Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
1/23
O
BWODY MAGNETYCZNE SPRZĘśONE
Strumień magnetyczny:
d
S
Φ
=
⋅
∫
B S (1)
Strumie
ń
skojarzony z cewk
ą
:
w
Ψ
Φ
= ⋅
(2)
Indukcyjno
ść
własna:
L
i
Ψ
=
(3)
Je
ś
li w przekroju poprzecznym cewki z rdzeniem pole jest równomierne:
2
,
wHS
w S
L
i
i
l
Ψ
µ
µ
=
≈
=
(4)
gdzie:
S, l – pole przekroju rdzenia i średnia
długość drogi magnetycznej. Przy wyprowadzeniu
uŜyto prawa przepływu:
(przepływ), czyli w przybl.:
H dl
H l
i w
⋅ = Θ
⋅ = ⋅
∫
Dla cewki toroidalnej:
2 2
ś
r
,
2
w r
L
R
µ
=
(5)
gdzie:
r – promień przekroju poprzecznego cewki,
R
ś
r
– średni promień cewki.
Przenikalność magnetyczna statyczna:
st
B
H
µ
=
(6)
Przenikalność magnetyczna dynamiczna:
dyn
d
d
B
H
µ
=
(7)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
2/23
I
NDUKCYJNOŚĆ WZAJEMNA
Rys. 1. Podział całkowitego strumienia na strumień główny i rozproszenia.
Strumień główny i strumień rozproszenia:
11
1
1
+
g
s
Φ
Φ Φ
=
(8)
Strumienie magnetyczne skojarzone z cewką
1
oraz cewk
ą
2
wynosz
ą
:
11
1
11
1g
1
1g
1s
1
1s
12
2
1g
,
,
,
w
w
w
w
Ψ
Φ Ψ
Φ Ψ
Φ
Ψ
Φ
=
=
=
=
(9)
Indukcyjno
ść
własna cewki
1
:
11
1
11
1
1
1
w
L
i
i
Ψ
Φ
=
=
(10)
Indukcyjno
ść
wzajemna cewki
1
z cewk
ą
2
:
2
1g
12
12
1
1
w
M
i
i
Φ
Ψ
=
=
(11)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
3/23
Po przełączeniu zasilania do cewki 2 będzie:
22
2
2
+
g
s
Φ
Φ Φ
=
(12)
Indukcyjność
własna cewki
2
:
22
2
22
2
2
2
w
L
i
i
Ψ
Φ
=
=
(13)
Indukcyjno
ść
wzajemna cewki
2
z cewk
ą
1
:
1
2g
21
21
2
2
w
M
i
i
Φ
Ψ
=
=
(14)
Je
ś
li cewki znajduj
ą
si
ę
w
ś
rodowisku o takiej samej przenikalno
ś
ci
magnetycznej
µ
, to indukcyjno
ś
ci wzajemne s
ą
takie same:
12
21
12
21
1
2
M
M
M
i
i
Ψ
Ψ
=
=
=
=
(15)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
4/23
I
NDUKCYJNOŚĆ GŁÓWNA I INDUKCYJNOŚĆ ROZPROSZENIA
Indukcyjność główna cewki 1 oraz cewki 2:
1g
1
1g
2g
2
2g
1g
2g
1
1
2
2
,
w
w
L
L
i
i
i
i
Ψ
Φ
Ψ
Φ
=
=
=
=
(16)
Indukcyjność rozproszenia cewki
1 oraz cewki 2:
1s
1
1s
2s
2
2s
1s
2s
1
1
2
2
,
w
w
L
L
i
i
i
i
Ψ
Φ
Ψ
Φ
=
=
=
=
(17)
Ze wzgl
ę
du na wzór (8) otrzymuje si
ę
:
1
1g
1s
2
2g
2s
,
L
L
L
L
L
L
=
+
=
+
(18)
Zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy indukcyjno
ś
ciami głównymi a indukcyjno
ś
ci
ą
wzajemn
ą
:
2
1g
2
1
1
1g
2g
1g
2g
2
1
2
2g
2
, czyli:
, oraz:
L
w
w
w
L
M
L
M
L L
w
w
L
w
=
=
=
=
(19)
Indukcyjność wzajemna jest średnią geometryczną indukcyjności
głównych.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
5/23
W
SPÓŁCZYNNIK SPRZĘśENIA
