6.3. Zmienna losowa typu skokowego
Rozkład
zmiennej losowej typu skokowego
Definicja
Zmienną losową X nazywamy skokową (typu skokowego, dyskretną), jeŜeli zbiór war-
tości X jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym (tzn. wartości zmiennej moŜna przed-
stawić jako ciąg liczbowy).
KaŜda wartość zmiennej losowej jest związana z pewnym prawdopodobieństwem jej
wystąpienia. Często osiągnięcie przez zmienną niektórych wartości jest znacznie bardziej
prawdopodobne niŜ osiągnięcie innych i znajomość tych prawdopodobieństw ma spore zna-
czenie praktyczne. Dlatego dla zmiennych losowych określa się rozkład prawdopodobień-
stwa. W przypadku zmiennych losowych skokowych definiuje się funkcję prawdopodobień-
stwa, przypisując wartości prawdopodobieństwa konkretnym - wszystkim - wartościom
zmiennej losowej.
Definicja
JeŜeli zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości x
1
, x
2
... odpowiednio z
prawdopodobieństwami p
1,
p
2
, ..., to rozkładem
zmiennej losowej (funkcją prawdo-
podobieństwa zmiennej losowej) X typu skokowego nazywamy funkcję przypisującą
kaŜdej przyjmowanej przez X wartości x, prawdopodobieństwo osiągnięcia tej wartości.
Inaczej x
i
→
P(x
i
) = p
i
, dla i = 1, 2, …, gdzie P(x
i
) = p
i
jest prawdopodobień-
stwem wystąpienia wartości x
i
.
Uwaga
Fakt, Ŝe zmienna losowa X przyjmuje wartość x
i
z prawdopodobieństwem p
i
piszemy krótko:
P(X = x
i
) = p
i
.
Twierdzenie
Gdy zmienna losowa ma n wartości, to zachodzi związek
∑
=
n
i
i
p
1
= 1.
Gdy zmienna przyjmuje przeliczalną liczbę wartości, to zachodzi związek
∑
∞
=
1
i
i
p
= 1.
Przykład 1.
RozwaŜamy doświadczenie losowe polegające na jednokrotnym rzucie trzema monetami i
obserwowania górnej strony monet. Przyjmijmy oznaczenia: o – wypadł orzeł, r – wypa-
dła reszka. Rozpatrujemy dwie sytuacje:
R) monety są rozróŜnialne i moŜna jednoznacznie ustalić, co wypadło na danej monecie,
N) monety są nierozróŜnialne.
Szczegółowo opiszemy sytuację R.
Sytuacja R
Zbiór zdarzeń elementarnych
Ω
Ω
Ω
Ω
R
jest zbiorem trójek postaci (x, y, z), gdzie x strona górna
pierwszej monety, y – strona górna drugiej monety, z - strona górna trzeciej monety; x, y,
z jest o lub r.
Zatem
Ω
Ω
Ω
Ω
R
= {(x, y, z) : x = o lub x = r , y = o lub y = r, z = o lub z = r }.
Mamy osiem zdarzeń
ω
ω
ω
ω
1
= (o, o, o),
ω
ω
ω
ω
2
= (r, o, o),
ω
ω
ω
ω
3
= (o, r, o),
ω
ω
ω
ω
4
= (o, o, r),
ω
ω
ω
ω
5
= (r, r, o),
ω
ω
ω
ω
6
= (o, r, r),
ω
ω
ω
ω
7
= (r, o, r),
ω
ω
ω
ω
8
= (r, r, r).
Przykładowo definiujemy dwie zmienne losowe.
Zmienna losowa X
1
: przyporządkowujemy zdarzeniu elementarnemu liczbę wylosowa-
nych reszek. Zmienna ta przyjmuje cztery wartości 0, 1, 2, 3.
W tym przypadku mamy:
P(X
1
= 0) =
8
1
= 0,125 czyli prawdopodobieństwo tego, Ŝe zmienna X
1
przyjmuje
wartość 0 wynosi
8
1
; P(X
1
= 1) =
8
3
; P(X
1
= 2) =
8
3
; P(X
1
= 3) =
8
1
.
Rozkład zmiennej X
1
(funkcje prawdopodobieństwa) moŜna zapisać w tabelce:
x
i
0
1
2
3
p
i
0,125
0,375
0,375
0,125
Jej wykres przedstawia rysunek.
