EGZAMIN z ALGEBRY
6 lutego 2014
Imię i nazwisko
grupa
(dużymi literami)
Zad 1
Zad 2
Zad 3
Zad 4
Zad 5
Zad 6
∑ z egz
Ćwicz
Razem
Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1.
V i W są przestrzeniami liniowymi, a
W
V
F
→
:
jest odwzorowaniem liniowym.
a)
Podać definicję jądra
F
Ker
i uzasadnić, że jest podprzestrzenią liniową.
b)
Wykazać, że jeśli
1
)
dim(
=
F
Ker
, to odwzorowanie F nie jest różnowartościowe.
c)
Podaj jądro odwzorowania
3
3
:
R
R
F
→
będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę
0
2
3
=
+
−
z
y
x
.
2.
Dane jest przekształcenie liniowe
3
3
:
R
R
F
→
takie, że
(
)
(
) (
)
1
,
1
,
1
3
,
1
,
1
=
−
F
,
(
)
(
) (
)
0
,
1
,
1
2
,
4
,
2
−
=
−
−
F
,
(
)
(
) (
)
1
,
1
,
0
1
,
1
,
1
=
−
F
. Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie
standardowej. Napisać jego „wzór”. Czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładowe bazy jądra
F
Ker
oraz obrazu Im F.
3.
Znaleźć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni
3
R
, aby zidentyfikować
powierzchnię o równaniu
12
2
6
2
2
2
2
=
−
+
+
−
yz
xy
z
y
x
. Napisać równanie tej powierzchni
w przekształconym układzie współrzędnych
)
~
,
~
,
~
(
z
y
x
.
4.
Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania
0
1
4
8
=
+
+
z
z
spełniające
nierówność
i
z
i
−
≤
−
3
2
3
4
.
5.
Dane są punkty
(
)
4
,
2
,
1
A
,
(
)
2
,
4
,
3
B
,
(
)
1
,
2
,
0
C
. Znaleźć płaszczyznę, na której leży trójkąt ABC
oraz postać parametryczną symetralnej boku AB tego trójkąta.
6.
Czy wektor
)
1
,
1
,
1
(
−
=
u
r
należy do podprzestrzeni
)
,
,
,
,
(
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
Lin
r
r
r
r
r
dla
)
2
,
1
,
1
(
1
−
=
v
r
,
)
1
,
4
,
3
(
2
=
v
r
,
)
5
,
2
,
5
(
3
=
v
r
,
)
4
,
7
,
7
(
4
=
v
r
,
)
3
,
3
,
4
(
5
=
v
r
?
Dla jakiego
R
k
∈
wektor
)
,
6
,
1
(
k
w
=
r
jest kombinacja liniową wektorów
5
4
3
2
1
,
,
,
,
v
v
v
v
v
r
r
r
r
r
?
Podać dwie różne bazy przestrzeni
)
,
,
,
,
(
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
Lin
r
r
r
r
r
.
EGZAMIN z ALGEBRY
6 lutego 2014
Imię i nazwisko
grupa
(dużymi literami)
Zad 1
Zad 2
Zad 3
Zad 4
Zad 5
Zad 6
∑ z egz
Ćwicz
Razem
Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1.
V i W są przestrzeniami liniowymi, a
W
V
F
→
:
jest odwzorowaniem liniowym.
a)
Podać definicję obrazu
F
Im
i podać związek między (wymiarami)
F
Ker
i
F
Im
gdy
przestrzenie
V i W są skończenie wymiarowe.
b)
Wykazać, że jeśli
n
V
=
dim
i
1
)
dim(
−
=
n
F
Im
, to odwzorowanie F nie jest
różnowartościowe.
c)
Podaj obraz odwzorowania
3
3
:
R
R
F
→
będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę H
jeśli kierunek rzutu jest równoległy do prostej
t
z
t
y
t
x
l
5
,
3
,
2
:
=
−
=
=
.
2.
Dane jest przekształcenie liniowe F takie, że
(
)
(
) (
)
1
,
0
,
1
0
,
2
,
1
−
=
−
F
,
(
)
(
) (
)
3
,
1
,
1
1
,
1
,
0
−
=
−
F
,
(
)
(
) (
)
1
,
1
,
2
2
,
2
,
3
−
=
−
F
. Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie standardowej. Napisać
jego „wzór”. Sprawdzić czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładową bazy jądra (
F
Ker
) i obrazu (Im F) tego odwzorowania.
3.
Znaleźć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni
3
R
, aby zidentyfikować
powierzchnię o równaniu
6
8
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
−
−
yz
xz
xy
z
y
x
. Napisać równanie tej powierzchni
w przekształconym układzie współrzędnych
)
~
,
~
,
~
(
z
y
x
.
4.
Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania
0
1
4
8
=
+
+
z
z
spełniające
nierówność
3
3
2
4
+
≤
+
i
z
i
.
5.
Dane są punkty
(
)
1
,
2
,
0
A
,
(
)
1
,
2
,
3
−
B
,
(
)
5
,
6
,
2
C
. Znaleźć płaszczyznę, na której leży trójkąt
ABC oraz postać kierunkową symetralnej boku AC tego trójkąta.
6.
Czy wektor
)
1
,
0
,
3
(
=
u
r
należy do podprzestrzeni
)
,
,
,
,
(
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
Lin
r
r
r
r
r
dla
)
1
,
2
,
1
(
1
=
v
r
,
)
2
,
4
,
2
(
2
=
v
r
,
)
1
,
2
,
5
(
3
−
=
v
r
,
)
3
,
8
,
1
(
4
=
v
r
,
)
2
,
2
,
4
(
5
=
v
r
?
Dla jakiego
R
k
∈
wektor
)
,
6
,
3
(
k
w
−
=
r
jest kombinacja liniową wektorów
5
4
3
2
1
,
,
,
,
v
v
v
v
v
r
r
r
r
r
?
Podać dwie różne bazy przestrzeni
)
,
,
,
,
(
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
Lin
r
r
r
r
r
.