ALGEBRA sem.1
Arkusz zadaniowy nr 1 dla studentów
1. Oblicz: a)
2
i , b)
5
i , c)
12
i , d)
3
i , e)
8
)
( i
− , f)
4
i
− , g)
271
i , h)
24
)
( i
−
.
2. Wykonaj poniższe działania i zapisz wynik w postaci kartezjańskiej):
a) (2+7i)+(4+2i), b) (4+3i)-(1+12i), c) (1-i)-(3+5i), d) (7-2i)+(3+4i),
e) (1-3i)(3+2i), f) (12-5i)(-i), g) i(3+7i), h) (2+5i)(6+i),
i)
i
3
4
3
−
, j)
i
3
2
, k)
i
i
+
+
3
2
7
, l)
)
)(
(
i
i
i
4
3
5
2
6
+
−
−
.
3. Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej
a)
i
i
z
+
−
=
4
4
, b)
3
1
3
i
i
z
+
+
=
, c) z=
(
)(
)
2
1
3
1
3
)
(
i
i
i
+
+
−
+
.
4. Znaleźć liczby zespolone a i b takie, by zachodziła równość
a)
2i
-
6
=
5i)
-
b(4
+
3i)
+
a(2
, b)
3i
-
1
5i)
-
b(3
2i)
a(1
=
+
+
.
5.
Zapisać w postaci trygonometrycznej następujące liczby:
a)
i
z
2
2
1
−
=
b)
i
z
3
3
2
−
−
=
, c)
i
z
2
3
2
3
+
−
=
, d)
i
z
2
4
−
=
6.
Oblicz wartość wyrażenia
3
2
2
3
1
z
z
z
⋅
, gdy
+
=
8
sin
8
cos
2
1
π
π
i
z
,
+
=
5
5
2
π
π
sin
cos
i
z
,
+
=
10
3
10
3
3
3
π
π
sin
cos
i
z
.
7.
Obliczyć a)
3
8
− , b)
i
4
3
+ , c)
3
i
, d)
3
i
− .
8. Rozwiązać równania:
a) z
2
-6z+10=0, b) z
2
-(5+2i)z+(7+11i)=0,
c) z
2
-(3+2i)z+(5+5i)=0, d) z
2
+(1+i)z+(10+11i)=0,
9. Rozwiąż równania:
a) 0
1
3
=
−
z
, b)
0
8
3
=
+
z
, c)
0
1
4
=
+
z
, d)
0
16
4
=
−
z
,
e)
(
)(
)
0
1
1
4
2
=
−
+ z
z
, f)
(
)(
)
0
2
27
2
3
=
−
−
i
z
z
.
10. Podane wielomiany rozłóż na czynniki w dziedzinie zespolonej
a) 1
3
+
= z
z
W
)
(
, b)
8
3
−
= z
z
W
)
(
, c)
1
4
−
= z
z
W
)
(
,
d) 16
4
+
= z
z
W
)
(
, e)
(
)(
)
5
2
9
2
2
+
+
+
=
z
z
z
z
W
)
(
.
11. Rozwiąż równanie wiedząc, że podana liczba jest jego pierwiastkiem
x
4
+3x
3
+x
2
-7x-30=0, x
1
=-1+2i
12.
Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów
a)
}
/
|
|:
{
2
1
≤
−
∈
=
i
z
C
z
A
, b)
.
}
/
arg
|
|:
{
3
0
3
2
π
≤
≤
∧
≥
+
∈
=
z
i
z
C
z
B
13. Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów :
a)
0
2
2 =
+
−
z
z
Im
, e)
0
1
1 =
+
−
z
z
Re
, f)
3
2
1
=
+
−
i
z
, g)
3
3
2
1
≤
−
+
≤
i
z
.