Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego
1
Teoria ruchu
telekomunikacyjnego
Podstawy rachunku
prawdopodobieństwa
2
Ruch telekomunikacyjny
- definicja (2)
Ruch telekomunikacyjny jest to zjawisko o
charakterze zbiorowym, daj
ą
ce si
ę
mierzy
ć
za
pomoc
ą
obserwacji statystycznych
i polegaj
ą
ce na zestawianiu poł
ą
cze
ń
,
przep
ł
ywie zg
ł
osze
ń
i wiadomo
ś
ci.
Zamiast poj
ę
cia ruch telekomunikacyjny
u
Ŝ
ywa si
ę
niekiedy wyra
Ŝ
enia „teletrafik” (ang.
teletraffic).
3
Rachunek prawdopodobie
ń
stwa
- poj
ę
cia i definicje
Zdarzenie – wynik dowolnego do
ś
wiadczenia
(eksperymentu) przebiegaj
ą
cego w
okre
ś
lonych warunkach
Do
ś
wiadczenie (w sensie teorii
prawdopodobie
ń
stwa) to proces, w wyniku
którego realizowane s
ą
w rzeczywisto
ś
ci
zdarzenia elementarne.
4
Rachunek prawdopodobie
ń
stwa
- poj
ę
cia i definicje
Dany jest zbiór
Ω
, którego elementy e
i
nazywane s
ą
zdarzeniami elementarnymi.
Niech zjawisko (zdarzenie) X stanowi
podzbiór zbioru
Ω
.
Mówimy,
Ŝ
e zjawisko (zdarzenie) X jest
realizowalne, je
ś
li dla zdarzenia
elementarnego e
r
, b
ę
d
ą
cego wynikiem
do
ś
wiadczenia, zachodzi relacja:
e
r
∈
X.
5
Rachunek prawdopodobie
ń
stwa
- poj
ę
cia i definicje
Ka
Ŝ
demu zdarzeniu X przyporz
ą
dkowujemy
liczb
ę
rzeczywist
ą
p(X) zwan
ą
prawdopodobie
ń
stwem zdarzenia X.
6
Definicja prawdopodobie
ń
stwa
(na gruncie eksperymentalnym)
Je
Ŝ
eli podczas N do
ś
wiadcze
ń
n(X) razy
zaszło zdarzenie X, to
nazywamy cz
ę
sto
ś
ci
ą
zdarzenia A.
Natomiast prawdopodobie
ń
stwo zaistnienia
zdarzenia X wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
N
X
n
)
(
N
X
n
)
(
N
X
n
X
p
N
)
(
lim
)
(
∞
→
=
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego
2
7
Aksjomaty prawdopodobie
ń
stwa
zdarzenia X
1. p(X)
≥
0
2. p(
Ω
) = 1
Je
Ŝ
eli X
∩
Y =
∅
(zbiór pusty),
to mówimy,
Ŝ
e zdarzenia X i Y s
ą
rozł
ą
czne,
a wtedy:
3. p(X
∪
Y) = p(X) + p(Y)
8
Własno
ś
ci prawdopodobie
ń
stwa
zdarzenia X (1)
1. Je
Ŝ
eli X` jest dopełnieniem do X w
Ω
(zdarzenie X` jest zdarzeniem przeciwnym
do zdarzenia X), to
X
∩
X’ =
∅
, X
∪
X` =
Ω
oraz
p(X) + p(X`) = p(
Ω
)
p(X`) = 1 - p(X)
9
Własno
ś
ci prawdopodobie
ń
stwa
zdarzenia X (2)
2. Z równo
ś
ci p(X) + p(X`) = 1 i aksjomatu
p(X)
≥
0 wynika,
Ŝ
e:
0
≤
p(X)
≤
1
st
ą
d
prawdopodobie
ń
stwo mo
Ŝ
e by
ć
zdefiniowane
jako odwzorowanie cz
ęś
ci zbioru
Ω
w zbiór liczb rzeczywistych [0, 1].