X-Axis
Y
-A
x
is
0,125
0,375
Zmienna losowa X
2
: przyporządkowujemy zdarzeniom elementarnym kolejno liczby
będące wskaźnikami w określeniu zdarzenia:
ω
ω
ω
ω
1
= (o, o, o) liczbę 1,
ω
ω
ω
ω
2
= (r, o, o)
liczbę 2 itd . Zmienna ta przyjmuje osiem wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
W tym przypadku mamy:
P(X
2
= 1) = P(X
2
= 2) = P(X
2
= 3) = P(X
2
= 4) = P(X
2
= 5) = P(X
2
= 6) =
= P(X
2
= 7) = P(X
2
= 8) = 0,125.
Rozkład zmiennej X
2
:
x
i
1
2
3
4
5
6
7
8
p
i
0,125
0,125
0,125 0,125 0,125
0,125
0,125
0,125
Przykład 2.
Zmienna losowa przyjmuje wartości będące liczbami naturalnymi.
Wiadomo, Ŝe P(X = k) = c
⋅
2
-k
, gdzie c jest dana konkretnie liczbą rzeczywistą.
Wyznacz c oraz oblicz P(X
≥
5).
Rozwiązanie
Warunek P(X = k) = c
⋅
2
-k
( słownie: prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna X przyjmuje
wartość k jest równe c
⋅
2
-k
) określa rozkład zmiennej losowej skokowej wtedy, gdy
∑
∞
=
−
⋅
1
2
k
k
c
= 1.
Suma szeregu
∑
∞
=
−
⋅
1
2
k
k
c
jest sumą ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym równym
½ c oraz ilorazie q = ½ . Jest ona równa
∑
∞
=
−
⋅
1
2
k
k
c
=
2
1
1
2
1
−
c
= c.
Zatem c = 1. Szukanym rozkładem zmiennej jest P(X = k) = 2
-k
.
Obliczamy P(X
≥
5) = 1 - P(X
≤
4) = 1 -
∑
=
−
4
1
2
k
k
= 1 – ( ½ +
4
1
+
8
1
+
16
1
) =
16
1
.
Odpowiedź:
Warunek P(X = k) = 2
-k
określa rozkład zmiennej. P(X
≥
5) =
16
1
.
Wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe
zmiennej losowej typu skokowego.
Definicja
Niech (
Ω
Ω
Ω
Ω
, p ) będzie przestrzenią probabilistyczną która ma przeliczalną liczbę zdarzeń
elementarnych; czyli
Ω
Ω
Ω
Ω
= {
ω
ω
ω
ω
1
,
ω
ω
ω
ω
2
, … ,
ω
ω
ω
ω
n
, …}.
Niech X będzie zmienną losową typu skokowego (dyskretną), przy czym X = {x
1
, x
2
…)
oraz P(x
i
) = p
i
.
a) Wartością oczekiwaną zmiennej losowej typu skokowego (dyskretnej) nazywamy
liczbę E(X) =
∑
i
i
i
p
x
dla i = 1, 2, …
b) Wariancją zmiennej losowej typu skokowego nazywamy liczbę
D
2
(X) = E(X – E(X) )
2
=
∑
−
i
i
i
p
X
E
x
2
))
(
(
dla i = 1, 2, …
c) Odchyleniem standardowym zmiennej losowej typu skokowego nazywamy liczbę
D(X) =
)
(
2
X
D
.
Przykład 3.
Breloczki z aplikacją złotą lub srebrną są pakowane tak, Ŝe nie da się bezpośrednio usta-
lić rodzaju aplikacji. Wiadomo, Ŝe breloczków z aplikacją złotą jest trzy razy więcej niŜ
z aplikacją srebrną. Sprzedawca wyjął 4 breloczki z szuflady, w której ich było 16.
a) Określ prawdopodobieństwo, Ŝe wyjęte breloczki mają złotą aplikację.
b). Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej
określającej liczbę breloczków z aplikacją złotą.
Rozwiązanie
RozwaŜamy, jako model teoretyczny tej sytuacji, doświadczenie losowe polegające na
losowaniu czterech breloczków spośród szesnastu. Zdarzenie elementarne, to czwórka
wylosowanych breloczków. Zakładamy, Ŝe kaŜde z nich jest tak samo prawdopodobne.
a) Z treści zadania wiadomo, Ŝe mamy 4 breloczki z aplikacją srebrną, a 12 z apli-
kacją złotą. Mamy zatem
4
16
= 1820 zdarzeń elementarnych.
