć
wyniki w sprawozdaniu,
11. zamie
ś
ci
ć
wykres skr
ę
cania próbki uzyskany na skr
ę
carce.
γ
τ
i=1
punkt pominięty
0,9τ
H
0,1τ
H
τ
i
τ
0
γ
γ
i
i=2
i=3
i=4
i=5
14
Tabela pomiarowa 1
. Wykres
τ = f(γ)
Lp
F
M
s
S
1
S
2
ϕ
γ
τ
−
[N]
[Nm]
[mm]
[mm]
[rad
⋅10
3
]
[rad
⋅10
3
]
[MPa]
1
0
2
10
3
20
…
…
12
100
13
110
14
100
…
…
27
20
28
10
27
0
Literatura
[1] Bachmacz W.: Wytrzymało
ść
materiałów. Badania do
ś
wiadczalne. Skrypt Politechniki Cz
ę
stochowskiej,
Cz
ę
stochowa 1973.
[2] Banasik M.:
Ć
wiczenia laboratoryjne z wytrzymało
ś
ci materiałów. PWN, Warszawa 1977.
[3] Boruszak A., Sykulski R., Wrze
ś
niowski K.: Wytrzymało
ść
materiałów. Do
ś
wiadczalne metody bada
ń
.
Wydawnictwo Politechniki Pozna
ń
skiej, Pozna
ń
1977.
[4] Dyl
ą
g Z., Orło
ś
Z.: Wytrzymało
ść
zm
ę
czeniowa materiałów. Warszawa. WNT 1962.
[5] Jastrz
ę
bski P., Mutermilch J., Orło
ś
W.: Wytrzymało
ść
materiałów. Warszawa. Arkady 1985.
[6] Katarzy
ń
ski S., Koca
ń
da S., Zakrzewski M.: Badania wła
ś
ciwo
ś
ci mechanicznych metali. WNT, Warszawa
1967.
[7] Ł
ą
czkowski R.: Wytrzymało
ść
materiałów. Gda
ń
sk. WPG 1988.
[8] Mazurkiewicz S.: Laboratorium z wytrzymało
ś
ci materiałów. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej,
Kraków 1978.
[9] Niezgodzi
ń
ski M.E., Niezgodzi
ń
ski T.: Wzory wykresy i tablice wytrzymało
ś
ciowe. Warszawa. WNT
1996.
[10] Orło
ś
Z.: Do
ś
wiadczalna analiza odkształce
ń
i napr
ęż
e
ń
. PWN, Warszawa 1977.
[11] Walczyk Z.: Wytrzymało
ść
materiałów. Gda
ń
sk. WPG 1998.