10
Własno
ś
ci prawdopodobie
ń
stwa
zdarzenia X (3)
3. Je
Ŝ
eli
∅
oznacza zbiór pusty (
Ω ∪ ∅
=
Ω
),
to
p(
Ω ∪ ∅
) = p(
∅
) + p(
Ω
) = 1
wi
ę
c
p(
∅
) = 0 (prawd. zdarzenia niemo
Ŝ
liwego),
p(
Ω
) = 1 (aksjomat 1., prawd. zdarzenia
pewnego).
11
Prawdopodobie
ń
stwo warunkowe
Dany jest zbiór
Ω
, na którym zdefiniowano
prawdopodobie
ń
stwo, natomiast zdarzenia A i B
nale
Ŝą
do tego zbioru oraz
p(B)
>
0.
Prawdopodobie
ń
stwem zaistnienia zdarzenia A
pod warunkiem,
Ŝ
e miało miejsce zdarzenie B,
nazywamy liczb
ę
)
(
)
(
)
|
(
B
p
B
A
p
B
A
p
∩
=
12
Prawdopodobie
ń
stwo całkowite
Je
Ŝ
eli A
⊂ Ω
jest dowolnym zdarzeniem,
natomiast B
1
, B
2
, B
3
, ..., B
n
⊂ Ω
spełniaj
ą
warunki:
1. B
1
∪
B
2
∪
B
3
∪
...
∪
B
n
=
Ω
2. wykluczaj
ą
si
ę
parami B
1
∩
B
2
=
∅
3. maj
ą
dodatnie prawdopodobie
ń
stwa, to
P(A) = P(A|B
1
)*P(B
1
) + P(A|B
1
)*P(B
2
) + ... + P(A|B
n
)*P(B
n
)
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego
3
13
Własno
ś
ci prawdopodobie
ń
stwa –
rozł
ą
czno
ść
a niezale
Ŝ
no
ść
Rozł
ą
czno
ść
nie dotyczy prawdopodobie
ń
stw:
zdarzenia A i B s
ą
rozł
ą
czne, gdy A
∩
B =
∅
.
Wtedy prawdopodobie
ń
stwo sumy zdarze
ń
A i
B jest równe sumie ich prawdopodobie
ń
stw.
P(A
∪
B) = P(A)+P(B)
Gdy zdarzenia s
ą
niezale
Ŝ
ne, to
prawdopodobie
ń
stwo ich cz
ęś
ci wspólnej jest
iloczynem ich prawdopodobie
ń
stw.
P(A
∩
B) = P(A)
⋅
P(B)
14
Poj
ę
cie zmiennej losowej
Zmienna losowa – zmienna, która w wyniku
do
ś
wiadczenia mo
Ŝ
e przyj
ąć
jedn
ą
z warto
ś
ci
z pewnego zbioru liczb rzeczywistych
(z okre
ś
lonym prawdopodobie
ń
stwem)
Przykłady zmiennych losowych:
• liczba uszkodzonych podzespołów urz
ą
dzenia, które ulega
awariom
• liczba obsługiwanych klientów przy kasie supermarketu
• liczba wyprodukowanych przedmiotów na danym
stanowisku pracy w pewnym przedziale czasu
15
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta
F(x) = P(X < x)
gdzie
X – zmienna losowa
x – liczba rzeczywista
16
Warto
ść
oczekiwana zmiennej losowej
Je
Ŝ
eli zmienna losowa
X:
Ω
→
R,
której dystrybuant
ą
jest funkcja
F: R
→
[0, 1],
to warto
ś
ci
ą
oczekiwan
ą
zm. los. jest liczba
( )
∫
=
R
x
dF
x
EX
17
Momenty zmiennej losowej (1)
Momenty zmiennej losowej – grupa parametrów, okre
ś
lona
wyra
Ŝ
eniem
E(X - c)
k
gdzie
c – ustalona liczba rzeczywista
k – liczba naturalna
E – operator warto
ś
ci oczekiwanej
E(X-c)
k
– moment k-tego rz
ę
du zmiennej losowej X
wzgl
ę
dem punktu c
18
Momenty zmiennej losowej (2)
E(X - c)
k
gdy c = 0, to
momenty nazywamy zwykłymi (lub krótko: momentami)
i oznaczamy przez
m
k
= E(X
k
)
gdy c = EX, to
momenty nazywamy centralnymi i oznaczamy przez
µµµµ
k
= E(X - EX)
k
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego
4
19
Momenty zmiennej losowej (3)
Wariancja
Var X =
µµµµ
2
= E[X – E(X)]
2
Odchylenie standardowe
σσσσ
X
=
√√√√
Var X =
√√√√ µµµµ
2
20
Schemat Bernoulliego (1)
Ci
ą
g powtórze
ń
tego samego do
ś
wiadczenia
nazywamy schematem Bernoulliego, a
poszczególne do
ś
wiadczenia próbami
Bernoulliego.
