Reprezentowanie krzywych i 
powierzchni 



Model składający się ze zbioru gładkich powierzchni 
krzywoliniowych (Martin Newell) 

Płaty bikubiczne 



Kształt opisany za pomocą zbioru elementów gładkiej 
powierzchni zwanych 

płatami bikubicznymi 



Są generowane w wielu zastosowaniach grafiki 
komputerowej: 



modelowanie geometryczne, 



programach CAD – projektowanie wspomagane komputerowo, 



czcionki dobrej jakości, 



wykresy, 



rysunki artystyczne, 



ścieżki kamery i obiektów w animacji komputerowej, 



ścieżka przejścia przez przestrzeń barw, 



itd… 

Reprezentacja powierzchni 



Modelowanie obiektów 

rzeczywistych 



na ogół 

nie istnieje 

model matematyczny obiektu, 



obiekt można 

przybliżyć

 zbiorem nieskończenie wielu 

punktów – realizacja komputerowa niemożliwa 



aproksymacja: 



 

kawałkami

 

płaszczyzn

,  



kuli

,  



innych 

powierzchni

 

łatwych

 do matematycznego opisu 



punkty modelu powinny się znaleźć 

maksymalnie blisko

 

punktów obiektu rzeczywistego 

Reprezentacja powierzchni 



Modelowanie obiektów 

nierzeczywistych 



obiekt jest  

tworzony

 w procesie modelowania 



obiekt 

przybliża dokładnie 

swoją reprezentację, gdyż 

stanowi jedyne jej urzeczywistnienie 



projektant jest zobowiązany:  



„

wyrzeźbić

” obiekt interaktywnie,  



opisać go 

matematycznie

 lub  



podać 

przybliżony

 jego 

opis

 do wypełnienia przez jakiś program 



w systemach CAD reprezentacja komputerowa jest 

wzorem 

fizycznej

 realizacji

 obiektu 

abstrakcyjnie

 

zaprojektowanego 

Modelowanie powierzchni 



Jest to bardzo szeroka dziedzina – stosuje się 
szereg metod 



Najczęstsze reprezentacje: 



siatki 

wielokątów

, 



powierzchnie 

parametryczne

, 



powierzchnie 

drugiego

 

stopnia 

Siatka wielokątów 



Jest to zbiór połączonych 

powierzchni płaskich

 

graniczonych 

zamkniętymi łamanymi 



Siatki wielokątów dobrze przybliżają: 



 skrzynie, 



budynki i ich otoczenie, 



objętości ograniczone przez płaskie powierzchnie  

Modelowanie stożka ściętego 
siatką elementów płaskich 



Obiekt 3D reprezentowany za pomocą wielokątów 

jest tylko 

przybliżeniem obiektu rzeczywistego 

Reprezentacja wielokątowa 



Przekrój 

kształtu krzywoliniowego 

(linia przerywana) i jego reprezentacji 
wielokątowej (linia ciągła) 



Błędy aproksymacji można dowolnie 

zmniejszać

 stosują większą liczbę 

wielokątów. 



Wady aproksymacji: 



zwiększenie wymagań 

co do pamięci i 

czasu wykonania algorytmów 



powiększanie obiektów powoduje 

ujawnienie

 prostych krawędzi 

Powierzchnie parametryczne 



Wielomianowe 

krzywe parametryczne

 definiują 

punkty na krzywych za pomocą trzech wielomianów 
parametru 

t

 oddzielnie dla 

x

, 

y

 i 

z. 



Dobór odpowiednich 

współczynników

 wielomianów 

umożliwi przebieg krzywej wg 

wybranej ścieżki 



Najpopularniejsze są krzywe 

trzeciego stopnia 

reprezentowane przez wielomiany trzeciego stopnia 
 

Parametryczne wielomianowe 

płaty powierzchni 



Określają punkty na powierzchniach za pomocą 

trzech

 

wielomianów 

dwóch

 zmiennych (

s, t)

, po jednym dla 

x

, 

y

 i 

z. 



