Lista 1
?
?
?
Badanie przebiegu zmienno´sci funkcji.
TEORIA
Badanie zmienno´sci funkcji nale˙zy przeprowadza´c według nast ˛epuj ˛acego wzoru:
1. okre´slamy dziedzin ˛e funkcji,
2. badamy zachowanie funkcji w kra´ncach okre´slono´sci,
3. znajdujemy miejsca zerowe,
4. okre´sliamy zbiory, na których funkcja jest ró˙zniczkowalna (czy istnieje f’, f” itd.) ,
5. badamy granice pochodnej (i by´c mo˙ze drugiej pochodnej) na kra´ncach jej dziedziny,
6. znajdujemy punkty krytyczne funkcji (miejsca zerowe pochodnej),
7. badamy monotoniczno´s´c funkcji (znak pierwszej pochodnej),
8. znajdujemy ekstrema lokalne, liczymy warto´sci jakie funkcja przyjmuje w tych punk-
tach,
9. badamy wypukło´s´c funkcji i punkty przegi ˛ecia, liczymy warto´sci w punktach przegi ˛ecia,
10. badamy asymptotyk ˛e funkcji,
11. sporz ˛adzamy wykres funkcji.
( ´
Zródło: "Wykład analizy matematematycznej cz ˛e´s´c 1", Wojciech Kryszewski)
ZADANIA
1. Wyznaczy´c dziedzin ˛e nast ˛epuj ˛acych funkcji:
a. y
= 1 − logx,
b. y
= 1 −
√
1 − x
2
,
c. y
=
1
x
2
−1
,
1
d. y
=
x
√
x
2
−3x
+2
,
e. y
= log
x
2,
f. y
= arcsin
√
2x,
g. y
=
√
x
+
3
q
1
x−
2
− log(2x − 3),
h. y
= logsinx.
2. Znale´z´c ekstrema lokalne nast ˛epuj ˛acych funkcji:
a. y
= x
3
− 2ax
2
+ a
2
x
, dla a > 0,
b. y
= x +
√
1 − x,
c. y
= x
2
e
−x
,
d. y
=
1
+3x
√
4
+5x
2
,
e. y
= x − ln(1 + x),
f. y
= 2x − ln(2x + 3),
g. y
= sin
3
x
,
h. y
= 4arctgx − lnx,
i. y
=
5
√
x
2
− x,
j. y
=
x
lnx
.
3. Wyznaczy´c przedziały monotoniczno´sci nast ˛epuj ˛acych funkcji:
a. y
= (x − 2)
5
(2x
+ 1)
4
,
b. y
= (x − 6)
√
x
,
c. y
=
1−x
+x
2
1
+x+x
2
,
d. y
=
10
4x
3
−9x
2
+6x
,
e. y
= x − 2sinx, dla 0 6 x 6 2π,
f. y
= ln(x +
√
1
+ x
2
),
g. y
= x − 3
3
√
x
,
h. y
= xe
x
2
,
i. y
= ln
2
x
+ lnx,
j. y
= 2sinx + cos2x, dla 0 6 x 6 2π.
4. Znale´z´c najwi ˛eksze i najmniejsze warto´sci danych funkcji:
a. y
= x
4
− 2x
2
+ 5 w przedziale [−2, 2],
b. y
= x + 2
√
x
w przedziale [0, 4],
c. y
=
1−x
+x
2
1
+x−x
2
w przedziale [0, 1],
2
d. y
= (x − 2)
2
x
2
w przedziale [−2, 3,
e. y
=
1
x
2
+1
w przedziale [−2, 1],
f. y
= x
2
e
x
w przedziale [−3, 1],
g. y
= (x + 2)e
1
x
w przedziale [−2, −
1
2
],
h. y
=
√
x − x
w przedziale [0, 4],
i. y
= sin2x − x w przedziale [−
π
2
;
π
2
].
5. Zbada´c przedziały wypukło´sci
/wkl˛esło´sci nast˛epuj˛acych funkcji:
a. y
= x
3
,
b. y
= xlnx,
c. y
=
lnx
√
x
,
d. y
= ln(1 + x
2
),
e. y
= x
4
− 6x
2
,
f. y
= (x
2
+ 1)e
x
,
g. y
= xe
−4x
,
h. y
= arcsin(
1−x
2
1
+x
2
).
6. Znale´z´c równania asymptot danych krzywych:
a. y
=
x
2
+
2
x
,
b. y
=
x
2
−3x
+2
x
2
+3x+2
,
c. y
= (x +
1
x
+2
)arcctgx,
d. y
= x +
lnx
x
,
e. y
=
1
e
2x
−1
,
f. y
= e
1
x
− x,
g. y
=
√
x
2
− 4x,
h. y
= xarctg
1
x
i. y
= 4x − tgx w przedziale (−
π
2
,
π
2
).
7. Zbada´c przebieg zmienno´sci i narysowa´c wykresy nast ˛epuj ˛acuch funkcji:
(a) y
= x
3
+ x
2
− 16x − 16,
(b) y
=
5
(2x
+1)
2
,
(c) y
=
3
√
x
2
e
x
,
(d) y
=
x
2
−x−4
x−
1
,
(e) y
= x + 2
√
−x,
3
