Modelowanie układów mechatronicznych w środowiskach obliczeniowych     

WYKŁAD 

Opracowali z notatek 

 

Piotr Zamorski 

Piotr Papaj 

 

WYKŁAD 1 
 
Modelowanie ma na celu przeprowadzenie symulacji na układach dynamicznych. 

Układy dynamiczne – są układami w których wielkości opisujące te układy ulegają chwilowym 
zmianom. Wielkość jest cechą , którą można wyrazić jednostkowo i wyznaczyć ilościowo. 

Symulacja – eksperyment numeryczny prowadzony na pewnego rodzaju modelu – matematycznym , 
informatycznym, lub rzeczywistym, celem określenia znaczenia zmian wartości parametrów lub 
wartości zmiennych objaśniających dla wartości zmian prognozowanych. 

Do przeprowadzenia symulacji zazwyczaj konieczne jest zbudowanie modelu matematycznego 
symulowanego obiektu . Symulacja zastępuje wykonanie eksperymentu na badanym obiekcie. 

Model  
 

„Taki dający się pomyśleć lub materialnie zrealizować układ, który odzwierciedlając lub 

odtwarzając przedmiot badania zdolny jest zastępować go tak, że jego badanie dostarcza  nam nowej 
wiedzy o przedmiocie.” 
Model to zatem teoretyczny opis badania obiektów , który charakteryzuje się cechami 
- jest pewnym uproszczeniem , idealizacją rzeczywistości  
- jest w sensie pewnego kryterium zbieżny z rzeczywistością 
- jest na tyle prosty, że możliwa jest jego analiza dostępnymi metodami obliczeniowymi 
- jego analiza dostarcza nam nowej informacji o obiekcie badań 
 
Modelowanie zjawisk i procesów dynamicznych może posłużyć : 
- próbie zrozumienia istoty procesu w celu predykcji jego przebiegu w wyniku zmiennych warunków 
przy różnych wartościach parametrów. 
- umożliwia badanie cech jakościowych procesu np. stabilności , sterowalności , obserwowalności , 
które mają ogromne znaczenie przy rozpatrywaniu go w dłuższym przedziale czasu . 
- umożliwienie sztywnego sterowania procesem poprzez wpływanie w określony sposób na jego 
parametry wewnętrzne . 
- zastosowanie modelu w systemie adaptacyjnym zamkniętym wnoszącym zmianę procesu w 
kierunku pożądanym przez użytkownika. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Schemat badania własności dynamicznych układu rzeczywistego: 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Najczęściej stosowane założenia upraszczające polegają na : 
- uproszczeniu kształtu geometrycznego rozpatrywanego układu 
- założeniu jednorodności materiału poszczególnych elementów rozpatrywanego układu 
- przyjęcie pewnych elementów rozpatrywanego modelu jako brył idealnie sztywnych 
- przyjęciu pewnych elementów modelu jako nieważkie 
- założeniu liniowych charakterystyk właściwości fizycznych modelu 
- założeniu że wielkość parametrów fizycznych układu rzeczywistego są niezmienne w czasie 
- pominięcie mało istotnych oddziaływań zewnętrznych między rozpatrywanym układem a 
otoczeniem 
- pominięcie mało istotnych oddziaływań wewnętrznych między poszczególnymi elementami układu 
- zastąpieniu procesów stochastycznych jakie zachodzą w układzie rzeczywistym procesami 
zdeterminowanymi. 
 
Symulacja układów dynamicznych  

1)

 

Wyprowadzenie równań dynamiki dla utworzonego modelu fizycznego , implementacja 
numeryczna i przeprowadzenie symulacji 

2)

 

Budowa modelu układu rzeczywistego w postaci reprezentacji symbolicznej np. Working 
model, SimMechanics  (Matlab) 

3)

 

Przeprowadzenie symulacji układu na podstawie modeli 2D, 3D utworzonego w specjalnym 
programie np. Inventor, ADAMS 

 
Postać równań ruchu stosowanych podczas badania dynamiki układów: 
- układy o stałej konfiguracji – symulacja drgań    

 +  +   =  

- układy o zmiennej konfiguracji – symulacja ruchu      

  =  
   


  =  = 
, ,   + 



 
 



,   


,   = 0 

Stopnie swobody modeli układów dyskretnych: 
lasyfikacja więzów: 
- więzy skleronomiczne 
- więzy reonomiczne 
- więzy holonomiczne – więzy skleronomiczne + reonomiczne 
- więzy nieholonomiczne 