1g
1s
11
11
1
Φ
Φ
Φ
Φ
+
=
(20)
Współczynniki sprzęŜenia cewek
1 i 2:
1g
2g
1
2
11
22
,
k
k
Φ
Φ
Φ
Φ
=
=
(21)
Współczynniki rozproszenia cewek
1 i 2:
1s
2s
1
2
11
22
,
Φ
Φ
σ
σ
Φ
Φ
=
=
(22)
Ich suma:
1
1
2
2
1,
1
k
k
σ
σ
+
=
+
=
(23)
Iloczyn:
(
)
1 2
1
2
1
2
1
k k
σ σ σ σ
= −
+
−
(24)
Współczynnikiem sprz
ęŜ
enia cewek nazywamy
ś
redni
ą
geometryczn
ą
:
1 2
k
k k
=
(25)
Wypadkowy współczynnik rozproszenia to dopełnienie wzoru (24) do jedynki:
1
2
1
2
σ σ σ σ σ
=
+
−
(26)
Wtedy:
2
1
k
σ
+ =
(27)
Współczynniki sprz
ęŜ
enia mo
Ŝ
na wyliczy
ć
z proporcji:
1g
2g
1
2
1
2
,
, 0
1.
L
L
k
k
k
L
L
=
=
≤ ≤
(28)
a po uwzgl
ę
dnieniu równania (19)
1
2
M
k L L
=
(29)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
6/23
Z
WROT NAWINIĘCIA CEWEK A ZNAK INDUKCYJNOŚCI WZAJEMNEJ
Rys. 2. Dwie cewki sprzęŜone o zgodnym i przeciwnym kierunku nawinięcia.
Gwiazdka oznacza początek uzwojenia. JeŜeli przy połączeniu 1 i 2 strumienie
się dodają (prądy w cewkach są wtedy zgodne), znak indukcyjności wzajemnej
jest +M.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
7/23
B
ILANS NAPIĘĆ PRZY ZGODNYM NAWINIĘCIU CEWEK
Rys. 3. Cewki nawinięte zgodnie i ich schemat.
Bilans napięć strony pierwotnej przy i
2
= 0:
1
1 1
1
1
d
d
i
R i
L
u
t
+
=
(30)
Po pojawieniu si
ę
pr
ą
du i
2
zgodnie z prawem Faraday'a strumie
ń
z nim
zwi
ą
zany indukuje po stronie pierwotnej sił
ę
elektromotoryczn
ą
e
1
, podobnie dla
strony wtórnej:
21
2
12
1
1
2
,
i
i
e
M
e
M
t
t
t
t
Ψ
Ψ
∂
∂
∂
∂
= −
= −
= −
= −
∂
∂
∂
∂
(31)
Bilans napi
ęć
dla obydwu stron:
1
2
1 1
1
1
2
1
2 2
2
2
i
i
R i
L
M
u
t
t
i
i
R i
L
M
u
t
t
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂
∂
+
+
= −
∂
∂
(32)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
8/23
B
ILANS NAPIĘĆ PRZY PRZECIWNYM NAWINIĘCIU CEWEK
Rys. 4. Cewki nawinięte przeciwnie i ich schemat.
Bilans napięć strony pierwotnej przy i
2
= 0:
1
1 1
1
1
d
d
i
R i
L
u
t
+
=
(33)
Po pojawieniu si
ę
pr
ą
du i
2
zgodnie z prawem Faraday'a strumie
ń
z nim
zwi
ą
zany indukuje po stronie pierwotnej sił
ę
elektromotoryczn
ą
e
1
, podobnie dla
strony wtórnej (indukcyjno
ść
wzajemna jest ujemna):
21
2
12
1
1
2
,
i
i
e
M
e
M
t
t
t
t
Ψ
Ψ
∂
∂
∂
∂
= −
=
= −
=
∂
∂
∂
∂
(34)
Bilans napi
ęć
dla obydwu stron:
1
2
1 1
1
1
2
1
2 2
2
2
i
i
R i
L
M
u
t
t
i
i
R i
L
M
u
t
t
∂
∂
+
−
=
∂
∂
∂
∂
+
−
= −
∂
∂
(35)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
9/23
P
OŁĄCZENIE SZEREGOWE CEWEK SPRZĘśONYCH
Rys. 5. Połączenie szeregowe cewek nawiniętych zgodnie i przeciwnie.