Brzegi

 płatów są parametrycznymi krzywymi wielomianowymi

 



Dla tego samego stopnia aproksymacji 

liczba

 płatów 

wielomianowych jest znacznie 

mniejsza

 niż płatów 

wielokątowych 



Złożoność

 algorytmów opisujących płaty wielomianowe jest 

jednak znacznie większa 



Najczęściej stosuje się 

płaty bikubiczne 

opisywane wielomianami 

trzeciego stopnia 

 

Powierzchnie drugiego stopnia 



Definiowane bezpośrednio równaniem 
 
 

  przy czym  

f

  jest wielomianem drugiego 

stopnia zmiennych 

x

, 

y

 i 

z 



Jest to 

wygodna

 reprezentacja kul, elips i 

walców 





0

,

,



z

y

x

f

Siatki wielokątowe 



Siatka wielokątowa

 jest zbiorem 

krawędzi, węzłów i wielokątów o 
pewnych cechach: 



 każda 

krawędź

 jest 

wspólna

 

przynajmniej dla dwóch wielokątów 



krawędź 

łączy

 dwa wierzchołki 



wierzchołek

 jest 

wspólny

 dla 

przynajmniej dwóch krawędzi 



wielokąt

 jest zamkniętą 

sekwencją

 

krawędzi 



każda 

krawędź

 jest 

częścią

 jakiegoś 

wielokąta 

 

 

Siatki wielokątowe 



Istnieje kilka 

reprezentacji

 siatek wielokątowych 



reprezentacja 

bezpośrednia 



za pomocą wskaźników na 

listę

 wierzchołków 



za pomocą wskaźników na 

listę

 

krawędzi 



Każda z reprezentacji ma swoje 

wady i zalety 



Programista wybiera reprezentację 

najkorzystniejszą 

dla danego zastosowania 



Kryterium porównania jest miejsce w 

pamięci

 i 

czas

 

typowych 

operacji

 związanych z analizą siatki 

Siatki wielokątowe  



Typowe operacje na siatkach wielokątowych: 



znalezienie wszystkich 

krawędzi związanych 

z wierzchołkiem 



znalezienie wszystkich wielokątów mających 

wspólną krawędź 



znalezienie wszystkich wielokątów mających 

wspólny wierzchołek 



znalezienie wszystkich 

krawędzi wielokąta 



wyświetlenie

 siatki 



znalezienie 

błędów

 

reprezentacji

, np. brakująca krawędź, wierzchołek 

lub wielokąt 



Reguła: 

im bardziej bezpośrednia 

reprezentacja relacji 

pomiędzy wierzchołkami, krawędziami i wielokątami tym 

krótsze czasy 

operacji i tym 

więcej miejsca

 w pamięci, jakie 

reprezentacja zajmuje 

 

Reprezentacja bezpośrednia 



Każdy wielokąt jest opisany przez 

listę współrzędnych 

wierzchołków 

 
 



Wierzchołki zapamiętane są w 

kolejności

, w jakiej 

napotyka się je poruszając się wokół wielokąta 



Pomiędzy kolejnymi wierzchołkami oraz pomiędzy 
pierwszym i ostatnim 

rozpięte są 

krawędzie 



Reprezentacja 

mało oszczędna

 pod względem 

pamięci

 i 

dogodna dla jednego lub niewielu wielokątów 



 

 







n

n

z

z

y

x

z

y

x

z

y

x

P

,

,

,

...

 

,

,

,

,

,

,

2

2

2

1

1

1



Reprezentacja bezpośrednia 



Inne wady: 



brak bezpośredniej relacji

 pomiędzy krawędziami i 

wierzchołkami 



interakcyjne przesunięcie wierzchołka 

wymaga przeszukania 

całej struktury sieci i znalezienie wszystkich wielokątów 
wspólnych dla wierzchołka 



przeszukiwanie struktury wymaga 

porównań trójek

 

współrzędnych 



najefektywniejsza metoda to posortowanie wszystkich 
wierzchołków (

min. złożoność obliczeniowa N log

2

 N

) 



te same wierzchołki mogą mieć 

różniące się

 istotnie 

współrzędne na skutek 

błędów

 numerycznych 



dopasowania można więc 

nie znaleźć 

Reprezentacja bezpośrednia 



Inne wady - cd: 



wyświetlane siatki wymaga analizy 

każdego 

wiechołka oraz 

obcięcia każdej 

krawędzi każdego wielokąta 



wspólne krawędzie są rysowane 

dwukrotnie 



stwarza to problem dla monitorów wektorowych, ale także 
i rastrowych, gdyż krawędzie są rysowane w 

różnych 

kierunkach – mogą się pojawić dodatkowe piksele 

Wskaźniki na listę wierzchołków 



 

 