UKŁAD RZECZYWISTY 

MODEL DYSKRETNY 

MODEL FIZYCZNY 

MODEL MATEMATYCZNY 

PROGRAM KOMPUTEROWY 

WYNIKI OBLICZEŃ 

DANE DO OBLICZEŃ 

Modelowanie fizyczne 

Przygotowanie danych do 

programu komputerowego 

Modelowanie dyskretne 

Modelowanie matematyczne 

Programowanie 

Wykonanie obliczeń 

Wykład  2 
Równanie ruchu zmiennych zależnych  

Sformułowanie polega na rozbiciu układu będącego układem nieswobodnym na układ składający się z 
członów swobodnych: Dla którego równania ruchu mają postać: 

=A(p)v 
M(p)

 + h(p,v) = f(p, v, t)    Są zmiennymi stanu ruchu układu 

Współrzędne położenia:  p = [ p

1

, … , p

n

]

T   

Składowe prędkości:    v = [v

1

, … , v

n

]

T

 

Nałożenie na układ swobodny więzów w miejscu występowania par kinematycznych członów, 
powoduje że zmienne stają się zależne, a równanie ruchu układu swobodnego uwzględnia reakcje 
więzów w formie mnożników Lagrange’a λ = [λ

1

, … , λ

r

]

T

 i zapisuje się w postaci równania ruchu 

nieswobodnego: 
M(p) 

 + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

 (p, t)λ 

Równanie to uzupełnia się o równanie więzów, odpowiadające liczbie mnożników Lagrange’a  

m jako ograniczenia nałożone na prędkości układu: 

 ɸ (p, t) = 0 
 C

NH

 (p, t)v – η

NH

 (p, t) = 0 

Ostatecznie równanie ma postać: 

=A(p)v 
M(p) 

 + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

 (p, t)λ 

ɸ (p, t) = 0 
 C

NH

 (p, t)v – η

NH

 (p, t) = 0 

Ze względu ma komplikację polegające na wyznaczeniu wartości początkowych dla mnożników 
Lagrange’a równania więzów zastępuje się ich różniczką względem czasu, czyli więzami 
kinematycznymi II rzędu, wyróżniających m ograniczej nakładanych na przyspieszenie układu. 
Równanie ruchu będące równaniami różniczkowymi-algebraicznymi przyjmują wówczas postać: 

=A(p)v 
M(p) 

 + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

 (p, t)λ 

C(p, t

  = ξ(p, v, t) 

*przy czym p i v realizują warunki równań więzów niższych rzędów 

ɸ (p

0

, t

0

) = 0 

C(p

0

, t

0

)v

0

 - η (p

0

, t

0

) = 0 

 

Eliminacja jawna 

Po wyliczeniu kilku przekształceń otrzymamy równanie ruchu w postaci: 

=A(p)v 
M

 + h = f + C

T

 (CM

-1

 C

T

)

-1

 [ξ - CM

-1 

(f - h)] 

Uwagi - Wynikiem stosowania jawnej eliminacji mianowników(?) Lagrange’a otrzymujemy 2

n

 równań 

różniczkowych zwyczajnych względem zmiennych p i v.  
Metoda ta jest rzadko wykorzystywana ze względu na skomplikowane działania macierzowe i 
problemy podczas wyznaczania mnożników Lagrange’a układów składających się z dużej liczby 
członów. 
Eliminacja niejawna 

Macierzowa reprezentacja równania ruchu: 

=A(p)    (*) 
 −



0  

  

λ 

 = 

 − ℎ 

ξ "

 

Przekształcając równanie powyższe do postaci: 

 λ = G

-1

 g = g’ (p, v, t)   (**) 

Równania (*) i n pierwszych równań  (**) odpowiadać będzie Z

n

 równań różniczkowych zwyczajnych I 

stopnia względem p i v a pozostałe m równań (**) mnożnikom λ w zależności od aktualnych 
zmiennych stanu ruchu. 

Uwagi 
Metoda ta jest powszechnie stosowana ze względu na łatwość formułowania równań ruchu i 
możliwość automatyzacji tego procesu. 