Strumienie skojarzone przy zgodnym kierunku nawinięcia cewek:
(
)
(
)
1
11
21
1
2
22
12
2
L
M i
L
M i
Ψ Ψ Ψ
Ψ Ψ
Ψ
=
+
=
+
=
+
=
+
(36)
Indukcyjność całego połączenia:
1
2
1
2
2
L
L
L
M
i
i
Ψ Ψ Ψ
+
=
=
= + +
(37)
Strumienie skojarzone przy przeciwnym nawini
ę
ciu cewek:
(
)
(
)
1
11
21
1
2
22
12
2
L
M i
L
M i
Ψ Ψ Ψ
Ψ Ψ
Ψ
=
−
=
−
=
−
=
−
(38)
Indukcyjno
ść
całego poł
ą
czenia:
1
2
1
2
2
L
L
L
M
i
i
Ψ Ψ Ψ
+
=
=
= + −
(39)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
10/23
Gdy współczynnik sprzęŜenia między cewkami wynosi k = 1, wtedy:
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
L
L
L
M
L
L
L L
L
L
= + ±
= + ±
=
±
(40)
Inny przypadek szczególny, to cewki jednakowe:
1
2
, wtedy przy zgodnym nawinięciu
4 , przy przeciwnym
0.
L
L
L
L
L
=
=
=
(41)
Gdy współczynnik sprzęŜenia wynosi k = 0, to:
1
2
niezaleŜnie od kierunku nawinięcia cewek.
L
L
L
= +
(42)
Wprowadzając współczynnik sprzęŜenia k moŜna udowodnić, Ŝe wypadkowa
indukcyjność jest zawsze dodatnia:
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
0
L L
L
M
L
L
k L L
L
L
L L
L
L
= + −
= + −
≥ + −
=
−
≥
(43)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
11/23
P
OŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE CEWEK SPRZĘśONYCH
Rys. 6. Połączenie równoległe cewek nawiniętych zgodnie i przeciwnie.
Impedancje zespolone cewek, bez sprzęŜenia:
1
1
1
2
2
2
j
,
j
Z
R
L
Z
R
L
ω
ω
=
+
=
+
(44)
Impedancja zwią
zana ze sprz
ęŜ
eniem:
12
21
j
Z
Z
M
ω
=
=
(45)
Bilans napi
ęć
przy zgodnym nawini
ę
ciu:
1
1
21
2
12
1
2
2
Z I
Z I
U
Z I
Z I
U
+
=
+
=
(46)
St
ą
d pr
ą
dy w cewkach wynosz
ą
:
2
12
1
12
1
2
2
2
1
2
12
1
2
12
,
Z
Z
Z
Z
I
U
I
U
Z Z
Z
Z Z
Z
−
−
=
=
−
−
(47)
Impedancja wej
ś
ciowa układu cewek zgodnie nawini
ę
tych:
2
1
2
12
1
2
1
2
12
2
U
U
Z Z
Z
Z
I
I
I
Z
Z
Z
−
=
=
=
+
+
−
(48)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
12/23
Bilans napięć przy przeciwnym kierunku nawinięcia:
1
1
21
2
12
1
2
2
Z I
Z I
U
Z I
Z I
U
−
=
−
+
=
(49)
Impedancja wejściowa wynosi wtedy:
2
1
2
12
1
2
12
2
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
−
=
+
+
(50)
Gdy nie ma sprzęŜeń:
M = 0, Z
12
= jω
M = 0
1
2
1
2
Z Z
Z
Z
Z
=
+
(51)
Gdy rezystancje są równe zeru,
Z
1
= jω
L
1
, Z
2
= jω
L
2
i dla zgodnego i
przeciwnego kierunku nawinięcia cewek otrzymuje się:
2
1
2
1
2
2
L L
M
L
L
L
M
−
=
+
∓
(52)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
13/23
T
RANSFORMATOR POWIETRZNY
Rys. 7. Transformator powietrzny o cewkach nawiniętych przeciwnie.
