Egzamin z Algebry, 5 II 2010
1. Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną n , dla której (
√
3 + i)
n
∈ R
Rozwiązanie:
√
3 + i = 2(cos
π
6
+ i sin
π
6
)
(
√
3 + i)
n
= 2
n
(cos
nπ
6
+ i sin
nπ
6
)
sin
nπ
6
= 0
nπ
6
= kπ , k ∈ Z
n = 6k
6
2. Dla jakiej wartości parametru p wyznacznik macierzy A jest równy -4 ?
A =
0
0 0 1
1
0 0 1
1 p
2
0 1
1
1 1 1
Rozwiązanie:
|A| =
0
0 0 1
1
0 0 1
1 p
2
0 1
1
1 1 1
= 1 · (−1)
5
·
1
0 0
1 p
2
0
1
1 1
= −p
2
= −4
p = ±2
3. Obliczyć wersor wektora ~
w = ~
v − 2~
u , jeżeli ~
v = [1, 0, 2] zaś ~
u = [1, 1, 0]
Rozwiązanie:
~
w = [−1, −2, 2]
| ~
w| =
√
1 + 4 + 4 = 3
~
w
| ~
w|
=
1
3
[−1, −2, 2] = [−
1
3
, −
2
3
,
2
3
]
[−
1
3
, −
2
3
,
2
3
]
4. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1, −3, 2) i pro-
stopadłej do płaszczyzny π : 2x + 3y − 4 = 0
Rozwiązanie:
Wektor kierunkowy prostej jest wektorem normalnym płaszczyzny ~
n = [2, 3, 0]
Równaie prostej:
x = 2t
y = −3 + 3t
z = 2
, t ∈ R
x = 2t
y = −3 + 3t
z = 2
5. Napisać równanie okręgu ośrodku S(−3, 4) , przechodzącego przez początke
układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Promień okręgu: r = OS =
q
(−3)
2
+ 4
2
= 5
Równanie okręgu: (x + 3)
2
+ (y − 4)
2
= 25
(x + 3)
2
+ (y − 4)
2
=
25
1
2. Rozwiązać równanie: z
4
− z
2
+ 1 = 0 , z ∈ C .
Rozwiązanie:
Podstawiamy w = z
2
w
2
− w + 1 = 0
∆ = 1 − 4 = −3
Obliczamy
√
∆ = ±i
√
3
w
1
=
1 − i
√
3
2
=
1
2
− i
√
3
2
w
2
=
1 + i
√
3
2
=
1
2
+ i
√
3
2
Zapisujemy w
1
i w
2
w postaci trygonometrycznej:
w
1
= cos(−
π
3
) + i sin(−
π
3
)
w
2
= cos(
π
3
) + i sin(
π
3
)
Rozwiązujemy równanie: z
2
= w
z =
√
w
1
z
1
= cos(−
π
6
) + i sin(−
π
6
) =
√
3
2
−
1
2
i =
√
3
2
−
1
2
i
z
2
= cos(
5π
6
) + i sin(
5π
6
) = −
√
3
2
+
1
2
i = −
√
3
2
+
1
2
i
z =
√
w
2
z
3
= cos(
π
6
) + i sin(
π
6
) =
√
3
2
+
1
2
i =
√
3
2
+
1
2
i
z
4
= cos(
7π
6
) + i sin(
7π
6
) = −
√
3
2
−
1
2
i = −
√
3
2
−
1
2
i
Odpowiedź:
z
1
=
√
3
2
−
1
2
i
z
2
= −
√
3
2
+
1
2
i
z
3
=
√
3
2
+
1
2
i
z
4
= −
√
3
2
−
1
2
i
2
3. Rozwiązać nierówność:
1
1
1
1 1
1
2
1
x 2
3
3 x −1 0
x x x
x
2
0
1
1
1
2 1
< 0
Rozwiązanie:
Obliczamy wyznacznik macierzy A
|A| =
1
1
1
1 1
1
2
1
x 2
3
3 x −1 0
x x x
x
2
0
1
1
1
2 1
= {k
0
1
= k
1
−k
3
} =
0
1
1
1 1
0
2
1
x 2
3 − x
3 x −1 0
0 x x
x
2
0
0
1
1
2 1