Eliminacja rzutowa 

Metoda przedstawiająca geometryczne równania ruchu układu nieswobodnego. Układ nieswobodny, 
sprowadza się do punktu materialnego znajdującego się w n-wymiarowej przestrzeni układu, a 
dynamicznie równania ruchu układu nieswobodnego przedstawia się wektorowo. 
Równanie ruchu układu nieswobodnego, przedstawione w postaci wektorowej: 

M(p)v + h(p, v) = f(p, v, t) + C

T

 (p, t)λ 

 

 

↕ 

 

          

b$ = f̅ + r̅ 

b$ (b = M v +h) 
f̅ (f) i  r̅ (r = C

T

 λ) 

 

 

 

 

 

Siła dynamiczna zrównoważona na …. równa się sile czynnej i reakcji więzów jest adekwatna z 
ograniczeniami nałożonymi przez więzy    

b$ = fc* + r̅ 

Jeżeli siła dynamiczna zrzutowana będzie na kierunek styczny to odpowiadać będzie dynamicznemu 
równaniu ruchu. Oswobodzenie więzów od reakcji , równań ruchu ma postać 

+

,

$$$ = -

,

* 

 

Podsumowanie : 

- Przedstawione metody modelowania układów wieloczłonowych różnią się sposobem otrzymywania 
równań ruchu.  
- Modelowanie w zmiennych zależnych cechuje się prostotą formułowania równań ruchu a proces 
ten można zautomatyzować. Jednakże wynikiem tego są duże wymiary generowanych równań ruchu 
w postaci równań różniczkowo algebraicznych co znacząco obniża dokładność z powodu dużego 
wymiaru równań. Mogą także wystąpić nałożenia więzów, co powoduje zastosowanie dodatkowych 
algorytmów w celu ich niwelowania. Ostatecznie po wybraniu odpowiedniej metody eliminacji 
mnożników, wynikiem modelowania w zmiennych zależnych są równania w postaci równań 
różniczkowych zwyczajnych. 
- Modelowanie w zmiennych niezależnych jest z założenia uwolnione od reakcji więzów a 
otrzymywane równania mają minimalny wymiar. Rozwiązywanie otrzymanych równań ruchu jest 
bardziej wydajnie i dokładne niż w przypadku zmiennych zależnych. Jednakże większy wkład pracy 
potrzebny jest na etapie modelowania dla każdego układu. 
 

( przykład pominięty ze względu na 3 strony samych popierdolonych wzorów) 

 

WYKŁAD 3 

Modelowania układu elektromechanicznego. 

M

(t) + (C

v

 + C

g

) 

(t) + K

q

(t) = Q  

 

układ mechaniczny 

,

,.

 L

i

 + R

i

 = U   →   M

el

 =  

/
0

 i

T

 

,

,1

 L

i  

 

układ elektryczny 

Gdzie: M, C

v, 

K, C

g

, macierze bezwładności, tłumienia, sztywności i efektu żyroskopowego, M

el

 – 

moment elektromagnetyczny.ω

1

-prędkośc kątowa wirnika. 

Postać równań ruchu opisują zjawiska dynamicznego układu 
Układy o stałej konfiguracji – symulacja drgań 
M

 + C + kq = Q 

Układy o zmiennej konfiguracji – symulacja ruchu      

  =  
   


  =  = 
, ,   + 



 
 



,   


,   = 0 

 

Metody układania dynamicznych równań ruchu: 
- metody sił: równanie Newtona, równanie d’Alamberta, prawa Kirchoffa, 
- metody energetyczne: równania Lagrange’a II rodzaju, analogie elektromechaniczne 
 

 

Równanie drgań elektrycznych szeregowego obwodu LRC 

 

Równanie drgań elektrycznych równoległego obwodu LRC 

 

 

 

 

 

 

Podobieństwa i analogie 

 

 

Układ mechaniczny 

I elektryczny układ analogii 

II elektryczny układ analogii 

Siła   P 

Napięcie   U(t) 

Prąd   I(t) 

Przemieszczenie   x 

Ładunek   q 

Strumień   ψ 

Prędkość   v 

Prąd   I 

Napięcie   U 

Masa   m 

Indukcyjność   L 

Pojemność   C 

Współ. tłumienia   c 

Oporność   R 

Przewodność   1/R 

Sztywność   k 

Odwro. pojemności   1/C 

Odwro. Indukcyjności   1/L 

 

Układ mechaniczny 

 

 

E

k 

= 

/
0

 mv

2

 = 

/
0

 m

2

2

 

E

p

 = V = 

/
0

 kx

2

 

