-1- 

 

Metoda Elementów Skończonych 

Kolokwium I 

1.  Metody analizy 

A

NALITYCZNA (model matematyczny, równania, hipotezy) 

 

Zalety: 



 

niski koszt 



 

ogólny charakter rozwiązania 

Wady: 



 

złożony aparat matematyczny 



 

przybliżone wyniki 

 

D

OŚWIADCZALNA (rzeczywista konstrukcja - prototyp) 

 

Zalety: 



 

rzeczywista 



 

dokładny wynik 

Wady: 



 

wysoki koszt 



 

jednostkowe rozwiązanie 

 

N

UMERYCZNA (model komputerowy) 

 

Zalety: 



 

ogólny charakter rozwiązania 



 

szybkość 

Wady: 



 

wysoki koszt 



 

przybliżone wyniki 

2.  Dyskretyzacja, zasada stacjonarności 

D

YSKRETYZACJA  -  podział  złożonego  układu  (problemu)  na  mniejsze  części  (jeżeli  nie  można  rozwiązać 

zagadnienia  złożonego,  można  spróbować  podzielić  je  na  zagadnienia  proste).W  MES  jest  to  podział  na 
elementy skończone (całkowanie funkcji - branie pod uwagę elementarnych części). 

Z

ASADA  STACJONARNOŚCI  -  układ  mechaniczny  jest  w  równowadze,  jeżeli  pierwsza  wariacja  całkowitej 

energii potencjalnej układu jest równa zero (rzeczy przyjmują taki kształt, dla którego jego energia potencjalna 
jest najmniejsza) 

   

 

         

Zasada stacjonarności dla dyskretnego modelu MES: 

 

  

 

  

 

                 

      

    

k - sztywność 
u - przemieszczenie 
f  -  funkcja  kształtu  (opisuje 

zachowanie pomiędzy węzłami) 

[K] - macierz sztywności 

    - 

wektor przemieszczeń

 

  

 - 

wektor siły 

3.  Systemy MES 

S

YSTEMY 

MES: 



 

ANSYS 



 

ABAQUS 



 

Adina 

M

ODUŁY SYSTEMU 

MES: 



 

preprocesor (przygotowanie) 



 

procesor (rozwiązanie) 



 

postprocesor (wizualizacja) 

W

YMAGANIA STAWIANE UŻYTKOWNIKOWI

: 



 

znajomość mechaniki konstrukcji 



 

znajomość danych wymaganych przez system 



 

umiejętność modelowania 

D

ANE WEJŚCIOWE

: 



 

komputerowy  model  konstrukcji  (geometria, 
podział na elementy) 



 

własności materiałów (moduł Younga, granica 
plastyczności, współczynnik Poissona itp.) 



 

warunki brzegowe (podparcie, obciążenie) 

 

-2- 

 

4.  Elementy skończone i ich podział, rząd elementu 

 

P

ODZIAŁ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

: 

I.  Z

E WZGLĘDU NA KSZTAŁT

 

 

II.  Z

E WZGLĘDU NA ZASTOSOWANIE 

(

MODELE KONSTRUKCJI

) 

 

-3- 

 

III.  Z

E WZGLĘDU NA RODZAJ ANALIZY

 

 

T

ARCZA - przenosi obciążenie jedynie w płaszczyźnie (dwa stopnie swobody)

 

P

ŁYTA - tylko się wygina

 

P

OWŁOKA - połączenie tarczy i płyty (posiada 6 stopni swobody) 

 

R

ZĄD ELEMENTU

 



 

pierwszy - element liniowy (4 węzły) 



 

drugi - element kwadratowy (6 węzłów) 

 

5.  Tworzenie modeli MES 

B

UDOWA MODELU W SYSTEMIE 

MES 

 

Zalety: 



 

możliwość parametryzacji modelu 



 

łatwa modyfikacja modelu 

Wady: 



 

długi czas przygotowania modelu od podstaw 

 
I

MPORT ISTNIEJĄCEGO MODELU

 

 

Zalety: 



 

użycie  istniejącego  modelu  -  krótki  czas 
przygotowania 

Wady: 



 

utrudniona modyfikacja modelu 



 

brak parametryzacji modelu 



 

ukryte wady modelu - import z błędami 

E

TAPY BUDOWY MODELU KONSTRUKCJI

: 



 

zdefiniowanie parametrów geometrycznych 



 

tworzenie szkicu 



 

wymiarowanie szkicu 



 

nałożenie powiązań na elementy szkicu (symetria, równoległość, współosiowość itp.) 



 

generowanie bryły (obrót, wyciągnięcie) 

-4- 

 

6.  Typy modeli 



 

modele pełne 



 

modele uproszczone (dla przyspieszenia obliczeń) 

 

wykorzystanie symetrii 

 

wykorzystanie odpowiednich elementów 

 

redukcja wymiaru (3D → 2D) 

 

usuwanie zbędnych detali (zaokrąglenia, niewielkie otwory itp.) 

7.  Układy współrzędnych, własności i modele materiałów 

U

KŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH

: 



 

globalny układ współrzędnych dla analizy 



 

lokalny układ współrzędnych dla modelu 

 

kartezjański 

 

cylindryczny 



 

lokalny układ współrzędnych elementu 

 

W

ŁASNOŚCI MATERIAŁÓW

: 

W zależności od rodzaju analizy wymagane są różne własności materiału 



 

moduł Younga E 



 

współczynnik Poissona ν 



 

granica plastyczności R

e

 



 

doraźna wytrzymałość na rozciąganie R

m

 



 

gęstość ρ itd. 

