Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
1/3
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
2:
A
LGEBRA PRAVDIVOSTNÝCH HODNÔT VÝROKOV
1. príklad (24/Pr. 3)
Zadanie: Dokážte, že
a) výrok
(
)
(
)
′
∧
′
⇒
′
′
⇒
A
B
B
A
je tautológia.
b) výrok
(
) (
)
′
′
∧
⇒
′
∨
B
A
B
A
je kontradikcia.
Dôkaz (priamy):
a)
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
(
) (
)
(
) (
)
[
]
⇔
∨
′
∨
′
∨
′
⇔
∨
′
∨
′
∧
⇔
′
∨
⇒
∧
⇔
′
∧
′
⇒
′
′
⇒
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
B
A
A
B
B
A
B
B
A
′
∨
∨
′
⇔
Posledný výrok je zrejme tautológiou, pretože jeden z výrokov
B
B
′
,
je vždy pravdivý (bez
oh
ľ
adu na pravdivostnú hodnotu výroku
B
)
b)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
[
]
(
)
B
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
′
∧
∧
′
∧
⇔
∧
∧
′
∧
′
⇔
∧
∧
′
∨
⇔
′
′
∧
⇒
′
∨
Posledný výrok je zrejme kontradikciou, pretože výroky
A
A
′
,
(ani
B
B
′
,
) nemôžu by
ť
sú
č
asne
pravdivé.
2. príklad (24/3)
Zadanie: Predpokladajme, že výrok
P
je pravdivý, výrok
Q
je nepravdivý a o pravdivostnej hodnote
výroku
R
nemáme informácie. Rozhodnite, pre ktoré z nasledujúcich zložených výrokov možno
ur
č
i
ť
pravdivostnú hodnotu a ur
č
te ju.
a)
(
)
R
Q
P
∧
∨
b)
(
)
R
Q
P
⇒
∧
c)
(
)
R
Q
P
∨
⇒
d)
(
)
R
Q
P
∨
⇔
e)
(
)
′
′
∧
⇒
′
R
Q
P
Riešenie:
Urobíme si tabu
ľ
ku, v ktorej vyzna
č
íme, akú pravdivostnú hodnotu budú ma
ť
dané výroky pri
rôznych pravdivostných hodnotách výroku
R
:
P
Q
R
(
)
R
Q
P
∧
∨
(
)
R
Q
P
⇒
∧
(
)
R
Q
P
∨
⇒
(
)
R
Q
P
∨
⇔
(
)
′
′
∧
⇒
′
R
Q
P
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
2/3
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
2:
A
LGEBRA PRAVDIVOSTNÝCH HODNÔT VÝROKOV
Zložené výroky a) a b) sú vždy pravdivé (nezávisle od pravdivostnej hodnoty výroku R). Zložený
výrok e) je vždy nepravdivý. Pravdivostné hodnoty zložených výrokov c) a d) sa nedajú ur
č
i
ť
bez
znalosti pravdivostnej hodnoty výroku R.
3. príklad (26/13)
Zadanie: Vyjadrite všetky logické spojky iba pomocou konjunkcie a negácie.
Riešenie:
(
) (
)
′
′
∧
′
⇔
∨
B
A
B
A
(
)
(
)
(
)
′
′
∧
⇔
′
′
⇒
⇔
⇒
B
A
B
A
B
A
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
′
′
∧
∧
′
′
∧
⇔
⇒
∧
⇒
⇔
⇔
A
B
B
A
A
B
B
A
B
A
4. príklad (26/15)
Zadanie: Vyjadrite všetky logické spojky iba pomocou implikácie a negácie.
Riešenie:
(
) (
)
′
′
⇒
⇔
∧
B
A
B
A
(
) (
)
(
)
(
)
B
A
B
A
B
A
B
A
⇒
′
⇔
′
′
⇒
′
⇔
′
′
∧
′
⇔
∨
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
′
′
⇒
⇒
⇒
⇔
⇒
∧
⇒
⇔
⇔
A
B
B
A
A
B
B
A
B
A
5. príklad (26/16)
Zadanie: Nájdite zložený výrok
Z
obsahujúci iba konjunkcie a negácie, ktorý je ekvivalentné
s výrokom
(
) (
)
C
B
B
A
∨
⇔
⇒
.
Riešenie:
Najprv si zapíšeme pravdivostné hodnoty výroku
(
) (
)
C
B
B
A
∨
⇔
⇒
v závislosti od pravdivostných
hodnôt výrokov
C
B
A
,
,
:
A
B
C
B
A ⇒
C
B
∨
(
) (
)
C
B
B
A
∨
⇔
⇒
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
3/3
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
2:
A
LGEBRA PRAVDIVOSTNÝCH HODNÔT VÝROKOV
K výsledku sa dopracujeme postupne – najprv vytvoríme výrok pravdivý iba v prípade
( ) ( ) ( )
0
=
=
=
C
P
B
P
A
P
. Takýmto výrokom je
(
)
C
B
A
′
∧
′
∧
′
. Zárove
ň
musíme vytvori
ť
výrok, ktorý je
pravdivý iba v prípade
( )
( ) ( )
1
;
0
=
=
=
C
P
A
P
B
P
, a teda
(
)
C
B
A
∧
′
∧
. Konjunkcia negácií týchto
výrokov bude teda pravdivá vo všetkých prípadoch okrem spomínaných dvoch, a teda bude ma
ť
rovnaké pravdivostné hodnoty ako výrok
(
) (
)
C
B
B
A
∨
⇔
⇒
. Výsledným výrokom je teda:
(
) (
)
′
∧
′
∧
∧
′
′
∧
′
∧
′
C
B
A
C
B
A
.