Interesuje nas zdarzenie A polegające na tym, Ŝe wszystkie 4 breloczki mają złotą
aplikację. Zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu jest
4
12
⋅
4
4
= 495.
Zatem P(A) =
1820
495
≈
0,27.
b) Definiujemy zmienną losową tego doświadczenia; niech X będzie funkcją przy-
porządkowującą czwórce wybranych losowo breloczków liczbę breloczków z aplikacją
złotą.
Zmienna X przyjmuje wartość 0, 1, 2, 3, 4 odpowiednio z prawdopodobieństwami
1820
1
,
1820
48
,
1820
396
,
1820
880
oraz
1820
495
.
Wartość oczekiwana liczby breloczków z aplikacją złotą wynosi więc:
E(X) =
∑
=
5
1
i
i
i
p
x
= 0
⋅
1820
1
+ 1
⋅
1820
48
+ 2
⋅
1820
396
+ 3
⋅
1820
880
+ 4
⋅
1820
495
=
=
1820
5460
= 3.
Wariancja liczby breloczków z aplikacją złotą wynosi:
D
2
(X) = E( X – E(X) )
2
=
∑
=
−
5
1
2
))
(
(
i
i
i
p
X
E
x
=
∑
=
−
5
1
2
)
3
(
i
i
i
p
x
=
= 9
⋅
1820
1
+ 4
⋅
1820
48
+ 1
⋅
1820
396
+ 0
⋅
1820
880
+ 1
⋅
1820
495
=
1820
1092
= 0,6.
Odchylenie standardowe jest równe:
D(X) =
)
(
2
X
D
=
6
,
0
≈
0,7746.
MoŜna powiedzieć, Ŝe liczba wyłoŜonych breloczków z aplikacją złotą róŜni się od 3
przeciętnie o około 1 breloczek.
Odchylenie standardowe w stosunku do wartości oczekiwanej stanowi
)
(
)
(
X
E
X
D
≈
26%.
Odpowiedź
a)
Prawdopodobieństwo, Ŝe wyjęte breloczki mają złotą aplikację jest równe około
0,27; jest zatem niewielkie.
b)
Wartość oczekiwana liczby breloczków z aplikacją złotą wynosi 3; interpretując tę
liczbę moŜna powiedzieć, Ŝe gdyby powtarzać to doświadczenie wielokrotnie, to
wśród czterech breloczków byłyby średnio 3 ze aplikacją złotą.
c)
Wariancja liczby breloczków z aplikacją złotą wynosi 0,6. MoŜna powiedzieć, Ŝe
liczba wyłoŜonych breloczków z aplikacją złotą róŜni się od 3 przeciętnie o około 1
breloczek.
d)
Odchylenie standardowe liczby breloczków z aplikacją złotą jest równe około
0,7746.
e)
Odchylenie standardowe w stosunku do wartości oczekiwanej stanowi
)
(
)
(
X
E
X
D
≈
26%.
To znaczy, Ŝe wartości odległe od 3 są stosunkowo mało prawdopodobne.
Rozkład dwumianowy (rozkład Bernoulliego)
RozwaŜmy doświadczenie losowe, które kończy się jednym z dwóch wyników: „sukce-
sem" z prawdopodobieństwem p lub „poraŜką" z prawdopodobieństwem 1- p. Powtarzamy to
doświadczenie n razy – otrzymujemy eksperyment losowy o wielkości serii n; zakładamy, Ŝe
wyniki kolejnych doświadczeń nie zaleŜą od wyników poprzednich.
Definicja
Zmienną losową Bernoulliego dla danego p oraz wielkości serii n nazywamy zmienną X
o wartościach określających liczbę sukcesów w tej serii w opisanym eksperymencie losowym.
Ta zmienna przyjmuje wartości ze zbioru {0, 1, ..., n}.
Funkcja prawdopodobieństwa w rozkładzie Bernoulliego jest określona wzorem:
P(X = k) =
k
n
k
p
p
k
n
k
n
−
−
−
)
1
(
)!
(
!
!
dla k = 0, 1, 2, …
Rozkład Bernoulliego jest symetryczny dla p = ½ . Im p jest bliŜsze 0 lub 1 tym większa
jest asymetria rozkładu.
PoniŜszy rysunek przedstawia wykres funkcji prawdopodobieństwa zmiennej o roz-
kładzie Bernoulliego dla n = 10 i p = 0,2.
Przykład 4.