3

2

4

2

4

2

1

1

4

4

4

1

1

1

4

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,...,

,

,

,

,

,

V

V

V

P

V

V

V

P

z

y

x

z

y

x

V

V

V

V

V









Wskaźniki na listę wierzchołków 



Każdy z wierzchołków jest zapamiętany tylko 
raz na 

liście wierzchołków 



Łatwo 

można zmienić 

współrzędne 

wierzchołków wielokąta 



Wciąż 

trudno

 znaleźć wielokąty o 

wspólnej

 

krawędzi

  



Krawędzie 

wspólne

 dla wielokątów są nadal 

rysowane 

podwójnie

 przy wyświetlaniu sieci 

Wskaźniki na listę 
krawędzi 







 







































4

3

2

2

5

4

1

1

1

1

4

5

2

1

2

4

4

2

4

3

3

2

3

2

2

1

2

1

1

5

4

3

2

1

4

4

4

1

1

1

4

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,...,

,

,

,

,

,

E

E

E

P

E

E

E

P

P

V

V

E

P

P

V

V

E

P

V

V

E

P

V

V

E

P

V

V

E

E

E

E

E

E

E

z

y

x

z

y

x

V

V

V

V

V































Wskaźniki na listę krawędzi 



Wielokąt jest definiowany przez sekwencję wskaźników na 
listę krawędzi  

 
 



Każda 

krawędź

 występuje na liście tylko raz 



Każda z krawędzi wskazuje na 

dwa wierzchołki

 z listy 

wierzchołków 



Dodatkowo każda z krawędzi wskazuje zazwyczaj na 

jeden lub 

dwa

 wielokąty do której należy 

 
 



Dla szczególnych sieci (np. typu plaster miodu) krawędź może 
wskazać na kilka wielokątów 





n

E

E

E

P

...,

,

,

2

1







n

P

P

P

V

V

E

...,

,

,

,

,

2

1

2

1



Wskaźniki na listę krawędzi 



Wyświetlając sieć brane są pod uwagę wszystkie 

krawędzie

, a 

nie wszystkie wielokąty 



Pozwala to 

ominąć 

nadmiarowe obcinanie przekształcenia i 

konwersje 



Łatwo wyświetla się wypełnione wielokąty 
 

  W 

żadnej

 z wymienionych reprezentacji nie można 

bezpośrednio 

stwierdzić

, 

które

 

krawędzie

 łączą się z 

danym

 

wierzchołkiem

 - istnieją reprezentacje spełniające ten 

warunek 

Płaskość wielokąta 



Równanie płaszczyzny 
 
 



A, B i C definiują normalną do płaszczyzny 



Mając trzy punkty P1, P2 i P3 można 
wyznaczyć normalną do płaszczyzny jako 
 

0









D

Cz

By

Ax

.

;

;

1

2

3

2

3

1

2

1

itd

P

P

P

P

P

P

P

P





Płaskość wielokąta 



D

 wyznaczamy podstawiając jeden z punktów do 

równania płaszczyzny 



Metoda 

idealna

 dla trójkątów 



Dla wielokątów o większej liczbie wierzchołków 
istnieje niebezpieczeństwo 

odstępstwa

 od 

płaskości (błędy numeryczne) 



W takim przypadku stosuje się 

metodę rzutów 

wielokąta na płaszczyzny prostopadłe do osi 
układu współrzędnych 

Płaskość wielokątów 

Pole rzutu wielokąta na 
płaszczyznę Oxy 
pozwala wyznaczyć C 





















 



3

3

2

1

2

1

3

1

1

3

3

2

1

2

3

3

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

A

A

A

A

A

A

C

x

x

y

y

A

A

A

x

x

y

y

A

x

x

y

y

A











































Płaskość wielokątów 



Ostatecznie 
 
 



Podobnie 





 



 





3

1

1

3

2

3

3

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

C























 



 









 



 





3

1

1

3

2

3

3

2

1

2

2

1

3

1

1

3

2

3

3

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

y

y

z

z

y

y

z

z

y

y

z

z

A

z

z

x

x

z

z

x

x

z

z

x

x

B







































Płaskość wielokątów 



Co można zapisać 
 
 
 
 
 



gdzie  



















i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

x

x

y

y

C

z

z

x

x

B

y

y

z

z

A













































1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

















n

i

dla

n

i

dla

i

i

1

1

1

Płaskość wielokątów 



Odległość

 wierzchołka od płaszczyzny 

 
 



Wartość 

d

 może być 

dodatnia ujemna lub 

równa zero 



Do stwierdzenia, po której stronie płaszczyzny 
wierzchołek leży wystarczy 

znak licznika 

ułamka 

2

2

2

C

B

A

D

Cz

By

Ax

d













Płaskość wielokątów 



Równanie płaszczyzny 

nie jest unikatowe

. 