E

d

 = D = 

/
0

 cu

2 

= 

/
0

 c

2

2

 

I układ analogii elektrycznych 

 

 

E

k

 = E

1e

 =  

/
0

 LI

2

 = 

/
0

 L



2

 = W

m

 

E

p

 = V

1e

 =  

/

03

q

2

 = W

e

  

E

d

 = D

1e

 =  

/
0

 RI

2

 = 

/
0

 R



2

 

II układ analogii elektrycznych 

 

 

E

k

 = E

2e

 = 

/
0

 CU

2

 = 

/
0

 C

4

2

 = W

e

 

E

p

 = V

2e

 = 

/

03

 ψ

2

 = W

m

 

E

d

 = D

2e

 = 

/

05

 U

2

 = 

/

05

 

4

2

 

 

Czujnik sejsmiczny

 
 

Model matematyczny 

Dynamika układów wieloczłonowych z zastosowaniem w badaniach w biomechanice i dynamice 
pojazdów. 
a) rodzaje współrzędnych - współrzędne kartezjańskie 
 

 

 

    -  współrzędne naturalne 

 

 

 

    - współrzędne względne 

Współrzędne względne – położenie ciała jest określone przez podanie współrzędnej kartezjańskeij 
q

i 

= [r

T

p

T

]

T

i 

= [x y z e

0 

e

1 

e

2 

e

3

]

 T

i 

Współrzędne  zastosowane do opisu układu są zależne od współrzędnej kartezjańskiej 
Zalety – mała liczba współczynników i równań więzów 
 

-równania ruchu są równaniami różniczkowymi 

Wady – złożone obliczenia 
 

-nieliniowy układ 

Współrzędne kartezjańskie – położenie każdego ciała jest określone przez współrzędne kartezjańskie 
względem globalnego układu odniesienia 
q

i 

= [r

T

p

T

]

T

i 

= [x y z e

0 

e

1 

e

2 

e

3

]

 T

i 

Zalety – łatwe wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem komputera 
 

- równania ze średnim stopniem złożoności 

Wady – duża liczba równań różniczkowych 
 

-duża liczba współrzędnych 

Współrzędne naturalne – położenie pojedynczego ciała jest określone przez współrzędną naturalne 
będące globalnymi współrzędnymi kartezjańskimi układu punktów oraz wersorów bazowych ciała 
Zalety – prosta  forma równań 

- brak niewygodnych w opisie ruchów obrotowych współrzędnych kątowych 

Wady – bardzo duża liczba współrzędnych (?) 
 

- duża liczba ..() 

 
Moment siły względem środka masy : 
 

6

7

8∗

− wersor momentu siły

 

:

7



 – moment siły ϕ względem środka masy

 
 
 
 
Układy wielu ciał  
Co trzeba umieć ! - kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera,  przypadki 
osobliwości współrzędnych obrotowych, 
element tłumiący 
 
Siły działające na układ 
 - siły skupione 
- momenty skupione 
-siły generowane przez elementy sprężysto tłumiące 
Dla każdej przyłożonej siły niezbędne jest aby zweryfikować 

WYKŁAD OSTATNI 
Poprzez system mechaniczny rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszy
mogą się przemieszczać względem siebie
 

 

siły względem środka masy : 6

7

8

 6

7

8∗

   ;̃

7

=

:

7



>

7

   

ersor momentu siły 

względem środka masy 

kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera,  przypadki 

osobliwości współrzędnych obrotowych, -> siła tłumiąca, rozpoznawanie kształtu, model Hertza, 

siły generowane przez elementy sprężysto tłumiące  

niezbędne jest aby zweryfikować – idealne współrzędne przyłożonej siły…

rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszy

mogą się przemieszczać względem siebie 

kąty Eulera, macierz transformacji, kąty bryant, parametry Eulera,  przypadki 

> siła tłumiąca, rozpoznawanie kształtu, model Hertza, 

idealne współrzędne przyłożonej siły… 

 

rozumiemy układ ciał ( ogniw) z których część z nich lub wszystkie 

Poszczególne systemy mechaniczne mogą znacznie od siebie odbiegać. Przykładem najprostszych z 
nich może być zwykłe wahadło , powszechnie wykorzystywany mechanizm czworoboku 
przegubowego bądź mechanizm korbowo wodzikowy . 
 
