1/4 

Lista 0 – rozwi zania 

(podstawy matematyki) 

Zadania 1-4 nale y rozwi zywa  z uwzgl dnieniem wspólnej jednostki oraz zapisu 10

x

. 

Zad. 1. 

a) A = 20·15 = 300 m

2

 

300·10

-6

 km

2

   = 300 m

2

   = 300·10

2

 dm

2

   = 300·10

4

 cm

2

  

= 300·10

6

 mm

2

  

b) A = 200·50 = 10·10

3

 m

2

 

10·10

-3

 km

2

  

= 10·10

3

 m

2

  = 10·10

5

 dm

2

  

= 10·10

7

 cm

2

  

= 10·10

9

 mm

2

  

c) A = 150·10

3

·6·10

4

 = 900·10

7

 mm

2

 = 9000·10

6

 mm

2

 

9000·10

-6

 km

2

   = 9000 m

2

   = 9000·10

2

 dm

2

   = 9000·10

4

 cm

2

   = 9000·10

6

 mm

2

  

 

Zad. 2. 

a) P

1

  = 178·10

-12

 km

2

   = 178·10

-6

 m

2

   = 178·10

-4

 dm

2

   = 178·10

-2

 cm

2

   = 178 mm

2

  

b) P

2

  = 20·10

-7

 km

2

   = 2 m

2

  

= 200 dm

2

  

= 20·10

3

 cm

2

  

= 20·10

5

 mm

2

  

c) P

3

  = 7,6·10

-8

 km

2

   = 7,6·10

-2

 m

2

  

= 7,6 dm

2

  

= 760 cm

2

  

= 7,6·10

4

 mm

2

  

d) P

4

  = 12·10

-9

 km

2

   = 0,012 m

2

  

= 1,2 dm

2

  

= 1,2·10

2

 cm

2

   = 1,2·10

4

 mm

2

  

 

Zad. 3. 

1 in = 25,4 mm 

16,4·10

-6

 m

3

   = 16,4·10

-3

 dm

3

   = 16,4 cm

3

  

= 16,4·10

3

 mm

3

   = 1 in

3

  

a) V = 50·80·120 = 480·10

3

 cm

3

 

480·10

-3

 m

3

   = 480 dm

3

  

= 480·10

3

 cm

3

   = 480·10

6

 mm

3

   = 480·10

6

 in

3

 

b) V = 1,2·0,6·0,8 = 0,576 m

3

 

0,576 m

3

  

= 576 dm

3

  

= 0,576·10

6

 cm

3

   = 576·10

6

 mm

3

   = 29,3·10

3

 in

3

 

c) V = 30·40·50 = 60·10

3

 in

3

 

0,984 m

3

  

= 984 dm

3

  

= 984·10

3

 cm

3

   = 984·10

6

 mm

3

   = 60·10

3

 in

3

 

 

Zad. 4. 

a) P

1

  = 45,6·10

-6

 m

3

   = 45,6·10

-3

 dm

3

   = 45,6 cm

3

  

= 45600 mm

3

  

b) P

2

  = 20,6·10

-6

 m

3

   = 20,6·10

-3

 dm

3

   = 20,6 cm

3

  

= 20,6·10

3

 mm

3

  

c) P

3

  = 0,34·10

-3

 m

3

   = 0,34 dm

3

  

= 340 cm

3

  

= 340·10

3

 mm

3

  

d) P

4

  = 17,9·10

-3

 m

3

   = 17,9 dm

3

  

= 17900 cm

3

  

= 17,9·10

6

 mm

3

  

 

Zad. 5. 

l

1

  =   200  km 

l

2

  =   15  km 

l

3

  =  1500  km 

l

4

  =   32,7  km 

l

5

  =   350  km 

l   =  2097,7  km = 2100 km 

 

Zad. 6. 

V

1

  =   200 

dm

3

 

V

2

  =   150 

dm

3

 

V

3

  =   210 

dm

3

 

V

4

  =   91,7  dm

3

 

V   =   651,7  dm

3

= 652 dm

3

 

 

 

2/4 

Zad. 7. 

m

1

  =   90 

kg 

m

2

  =   150 

kg 

m

3

  =   125 

kg 

m

4

  =   78 

kg 

m

p

  =  

5,4  kg 

m   =   448,4  kg = 448 kg 

 

Zad. 8. 
a) 

7

1

=

m

; 

3

5

=

m

; 

0

=

m

; 

A

B

m 3

=

 

b) 

1

=

n

; 

33

17

−

=

n

; 

12

7

−

=

n

; 

5

2

−

+

=

A

C

B

n

 

c) 

=

=

2

lub

3

p

p

; 

2

4

3

4

16

B

BC

A

AB

AC

p

+

−

+

−

=

; 

A

C

B

p

)

1

(sin

sin

−

=

; 

)

sin

(cos

)

(

C

A

AC

A

C

B

p

−

−

=

 

d) 

