Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiI´
S, r. 2002/2003
I. Cz¸e´s´
c zadaniowa
1. Wyznaczy´c warto´sci parametr´ow k i m, tak aby funkcjaf (x) byÃla ci¸agÃla, gdzie
f (x) =
m
4 − x
2
√
x + 6 − 2
+ π4 dla x < −2
x(x + 1)
2
+ arctg k dla −2 ≤ x ≤ 0
1
4 arcctg (π + ln x) dla x > 0
2. Wyznaczy´c warto´s´c parametru a, a > 0, tak aby funkcja g(x) =
√
ax − x
2
speÃlniaÃla r´ownanie r´o˙zniczkowe (g(x))
3
· g
00
(x) + 1 = 0 Dla znalezionego a
wyznaczy´c warto´s´c najmniejsz¸a i najwi¸eksz¸a funkcji g(x) w caÃlej jej dziedzinie.
3. Obliczy´c caÃlki
a)
Z
ln x dx
(1 + x
2
)
3/2
b)
Z
dx
1 + e
x/2
+ e
x/3
+ e
x/6
4. Obliczy´c obj¸eto´s´c bryÃly powstaÃlej przez obr´ot krzywej
h(x) =
0,
x < −2
2 − |x|, −2 ≤ x ≤ 1
2
1−x
,
x > 1
dookoÃla jej asymptoty poziomej. Wykona´c rysunek otrzymanej bryÃly.
5. W zale˙zno´sci od parametru λ rozwi¸aza´c ukÃlad r´owna´
n
x + 6y − z = 1
2x + 3z = 2
3x + 6y + 5z = 5
5x + λy + 5z = 5
6. a) Rozwi¸aza´c r´ownanie z
2
− 3z + 3 + i = 0 w zbiorze liczb zespolonych.
b) Obliczy´c odlegÃlo´s´c punktu P (Re(z
1
+z
2
), 1, 0) od prostej
x
1
=
y + 1
−2
=
z − 1
−1
,
gdzie z
1
i z
2
oznaczaj¸a pierwiastki r´ownania otrzymane w punkcie a).
II. Cz¸e´s´
c teoretyczna
T.1 Poda´c definicj¸e pochodnej wÃla´sciwej funkcji w punkcie. W oparciu o t¸e definicj¸e
wyprowadzi´c wz´or na pochodn¸a funkcji f (x) =
1
cos x
. SformuÃlowa´c twierdzenie
o pochodnej funkcji zÃlo˙zonej.
T.2 Poda´c definicj¸e funkcji pierwotnej. Poda´c trzy dowolne przykÃlady funkcji pier-
wotnych dla funkcji g(x) = sin 2x. SformuÃlowa´c twierdzenie o caÃlkowaniu przez
cz¸e´sci dla caÃlek oznaczonych.
T.3 Poda´c definicj¸e i wÃlasno´sci (min. 3) iloczynu skalarnego wektor´ow. SformuÃlowa´c
warunek prostopadÃlo´sci i r´ownolegÃlo´sci wektor´ow w IR
3
. Obliczy´c iloczyn
skalarny wektor´ow ~a = −2~i + 3~k i ~b = 2~j − ~k.