Można je pomnożyć przez dowolną liczbę 
różną od zera 



Najdogodniejszą

 postać równania uzyskamy 

po pomnożeniu współczynników równania 
przez 

2

2

2

1

C

B

A

k







Płaty bikubiczne 



G – macierz geometrii 



M – macierz bazowa 

 

 

 

 

 











































































































1

2

3

44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

t

t

t

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

t

z

t

y

t

x

t

Q

T

M

G

t

Q

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

Macierz geometrii i macierz bazowa 

 

 

 

 

 























































































1

2

3

44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

4

3

2

1

t

t

t

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

G

G

G

G

t

z

t

y

t

x

t

Q

T

M

G

t

Q

Macierz geometrii Hermite’a 





x

x

x

x

R

R

P

P

G

x

4

1

4

1



 





1

2

3

2

3

t

t

t

M

G

T

M

G

d

t

c

t

b

t

a

t

x

x

x

x

x

x

x























Krzywe Hermite’a 



Składowe geometrii Hermite’a 





x

x

x

x

x

R

R

P

P

G

H

4

1

4

1



Krzywe Hermite’a 



Macierz bazowa reprezentacj Hermite’a: 
 
 
 
 



Krzywa Hermite’a jest zatem określona zależnością: 

 



































0

0

1

1

0

1

2

1

0

0

3

2

1

0

3

2

H

M

 



 





 



4

2

3

1

2

3

4

2

3

1

2

3

2

3

2

1

3

2

R

t

t

R

t

t

t

P

t

t

P

t

t

B

G

T

M

G

t

Q

H

H

H

H

























































































































2

3

2

3

2

3

2

3

4

1

4

1

2

3

2

1

3

2

)

(

)

(

)

(

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

R

t

R

t

P

t

P

B

T

H



są funkcjami 

wagowymi

 dla 

każdego elementu 
macierzy geometrii 

Funkcje bazowe Hermite’a 

Rodzina krzywych Hermite’a 



Rodzina krzywych parametrycznych Hermite’a trzeciego 
stopnia. Dla każdej krzywej zmienia się tylko R

1

, wektor 

styczny w P

1

, jego wartość rośnie dla wyższych krzywych. 

Rodzina krzywych Hermite’a 



Zmienny kierunek wektorów stycznych 

Krzywe Beziera 



W przypadku tych krzywych wektory styczne w punkach 
końcowych są określane bezpośrednio przez dwa punkt 
pośrednie, które nie leżą na krzywej. 



Wektory styczne początkowy i końcowy są określane przez 
wektory P

1

P

2

 i P

3

P

4

 i są związane z R

1

 i R

2

 zależnościami: 

  



  



3

4

4

1

2

1

3

1

'

3

0

'

P

P

Q

R

P

P

Q

R













Krzywe Beziera 



Dwie krzywe Beziera i ich punkty kontrolne 

Krzywe Beziera 



Krzywa Beziera interpoluje dwa końcowe punkty 
kontrolne i aproksymuje dwa pozostałe. 



Macierz geometrii Beziera wygląda następująco: 
 





4

3

2

1

P

P

P

P

G

B



Krzywe Beziera 



W krzywych Bezier’a 
wykorzystujących wielomiany 
trzeciego stopnia proste 
przechodzące przez punkty: 



początkowy i następujący po nim 
oraz  



końcowy i  poprzedzający go 

   są prostymi stycznymi do 

krzywej.  



Odcinki łączące w/w punkty 
często nazywa sie 

kierownicami 

 

Krzywe Beziera 



Macierz bazowa dla krzywych Beziera: 

 

 
 



Iloczyn                    jest równy: 
 
 



Cztery wielomiany które są wagami powyższego 
równania są nazywane wielomianami Bersteina. 
 





































0

0

0

1

0

0

3

3

0

3

6

3

1

3

3

1

B

M

T

M

G

B

B





 

 

 

 