A

B

AB

m

−

=

  

 

 

 

Zad. 9. 

a) 

2

2

t

h

g

=

; 

g

h

t

2

=

 

b) 

1

2

2

1

sin

sin

sin

α

α

α

F

F

F

−

=

; 

2

1

1

2

sin

sin

sin

α

α

α

F

F

F

−

=

 

c) 

)

(

2

1

v

v

t

l

+

=

; 

2

1

v

t

l

v

−

=

; 

1

2

v

t

l

v

−

=

 

 

Zad. 10. 

a) 

2

2

mm

0

,

95

4

=

= d

A

π

 

b) 

2

2

cm

707

=

= r

A

π

 

c) 

m

138

4 =

=

π

A

d

 

 

Zad. 11. 

a) 

3

3

2

mm

10

4

,

31

4

⋅

=

⋅

=

H

D

V

π

 

b) 

mm

6

,

66

=

=

A

V

H

 

c) 

cm

6

,

22

4 =

=

H

V

D

π

 

 

 

 

 

 

3/4 

Zad. 12. 

a) 

=

=

5

,

6

2

n

m

 

b) 

−

=

−

=

)

(

5

1

)

(

5

1

A

B

n

B

A

m

 

c) 

+

+

=

+

−

=

B

B

B

B

A

n

B

B

A

B

m

cos

sin

2

cos

sin

sin

cos

sin

2

)

sin

2

(

cos

 

 

Zad. 13. 

Mo na wyznaczy  c z twierdzenia Pitagorasa 

1

,

14

2

10

2

2

=

=

−

=

b

a

c

 

a) 

940

,

0

sin

=

=

a

c

α

; 

333

,

0

cos

=

=

a

b

α

; 

82

,

2

tg

=

=

b

c

α

; 

355

,

0

ctg

=

=

c

b

α

 

b) 

333

,

0

sin

=

=

a

b

β

; 

940

,

0

cos

=

=

a

c

β

; 

355

,

0

tg

=

=

c

b

β

; 

82

,

2

ctg

=

=

b

c

β

 

 

Zad. 14. 
Odległo  q mo na wyznaczy  z zale no ci trygonometrycznej: 

p

q

=

β

cos

 

m

6

,

21

cos

=

=

β

p

q

 

Odległo  r mo na wyznaczy  

albo z zale no ci trygonometrycznej: 

p

r

=

β

sin

,  

albo z zale no ci trygonometrycznej: 

q

r

=

β

tg

,  

albo z twierdzenia Pitagorasa 

2

2

2

p

q

r

=

+

 

m

6

,

12

2

2

=

−

=

q

p

r

 

 

Zad. 15. 

a) 

Wg rysunku w zadaniu. 

b) 

Współrz dne  punktu  pocz tkowego  A  wektora  mo na  wyznaczy   z  zale no ci 

13

−

=

−

=

x

x

x

P

B

A

 oraz 

6

=

−

=

y

y

y

P

B

A

, zatem 

(

)

6

,

13

−

A

. 

c) 

Współrz dne  wektora 

P  mo na  wyznaczy   z  zale no ci 

3

−

=

−

=

x

x

x

A

B

P

  oraz 

2

=

−

=

y

y

y

B

A

P

, zatem 

P = [-3,2]. 

 

 

 

 

 

 

 

 

4/4 

Zad. 17. 

E=A+B; E = [-1,5]; E = 5,10 

F=B+C; F = [9,3]; F = 9,49 

G=A+B+C; G = [5,3]; G = 5,83 

H=A–B; H = [-7,-5]; H = 8,60 

I=B–C; I = [-3,7]; I = 7,62 

J=C–(A+B); J = [7,-7]; J = 9,90 

 

Zad. 18. 

A

x

 = –2,50; A

y

 = –4,33; B

x

 = 6,93; B

y

 = 4,00; C

x

 = –2,12; C

y

 = 2,12 

E=A+B; E

x

 = 4,43; E

y

 = –0,33; E = 4,44 

F=B+C; F

x

 = 4,81; F

y

 = 6,12; F = 7,78 

G=A+B+C; G

x

 = 2,31; G

y

 = 1,79; G = 2,92 

H=A–B; H

x

 = –9,43; H

y

 = –8,33; H = 12,6 

I=B–C; I

x

 = 9,05; I

y

 = 1,88; I = 9,24 

J=C–(A+B); J

x

 = –6,55; J

y

 = 2,45; J = 6,99 

K=3A–2C; K

x

 = –3,26; K

y

 = –17,2; K = 17,5 

 

Zad. 19. 

B

1

=

C-A; B

1

 = [-7,-1] 

B

2

=-

A-C; B

2

 = [-3,-1] 

 

Zad. 20. 

A=A

1

+

A

2

+

A

3

; 

A = [-2,1]; A = 2,24 

 

Data: 23.04.2010