Oświetlenie sali wykładowej zapewnia 5 niezaleŜnych punktów oświetleniowych. Ich
awarie występują niezaleŜnie od siebie, przy czym prawdopodobieństwo awarii kaŜdego
z nich wynosi 0,1.
Oblicz prawdopodobieństwo awarii: a) jednego z nich, b) co najwyŜej czterech z nich.
Rozwiązanie
Liczbę awarii moŜna opisać rozkładem Bernoulliego dla n = 5, p = 0,1.
Mamy P(X = 1) =
4
1
)
9
,
0
(
1
,
0
)!
4
(
!
1
!
5
= 5
⋅
0,1
⋅
0,9
4
= 0,5
⋅
0,6561 = 0,32805
≈
0,33.
P(X
≤
4) = 1 – P(5) = 1 -
0
5
)
9
,
0
(
1
,
0
)!
0
(
!
5
!
5
= 1 – 0,00001= 0,99999.
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo awarii jednego z nich wynosi ok. 33% ;
prawdopodobieństwo awarii co najwyŜej czterech z nich wynosi ok. 0,999999.
Twierdzenie
Wartość oczekiwana i wariancja w rozkładzie dwumianowanym - w rozkładzie Bernoullie-
go danego p oraz wielkości serii n - są równe:
a) E(X) = n
⋅
p,
b) D
2
(X) = n
⋅
p
⋅
(1 – p).
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
RozwaŜamy doświadczenie losowe polegające na jednokrotnym rzucie trzema monetami i
obserwowania górnej strony monet. Przyjmijmy oznaczenia: o – wypadł orzeł, r – wypadła
reszka. Przyjmujemy, Ŝe monety są nierozróŜnialne.
a) Zdefiniuj zmienną losową.
b)
Wyznacz rozkład tej zmiennej losowej, podaj jego wykres.
c)
Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej.
Zadanie 2.
Obliczono – na postawie statystyki z wielu zawodów sportowych – Ŝe pewien biatlonista w
postawie stojącej średnio trafia do tarczy 9 razy na 10 strzałów. Jakie jest prawdopodobień-
stwo, Ŝe w pewnych zawodach spudłuje on raz, dwa razy, trzy lub cztery razy?
Wykorzystując schemat Bernoulliego obliczmy:
(
)
625
256
5
4
5
1
5
4
4
4
4
4
0
4
4
=
=
⋅
⋅
=
=
k
P
,
(
)
625
256
5
1
5
4
4
5
1
5
4
3
4
3
3
1
3
4
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
k
P
,
(
)
625
96
5
1
5
4
6
5
1
5
4
2
4
2
2
2
2
2
4
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
k
P
,
(
)
625
16
5
1
5
4
4
5
1
5
4
1
4
1
3
3
1
4
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
k
P
,
(
)
625
1
5
1
5
1
5
4
0
4
0
4
4
0
4
=
=
⋅
⋅
=
=
k
P
.
Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej losowej:
i
x
0
1
2
3
4
i
p
MoŜemy teraz takŜe obliczyć wartość oczekiwaną;
E(X) = …………………………….. = 3,2.
D
2
(X) = ……………. D(X) = …………………..
Zadanie 3.
Futerały do okularów sprzedaje się w kolorach zielonym i brązowym, przy czym tych w kolo-
rze zielonym jest trzy razy więcej niŜ w kolorze brązowym.. Są one pakowane w folię tak, Ŝe
nie da się bezpośrednio ustalić koloru futerału. Sprzedawca wyłoŜył na ladę 4 opakowania,
które wyjął z szuflady zawierającej 16 futerałów.
a) Określ rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, której wartościami to liczby opa-
kowań futerałów w kolorze zielonym.
b) Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.
Zadanie 4.
Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema rozróŜnialnymi kostkami do gry. Definiuje-
my zmienną losową X przyjmującą wartości równe sumie oczek na tych kostkach.
a)
Podaj rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej.
b)
Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.
Zadanie 5.
W loterii finansowej obowiązują następujące reguły:
•
rzucamy dwiema kostkami do gry,
•
wygrywamy 12 złotych, jeŜeli wylosujemy sumę oczek równą 12,
•
wygrywamy 6 złotych, jeŜeli wylosujemy sumę oczek równą 3,
•
we wszystkich pozostałych przypadkach przegrywamy 1 zł.
a)
Zdefiniuj zmienną losową związaną z tą loterią. Podaj rozkład tej zmiennej losowej.
b)
Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.