4

3

3

2

2

2

1

3

1

3

1

3

1

P

t

P

t

t

P

t

t

P

t

T

M

G

t

Q

B

B





















Wielomiany Bernsteina 



Wielomiany 
Bernsteina są 

funkcjami 
wagowymi

 

krzywych Beziera 

Łączenie krzywych Beziera 



Dwie krzywe Beziera łączące się w punkcie P4. 
Punkty P3, P4, P5 są współliniowe 

Krzywe Beziera 



Typowe 
krzywe 
Beziera 



Konstrukcja krzywych 

Beziera: 



Wielomiany x(t) oraz 

y(t) definiują punkt na 

krzywej y(x) lub x(y) dla 

założonej wartości 

parametru t 

Parametryczne powierzchnie 
bikubiczne 



Ogólna postać krzywej parametrycznej trzeciego 
stopnia: 
 
 

  Jeżeli przyjmiemy, że punkty zawarte w macierzy 

G nie są stałymi, lecz 

zmieniają

 się w 3D wzdłuż 

pewnej ścieżki 

z parametrem 

t

, to otrzymamy: 

 

 

 

 

 

 





S

M

t

G

t

G

t

G

t

G

t

s

Q







4

3

2

1

,

 

S

M

G

s

Q







Parametryczne powierzchnie 
bikubiczne 



Jeżeli G

i

(t)

 są krzywymi trzeciego stopnia, to każda z 

nich może być reprezentowana jako: 
 

  po wykonaniu transpozycji i podstawieniu wyniku do 

poprzedniego równania otrzymamy: 

 

 

S

M

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

M

T

t

s

Q

T

T



































44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

,

 

T

M

G

t

G

i

i







Parametryczne powierzchnie 
bikubiczne 



Równoważny zapis: 
 
 



W rozdzielonym zapisie dla 

x

, 

y

, 

z

: 

 

1

,

0

       

,

,















t

s

S

M

G

M

T

t

s

Q

T

T

 

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

S

M

G

M

T

t

s

x

z

T

T

y

T

T

x

T

T































,

,

,

Powierzchnie Hermite’a 



Poszczególne współrzędne powierzchni Hermite’a są w 

pełni określone przez macierz geometrii G

H

 4x4 



Przepisując wyrażenie  
 

 
  z uwzględnieniem faktu, że macierz geometrii 

Hermite’a nie jest stała, lecz jest funkcją 

t 

otrzymujemy: 

 

 

 

 

 

 





S

M

t

R

t

R

t

P

t

P

S

M

t

G

t

s

x

H

H

H

x

x

x

x

x















4

1

4

1

,

 

S

M

G

s

x

H

Hx







Powierzchnie bikubiczne 



Linie stałej 
wartości 
parametru 

t

 na 

powierzchni 
bikubicznej 

Powierzchnie Hermite’a 



Załóżmy, że każda krzywa P

1x

(t), P

4x

(t), R

1x

(t) i 

R

1x

(t)

 reprezentuje postać Hermite’a: 

 
 



Te cztery krzywe trzeciego stopnia mogą być 
zapisane w postaci jednego równania: 

 





 





 





 





T

M

g

g

g

g

t

R

T

M

g

g

g

g

t

R

T

M

g

g

g

g

t

P

T

M

g

g

g

g

t

P

H

x

H

x

H

x

H

x

x

x

x

x

























44

43

42

41

4

34

33

32

31

1

24

23

22

21

4

14

13

12

11

1

    

,

    

,

 

 

 

 





T

M

G

t

R

t

R

t

P

t

P

H

H

T

x

x

x

x

x







4

1

4

1

Powierzchnie Hermite’a 



Transponowanie obu stron równania daje: 

 

 

 

 





x

x

x

x

x

H

T

H

T

x

T

H

T

G

M

T

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

M

T

t

R

t

R

t

P

t

P









































44

43

42

41

34

33

32

31

24

23

22

21

41

31

21

11

4

1

4

1

Powierzchnie Hermite’a 



Wynikowe równania mają postać: 
 
 



podobnie 
 
 
 



Trzy macierze 4x4 G

Hx

, G

Hy

, G

Hz

, odgrywają taką 

samą rolę dla powierzchni Hermite’a jaką G

H

 dla 

krzywych.