 
Układ ciał połączonych ruchowo stanowi łańcuch kinematyczny 
Łańcuch kinematyczny jest zbiorem członów i par kinematycznych  
Wyróżniamy łańcuchy kinematyczne otwarte i zamknięte  
Para kinematyczna jest to połączenie ruchowe dwóch członów 
Para kinetyczna odbiera część stopni swobody członu przez nią związanych 
Pary kinetyczne dzieli się na klasy w zależności od liczby stopni swobody oraz w zależności od tego 
jakie rodzaje ruchu. 
 
Przez klasę pary kinetycznej „i” (i=1,2…5) rozumie się liczbę odebranych stopni swobody jednemu 
członowi przez współpracujący z nim drugi człon 
- klasę pary kinematycznej określamy z zależności  i = 6-s gdzie liczba podstawowych stopni swobody  
W celu określenia klasy pary kinetycznej należy unieruchomić myślowo jeden z członów tworzących 
parę i odliczyć pozostałe drugiemu członowi stopnie swobody. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jeżeli człony stykają się powierzchniowo ( na rys płaskim wzdłuż linii lub punktowo) to taką parę 
nazywamy niższą  
 
 
 
 
 
 
Jeżeli stykają się liniowo lub punktowo ( na rys płaskich tylko punktowo lub taką parę nazywamy 
wyższą. 
 
Kinetyka łańcuchów otwartych - Współrzędne Hantenbarga Denavita  
Zakładamy że z każdą parą obrotową 

…..

o numerze i wiąże się lokalny układ współrzędnych x

i

,y

i

,z

i

 

 
Oś x

i

 przecina prostopadle oś z

i+i

 związaną z następną parą  

Oś y

i 

stanowi dopełnienie osi xi , xi do prawoskrętnego układu współrzędnych. 

Układ nieruchomy związany z ostoją oznaczamy x

o

y

o

z

o

 

 
Przejście do układu x

i+1

 , y

i+1

 , z

i+1 

do układu x

i

,y

i

z

i

  związane jest wtedy zawsze z czterema 

przekształceniami elementarnymi wykonywanymi w określonej kolejności 

1)

 

Obrót wokół osi z

i+1

 o kąt ϑ tak aby oś x

i+1

 .. 

2)

 

Przesunięcie równoległe wzdłuż osi  z

i+1

 o odległość d tak aby os x

i+1 

pokryła się z osią x

i

 

3)

 

Przesunięcie równoległe wzdłuż osi x

i+1 

(x

i

) o odległość l tak aby pokryły się ze sobą początki 

obu układów współrzędnych  

4)

 

4) obrót wokół osi x

i+1 

(x

i

) o kąt α tak aby oś z

i+1 

pokryła się z osią z

i 

a oś y

i+1

  pokryła się z osią 

y

i

 

4 współrzędne  : ϑ, d, l i α nazywa się współrzędnymi Hanterberga Denavita ( współrzędnymi HD) 
 
Tworzenie macierzy przejścia i macierzy orientacji 

Zgodnie z wzorem Ƭ= Ƭek…Ƭe2 Ƭe1 macierz przejścia, biorąc pod uwagę 4 opisane wcześniej 
przekształcenia będą miały następującą postać : Ƭ=R

x

(α)T(l,0,d)R

z

)ϑ) 

Wyznaczając zaś cały otwarty łańcuch kinetyczny współrzędnymi HD

…..

 

 
Dla każdych dwóch kolejnych par kinetycznych można zbudować macierz przejścia z układu xp yp zp 
związanego z ostatnią parą kinetyczną (ostatnią w danej gałęzi drzewa) do nieruchomego układu. 
 
Przesunięcie równoległe układu współrzędnych 
P[x’y’]=T(∆2,

 ∆@)p[x,y]- warunek przesunięcia równoległego układu. 