 

M

ODELE MATERIAŁÓW

: 

Materiał sprężysty: 

 

Parametry: E, ν 

Materiał sprężysto-plastyczny: 

 

Parametry: E, ν, R

e

, E

T 

Materiał rzeczywisty (eksperyment): 

 

 
Wartości inżynierskie: 
σ, ε 

σ= σ(ε) 

Wartości rzeczywiste: 

σ

real

= σ(1+ ε

real

) 

ε

real

=ln(1+ ε) 

Wartość

  ε

real

  to  różniczka  d

ε,  gdyż  w  każdej  chwili 

długość początkowa jest inna 

 

-5- 

 

8.  Podparcie i obciążenie modelu 

P

ODPARCIE - jego definiowanie polega na odbieraniu stopni swobody w wybranych węzłach. Wprowadzone 

do  modelu  warunki  podparcia  powinny  odzwierciedlać  warunku  rzeczywiste.  Należy  pamiętać  aby: 

uniemożliwić  ruch  modelu  jako  całości,  odebrać  najmniejszą  konieczną  liczbę  stopni  swobody  i  nie 
przesztywnić modelu.  
Rodzaje podparcia: 

SZTYWNE  -  odbieramy  wszystkie 
stopnie swobody - utwierdzenie 

 

PRZESUWNE  -  odbieramy  dwa 
stopnie  swobody  -  obrót  i 
przesunięcie v (pionowe) 

 

PRZEGUBOWE  -  odbieramy  jeden 
stopień swobody - obrót 

 

Sposoby podparcia: 



 

na płaszczyźnie 



 

na krawędzi 



 

w punktach (węzłach) 

 

O

BCIĄŻENIE 

-

 RODZAJE

: 



 

skupione - siła skupiona w punkcie 



 

rozłożone - liniowe, powierzchniowe 



 

objętościowe - siła odśrodkowa, siła elektromagnetyczna, grawitacja 

Każde  obciążenie  jest  ostatecznie  sprowadzane  do  węzłów.  Obciążenie  ciągłe  przyłożone  do  modelu  jest  w 
rzeczywistości obciążeniem dyskretnym. 
9.  Symetria modelu 
Aby stworzyć symetrię, modelujemy fragment i odbieramy odpowiednie stopnie swobody. 
Przyłożenie siły: 

 

Przyłożenie obciążenia ciągłego: 

 

Mamy  długość  w  mianowniku  więc  niczego  nie 

zmieniamy, przykładamy to samo. 

 

 

 
Przyłożenie ciśnienia: 
Analogicznie jak w przypadku obciążenia ciągłego. 

 

-6- 

 

10. Etapy przygotowania modelu 

M

ODELOWANIE 

MES

  -  wg  Steele  -  analiza  problemu  inżynierskiego  i  przygotowanie  najbardziej 

efektywnego zestawu danych wejściowych (modelu), które ułatwią rozwiązanie problemu. 
Etapy przygotowania modelu: 

I. 

Z

DEFINIOWANIE PROBLEMU

 



 

Cele analizy 

 

jaki problem należy rozwiązać? 

 

jaki poziom dokładności jest wymagany? 

 

jakie parametry mogą wpłynąć na zachowanie konstrukcji? 



 

Dokładny opis geometrii 

 

czy dostępne są rysunki konstrukcji? 

 

czy rzeczywista konstrukcja odpowiada rysunkom? 

 

jakie są oczekiwane tolerancje wykonania 

 

jakie nieokreślone efekty tolerancji i pasowań mogą zmienić zachowanie konstrukcji? 

 

jaka część konstrukcji powinna być włączona do analizy MES? 

 

czy można wykorzystać symetrię do zmniejszenia złożoności modelu? 



 

Siły 

 

jakie rodzaje sił działają na konstrukcję: statyczne, dynamiczne czy termiczne? 

 

jakie jest położenie i wartość tych sił? 

 

jakie są parametry obciążeń zmiennych, dynamicznych i termicznych? 



 

Podparcia 

 

jakie typy podparcia występują w konstrukcji: sztywne, przesuwne czy przegubowe? 

 

w jakim miejscu należy podeprzeć konstrukcję? 

 

jakie są ograniczenia przemieszczeń (ugięć)? 

II. 

O

PRACOWANIE SCHEMATU WOLNEGO OD WIĘZÓW

 



 

przygotować szkic modelu 



 

oznaczyć ewentualne płaszczyzny symetrii 



 

zidentyfikować miejsca przyłożenia sił i miejsca podparcia 



 

wybrać i nanieść typ obciążenia i podparcia 

III.  O

PRACOWANIE MODELU 

MES 



 

podział modelu na elementy skończone 



 

przyłożenie obciążeń 



 

podparcie modelu 

11. Przygotowanie siatki 

1.  Wybór  rodzaju  elementu  (belkowy,  powłokowy 

itp.) 

2.  Wybór rzędu elementu (liniowy, kwadratowy) 

3.  Wybór  kształtu  siatki  (trójkątna,  czworokątna, 

mieszana) 

4.  Określenie globalnej gęstości siatki 
5.  Określenie miejsc lokalnego zagęszczenia 

6.  Analiza i poprawa siatki 

Należy unikać: 



 

zapadniętych elementów siatki 



 

połączonych węzłów 



 

nałożenia się węzłów 



 

skrzyżowań 

 
Siatka  czworokątna  jest  lepsza,  gdy  mamy  symetrię  i  powtarzające  się  elementy.  Trójkątna  wówczas  jest 

nierównomierna i powoduje, że wynik analizy jest niesymetryczny, chociaż przedmiot był. Najlepsza siatka jest 
mieszana.