 

 

S

M

G

M

T

t

s

x

H

H

T

H

T

x











,

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

H

H

T

H

T

H

H

T

H

T

z

y





















,

,

Powierzchnie Beziera 



Bikubiczna postać powierzchni Beziera 

 

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

S

M

G

M

T

t

s

x

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T

z

y

x































,

,

,

Bikubiczny płat Beziera 



Szesnaście 
punktów 
sterujących dla 
bikubicznego 
płata Beziera 

Łączenie płatów Beziera 



Dwa płaty Beziera połączone wzdłuż krawędzi 
P14, P24, P34 i P44 

Powierzchnie B-sklejane 



Płaty B-sklejane są reprezentowane w postaci: 

 

 

 

S

M

G

M

T

t

s

z

S

M

G

M

T

t

s

y

S

M

G

M

T

t

s

x

S

z

S

S

S

y

S

S

S

x

S

S

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T

B

B

T

B

T































,

,

,

Normalne do powierzchni 



Normalna do powierzchni bikubicznej jest 
potrzebna w wielu przypadkach, np..  



przy 

cieniowaniu

,  



przy wykrywaniu interferencji w robotyce,  



przy obliczaniu przesunięć dla maszyn 
sterowanych numerycznie 



itp. 

Normalne do powierzchni 



Wektor styczny w kierunku s do powierzchni Q(s, 
t) jest równy: 

 
 
 



A wektor styczny w  kierunku t jest równy: 

 





 





S

M

G

M

t

t

S

M

G

M

T

t

S

M

G

M

T

t

t

s

Q

t

T

T

T

T

T

T













































0

1

2

3

,

2

 





 





T

T

T

T

T

T

T

s

s

M

G

M

T

S

s

M

G

M

T

S

M

G

M

T

s

t

s

Q

s

0

1

2

3

,

2













































Normalne do powierzchni 



Wprowadzając oznaczenie x

s

 dla składowej x 

wektora stycznego s, y

s

 dla składowej y i z

s

 dla 

składowej z oraz analogiczne oznaczenia dla 
wektora stycznego w kierunku t normalną 
można zapisać w następujący sposób: 
 

 

 





s

t

t

s

s

t

t

s

s

t

t

s

y

x

y

x

x

z

x

z

z

y

z

y

t

s

Q

t

t

s

Q

s





















,

,

Wyświetlanie powierzchni 
bikubicznych 



Tak jak krzywe, powierzchnie mogą być 
wyświetlane na zasadzie iteracyjnego 
obliczania bikubicznych wielokątów. 



Do wyświetlania bikubicznych płatów 
najlepsze jest obliczanie iteracyjne. 

Płaty bikubiczne 



Płat powierzchni 
wyświetlony jako 
zbiór krzywych o 
stałym s i stałym 
t 

Płaty Beziera 



Dla krzywej Beziera. Jeżeli wymnożymy 
macierze 
 

  to, otrzymamy: 

   

 

 































































3

2

2

3

3

2

2

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

,

s

s

s

s

s

s

G

t

t

t

t

t

t

t

s

x

x

B

S

M

M

T

B

T

B

T





    

i

   

Płaty Beziera 



Przypomnijmy, że G

Bx

 jest macierzą składowej 

x

 punktów kontrolnych i może być zapisana: 

x

B

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

G

x



























44

34

24

14

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

Płaty Beziera 



Wreszcie całkowita rozwinięta postać 
równania może zostać zapisana: 

 





 

 

 









 

 

 









 

 

 





 

 

 





3

44

2

43

2

42

3

41

3

3

34

2

33

2

32

3

31

2

3

24

2

23

2

22

3

21

2

3

14

2

13

2

12

3

11

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

3

1

1

3

1

3

1

3

1

1

,

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

s

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

s

t

P

t

t

P

t

t

P

t

P

s

t

s

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







































































Powierzchnie drugiego stopnia 



Uwikłana postać równania 
 
 

  definiuje rodzinę powierzchni drugiego 

stopnia. 





0

2

2

2

2

2

2

,

,

2

2

2























k

jz

hy

gx

fxz

eyz

dxy

cz

by

ax

z

y

x

f

Powierzchnie drugiego stopnia 



Alternatywny zapis poprzedniego równania: 
 
 

  z 

0







P

Q

P

T





















































1

   

oraz

    

z

y

x

P

k

j

h

g

j

c

e

f

h

e

b

d

g

f

d

a

Q

Powierzchnie drugiego stopnia 



Powierzchnia reprezentowana przez Q może 
być łatwo przesuwana i skalowana. Dla 
macierzy przekształceń M o rozmiarze 4x4 
przekształcona powierzchnia drugiego stopnia 
Q’ jest dana zależnością: 

 

M

Q

M

Q

T









1

'