Zaistnienie pewnego, interesuj
ą
cego nas,
zdarzenia nazywamy sukcesem, natomiast
zaistnienie zdarzenia przeciwnego - pora
Ŝ
k
ą
.
21
Schemat Bernoulliego (2)
Prawdopodobie
ń
stwo p
N
(k) otrzymania
dokładnie k sukcesów, przy N powtórzeniach
do
ś
wiadczenia, wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
gdzie q=1-p i oznacza prawdopodobie
ń
stwo
pora
Ŝ
ki
q
p
p
k
N
k
N
k
N
k
−
=
)
(
22
Schemat Bernoulliego (3)
Symbol Newtona, w schemacie Bernoulliego,
okre
ś
la si
ę
nast
ę
puj
ą
co:
)!
(
!
!
k
N
k
N
k
N
−
=
23
Wa
Ŝ
niejsze typy rozkładów
-rozkład binominalny (dwumianowy) (1)
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy,
czyli rozkład Bernoulliego, gdy funkcja
prawdopodobie
ń
stwa ma posta
ć
:
gdzie N jest liczb
ą
naturaln
ą
, a 0 < p < 1
q
p
x
P
x
N
x
x
N
−
=
)
(
24
Wa
Ŝ
niejsze typy rozkładów
-rozkład binominalny (dwumianowy) (2)
Najprostsz
ą
interpretacj
ą
zm. los. o rozkładzie
dwumianowym jest liczba wyst
ą
pie
ń
okre
ś
lonego zdarz. w serii do
ś
wiadcze
ń
przebiegaj
ą
cych zgodnie ze schematem
Bernoulliego.
Przykłady zastosowa
ń
:
- liczba uszkodze
ń
parku maszynowego w
okre
ś
lonym przedziale czasu, pod warunkiem,
Ŝ
e
uszkodzenia s
ą
wzajemnie niezale
Ŝ
ne
- liczba sztuk wybrakowanych w próbie
wylosowanych w losowaniu niezale
Ŝ
nym (ze
zwracaniem).
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego
5
25
Wa
Ŝ
niejsze typy rozkładów
- rozkład Poissona
Rozpatrujemy zm. los. dyskretn
ą
X, o
warto
ś
ciach całkowitych nieujemnych:
0,1,2,.....,k,...,
Prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e ta zm. los. przyjmie
warto
ść
k, wynosi:
gdzie a jest parametrem rozkładu Poissona.
e
a
a
k
k
k
p
−
=
!
)
(
26
Wa
Ŝ
niejsze typy rozkładów
- rozkład wykładniczy (1)
Dystrybuanta rozkładu wykładniczego:
g
ę
sto
ść
prawdopodobie
ń
stwa:
gdzie t
≥
0.
e
t
f
t
λ
λ
−
=
)
(
e
t
F
t
λ
−
−
=
1
)
(
27
Wa
Ŝ
niejsze typy rozkładów
- rozkład wykładniczy (2)
Warto
ść
ś
rednia rozkładu wykładniczego:
( )
=
+
−
=
=
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
0
0
0
dt
t
dt
te
t
E
e
e
t
t
t
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
2
0
2
=
=
−
=
∞
−
e
t
28
Wa
Ŝ
niejsze typy rozkładów
- rozkład wykładniczy (3)
Wariancja rozkładu wykładniczego:
odchylenie standardowe:
2
1
)
(
λ
=
t
Var
λ
σ
1
)
(
=
=
t
Var