 
Trzy liczby tzn. dwie współrzędne oraz jedynkę zastępowane są współrzędnymi jednorodnymi 
(homogenicznymi) 
Wyprowadzenie współrzędnych jednorodnych , wymaga aby macierz obrotu R została rozszerzona: 

A
B  = C

DE;B

−;F6B

;F6B

DE;B

0

0

B           0       1

H 

 
 
W celu uogólnienia powyższych zagadnień na przypadek przestrzenny należy zastosować 4 
współrzędne jednorodne x,y,z i 1  
Macierz przestrzennego przesunięcia równoległego układu : 
 


∆2, ∆@, ∆I  = 

J

K

K

L

1

0

0

1

0

0

−∆2

−∆@

0

0

0

0

1

0

−∆I

1 M

N

N

O

 

 
Przesunięcie równoległe układu współrzędnych  oraz obroty wokół 3 osi układu nazwiemy 
przekształceniami elementarnymi 
 
Przekształcenia elementarne można składać  Ƭ= Ƭek°…°  Ƭe2 ° Ƭe1 
Gdzie Ƭ oznacza przekształcenie będące wynikiem złożenia k przekształceń elementarnych  
p[x’,y’,z’] =  Ƭp[x,y,z] gdzie Ƭ= Ƭ

ek

 … Ƭ

e2

 , Ƭ

e1

 jest macierzą przejścia , będącą iloczynem ( w kolejności 

„od tyłu”) macierzy przekształceń elementarnych. 
Translacja wektora 
Rozpatrzmy wektor, który zaczepiony jest w początku układu xyz, a jego koniec leży w punkcie p. 
Aby znaleźć odpowiedni wzór transformujący współrzędne wektorów należy utworzyć macierz 
podobną do macierzy przejścia, ale mnożąc ją jedynie macierzą obrotów i pomijając macierz 
translacji. 

…..

 

 
Układy dwuwymiarowe – współrzędne uogólnione q=[ Ф] 

Współrzędne bezwzględne q=

C

Ф1

Ф2

Ф3

H 

Współrzędne kartezjańskie q=[x

1

,y

1

Ф

1

, x

2

,y

2

Ф

2,

 x

3

,y

3

Ф

3

] 

 
 

Współrzędne 
uogólnione 

Współrzędne 
bezwzględne 

Współrzędne 
kartezjańskie 

Ilość współrzędnych 

Minimum 

średnia 

duża 

Ilość wzajemnych zależności 
algebraicznych 

brak

Otrzymane równania ruchu 

trudne

Otrzymanie pochodnych 
równań  ruchu 

trudne

Stopień nieliniowości 

brak

Wydajność numeryczna 

Wydajna 

Komputerowa synteza 
równań 

trudna

 
Zadanie programowania liniowego ZPL 
ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania 
nieliniowego. 
- jeżeli funkcje ograniczeń są liniowe a funkcja celu 
 
Metody numeryczne są w stanie znaleźć miejsca zerowe funkcji 
metody charakteryzują 

…..

 

 
Szczegółowa analiza badanego układu jest wstępem do właściwej 
systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania 
równań ruchu. 
Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może 
ograniczać układ. 
 
 
 

 

Stopnie swobody układu 
 - liczba el * 3 stopnie swobody 
 - liczba par obrotowych * 2 równania
- liczba przesuwnych 
- liczba el Uz * 3 równania 
 

 

brak 

Średnia 

Duża

trudne 

Średnia trudność 

Łatwe

trudne 

Średnia trudność 

Łatwe

brak 

Średni 

niski

Wydajna  

Wydajna 

Średnio wydajna

trudna 

Relatywnie trudna 

łatwa

Zadanie programowania liniowego ZPL – jest to zadanie w którym definiowane  się funkcje celi i 
ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania 

jeżeli funkcje ograniczeń są liniowe a funkcja celu  

Metody numeryczne są w stanie znaleźć miejsca zerowe funkcji Ф
x    0. Jednak w zależności od 

Szczegółowa analiza badanego układu jest wstępem do właściwej analizy kinetycznej czy dynamicznej 
systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania 

Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może 

 

 

= 15 niewiadomych  

= 12 niewiadomych

liczba par obrotowych * 2 równania 

= 12 

=8 

=0 

=0 

= 3       –> 15 równań 

= 3      ->11 równań

Brak rozwiązania 

1 stopień swobody

Duża 

Łatwe 
Łatwe 

niski 
Średnio wydajna 
łatwa 

jest to zadanie w którym definiowane  się funkcje celi i 

ograniczenia są funkcjami liniowymi. W przeciwnym przypadku jest to zadanie programowania 

. Jednak w zależności od 

analizy kinetycznej czy dynamicznej 

systemu. Znajomość stopni swobody mechanizmu może być przydatne w procesie formułowania 

Często zdarza się, że obrazowe przedstawienie mechanizmu może być mylące. Kilkoro węzłów może 

= 12 niewiadomych 

>11 równań 

1 stopień swobody