= {Rozw. Laplace’a wzgl. k
1
} =
(3 − x) · (−1)
4
1
1
1 1
2
1
x 2
x x x
2
0
1
1
2 1
= {k
0
1
= k
1
− k
4
} = (3 − x) ·
0
1
1 1
0
1
x 2
x x x
2
0
0
1
2 1
=
{Rozw. Laplace’a wzgl. k
1
} = (3 − x)x · (−1)
4
1
1 1
1 x 2
1
2 1
=
(3 − x)x(x + 2 + 2 − x − 4 − 1) = (3 − x)x · (−1) = x(x − 3)
x(x − 3) < 0
x ∈ (0, 3)
Odpowiedź:
x ∈ (0, 3)
3
4. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1, 2, 0) , równoległej do
płaszczyzny π : x + 2y − z + 4 = 0 oraz przecinającej prostą
l :
x = 2t
y = 1 − t
z = 3 + t
, t ∈ R
Rozwiązanie:
π
1
- płaszczyzna równoległa do π przechodząca przez punkt P
π
1
: x + 2y − z + D = 0
1 + 4 + D = 0
punkt P ∈ π
1
D = −5
π
1
: x + 2y − z − 5 = 0
A(x, y, z) - punkt przecięcia płaszczyzny π
1
i prostej l
x + 2y − z − 5 = 0
x = 2t
y = 1 − t
z = 3 + t
2t + 2(1 − t) − (3 + t) − 5 = 0
−t − 6 = 0
t = −6
A(−12, 7, −3)
Wketor kierunkowy prostej:
−→
P A = [13, −5, 3]
l
1
:
x − 1
13
=
y − 2
−5
=
z
3
Odpowiedź:
l
1
:
x − 1
13
=
y − 2
−5
=
z
3
4
5. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przeciecia osi układu współ-
rzędnych z płaszczyzną π : x + 3y + 2z − 6 = 0
Rozwiązanie:
Szukamy wierzchołków trójkąta:
x = 0 , y = 0 =⇒ 2z − 6 = 0 =⇒ z = 3
A(0, 0, 3)
x = 0 , z = 0 =⇒ 3y − 6 = 0 =⇒ y = 2
B(0, 2, 0)
y = 0 , z = 0 =⇒ x − 6 = 0 =⇒ x = 6
C(6, 0, 0)
Pole trójkąta jest równe:
S =
1
2
|
−→
AB ×
−→
AC|
−→
AB = [0, 2, −3]
−→
AC = [6, 0, −3]
−→
AB ×
−→
AC =
i j
k
0 2 −3
6 0 −3
= [−6, −18, −12]
S =
1
2
q
(−6)
2
+ (−18)
2
+ (−12)
2
= 3
√
14
Odpowiedź:
Pole trójkata S = 3
√
14
5
6. Wyznaczyć równanie sfery przechodzącej przez punkt O(0, 0, 0) , której środkiem S
jest punkt symetryczny do punktu P (1, −2, 7) względem prostej
l :
x = 2t
y = 1 + t
z = 2 − t
, t ∈ R
Rozwiązanie:
Szukamy płaszczyzny π prostopadłej do prostej l przechodzącej przez punkt P :
2x + y − z + D = 0
2 − 2 − 7 + D = 0
D = 7
2x + y − z + 7 = 0
Punkt Q przecięcia prostej l i płaszczyzny π jest rzutem punktu P na prostą l.
2 · 2t + (1 + t) − (2 − t) + 7 = 0
6t + 6 = 0
t = −1
Q(−2, 0, 3)
Wektor:
−→
P S = 2 ·
−→
P Q = 2 · [−3, 2, −4] = [−6, 4, −8]
Stąd:
S(−5, 2, −1)
Promień sfery:
r = OS =
q
(−5)
2
+ 2
2
+ (−1)
2
=
√
30
Równanie sfery:
(x + 5)
2
+ (y − 2)
2
+ (z + 1)
2
= 30
Odpowiedź:
Równanie sfery: (x + 5)
2
+ (y − 2)
2
+ (z + 1)
2
= 30
6