Bilans napięć transformatora przy przeciwnym kierunku nawinięcia cewek:
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
obc
2
2
j
j
j
j
R I
L I
MI
U
R I
L I
MI
Z
I
U
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
−
= −
= −
(53)
Wykres wskazowy odpowiadaj
ą
cy schematowi z rys. 7:
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
obc
2
obc
2
1
j
j
j
j
j
R I
L I
MI
U
R I
L I
R
I
X
I
MI
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
+
+
=
Rys. 8. Wykres wskazowy.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
14/23
Rys. 9. Transformator powietrzny o cewkach nawiniętych zgodnie.
Bilans napięć transformatora przy zgodnym kierunku nawinięcia cewek:
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
obc
2
2
j
j
j
j
R I
L I
MI
U
R I
L I
MI
Z
I
U
ω
ω
ω
ω
+
+
=
+
+
= −
= −
(54)
Wykres wskazowy odpowiadaj
ą
cy schematowi z rys. 9 zgodnie z równaniem
(54) o postaci:
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
obc
2
obc
2
1
j
j
j
+jX
=
j
R I
L I
MI
U
R I
L I
R
I
I
MI
ω
ω
ω
ω
+
+
=
+
+
−
Rys. 10. Wykres wskazowy.
Na obu ostatnich wykresach wskazowych przyj
ę
to,
Ŝ
e odbiornik ma charakter
indukcyjno-czynny:
obc
obc
obc
j
Z
R
X
=
+
(55)
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
15/23
S
CHEMAT ZASTĘPCZY TRANSFORMATORA POWIETRZNEGO
Układ równań (53) moŜna zapisać w postaci macierzowej:
1
1
1
1
2
2
2
2
j
j
j
j
I
R
L
M
U
I
M
R
L
U
ω
ω
ω
ω
+
−
=
−
+
−
(56)
Układ ten opisuje nast
ę
puj
ą
cy schemat zast
ę
pczy:
Rys. 11.
Schemat zastępczy transformatora z cewkami nawiniętymi przeciwnie.
Bilans napi
ęć
schematu zast
ę
pczego (metoda oczkowa) daje to samo równanie
(56):
[
]
[
]
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
j (
)
j
j
j
j (
)
j
I
R
ω
L
M
ω
M
I
ω
M
U
I ω M
I
R
ω
L
M
ω
M
U
+
−
+
−
=
−
+
+
−
+
= −
Natomiast układowi (54) moŜna nadać postać:
1
1
1
1
2
2
2
2
j
j
j
j
I
R
L
M
U
I
M
R
L
U
ω
ω
ω
ω
+
−
=
−
−
+
(57)
któremu odpowiada układ zastępczy (bilans napięć jest analogiczny, jak
powyŜej, wystarczy zmienić znak
I
2
oraz
U
2
):
Rys. 12. Schemat zastępczy transformatora z cewkami nawiniętymi zgodnie.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
16/23
C
EWKA NA RDZENIU STALOWYM
Napięcie jest związane ze strumieniem magnetycznym przez prawo Faraday'a:
d
d
d
d
e
w
t
t
Ψ
Φ
= −
= −
(58)
Dla przebiegu sinusoidalnego mo
Ŝ
na poda
ć
wzór:
m
m
m
m
rdz
2
4, 44
4, 44
2
2
E
E
f w
f w
f w
S
Φ
Φ
Β
π
=
=
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
(59)
Prąd jest związany z natęŜeniem pola magnetycznego przez prawo przepływu:
, gdzie:
ś
rednia długo
ść
drogi magnetycznej w rdzeniu.
w I
H l
l
⋅ = ⋅
−
(60)
Rys. 13. Przebiegi prądu i napięcia na cewce z rdzeniem stalowym, wymuszone napięcie.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
17/23
Przy wymuszonym napięciu w cewce powstają wysokie impulsy prądu.
Natomiast przy zasilaniu cewki wymuszonym prądem sinusoidalnym ma
miejsce odwrotna sytuacja, następuje spłaszczenie krzywej napięcia na cewce
będące wynikiem nasycenia rdzenia:
Rys. 14. Przebiegi prądu i napięcia na cewce z rdzeniem stalowym, wymuszony prąd.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
18/23
P
ĘTLA HISTEREZY
,
STRATY ZWIĄZANE Z HISTEREZĄ
Rys. 15. Pętla histerezy materiału ferromagnetycznego.
Straty na histerezę są związane z energią przemagnesowania materiału po
krzywej histerezy
d
W
B H
=
∫
. Ich warto
ść
podaj
ą
wzory Richtera:
2
h
m
100
f
p
B
ε
=
(61)
Pr
ą
dy wirowe w materiale przewodz
ą
cym s
ą
zwi
ą
zane z istnieniem zmiennego
pola magnetycznego:
rot
, gęstość prądu
.
B
E
J
E
t
γ
∂
= −
=
∂
(62)
Drugi wzór Richtera podaje wartość strat na prądy wirowe:
2
2
w
m
100
f
p
B
σ
=
(63)
Współczynniki Richtera dla róŜnych blach:
Zawartość krzemu [%]
0,5
1
2,5
4,0
Grubość blachy
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,35mm
CięŜar wł. blachy
7,85
7,85
7,8
7,7
7,6
7,6G/cm
3
Współczynnik
ε
4,4
4,4
4,2
3,8
2,8
2,1
Współczynnik
σ
22,4
5,6
2,6
1,6
1,1
1,1
Stratność p
10
7,8
3,6
2,8
2,3
1,7
1,3W/kg
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
19/23
S
CHEMAT ZASTĘPCZY CEWKI NA RDZENIU STALOWYM
Rys. 16. Schemat zastępczy cewki z rdzeniem oraz wykres wskazowy napięć i prądów.
Wielkości występujące na schemacie zastępczym:
U, I - napięcie i prąd zasilający (symboliczne),
E
- siła elektromotoryczna indukowana przez strumień Φ,
R
Cu
- rezystancja uzwojeń cewki,
R
Fe
- rezystancja zastępująca straty w rdzeniu stalowym,
L
s
- indukcyjność rozproszenia cewki,
L
µ
- indukcyjność główna (magnesująca) cewki.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
20/23
T
RANSFORMATOR
.
S
PROWADZENIE WIELKOŚCI WTÓRNYCH NA STRONĘ PIERWOTNĄ
Rys. 17. Sprowadzenie wielkości wtórnych na stronę pierwotną przy zgodnym nawinięciu
uzwojeń.
Przy n = w
1
/w
2
wielkości sprowadzone do strony pierwotnej wynoszą:
i
2
' = i
2
/n
,
u
2
' = n·u
2
,
R
2
' = n
2
·R
2
,
L
2s
' = n
2
·L
2s
,
Z
2
' = n
2
·Z
2
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
21/23
Rys. 18. Schemat zastępczy transformatora z uzwojeniami nawiniętymi zgodnie.
Rys. 19. Wykres wskazowy dla transformatora z uzwojeniami nawiniętymi zgodnie
przy obciąŜeniu indukcyjno-czynnym:
2
obc
obc
obc
2
j
U
Z
R
X
I
=
=
+
.
Wielkości strony wtórnej pokazano na wykresie przed przeliczeniem na stronę
pierwotną.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
22/23
Rys. 20. Schemat zastępczy transformatora z uzwojeniami nawiniętymi przeciwnie.
Rys. 21. Wykres wskazowy dla transformatora z uzwojeniami nawiniętymi przeciwnie
przy obciąŜeniu indukcyjno-czynnym:
'
'
'
'
2
obc
obc
obc
'
2
j
U
Z
R
X
I
=
=
+
.
Na tym wykresie przedstawiono jedynie wielkości strony wtórnej sprowadzone
do pierwotnej.
Obwody magnetyczne sprzęŜone ...
2013
K.M.Gawrylczyk
23/23
T
RANSFORMATOR IDEALNY
.
A
UTOTRANSFORMATOR
Transformator idealny charakteryzuje się brakiem strat w uzwojeniach, jak teŜ w
rdzeniu. Indukcyjność główna jest nieskończenie wielka, co powoduje, Ŝe prąd
magnesujący jest równy zeru. W zaleŜności od kierunku nawinięcia uzwojeń
charakteryzują go równania:
1
2
1
2
0
1
0
U
U
n
I
I
n
=
∓
∓
(64)
Impedancja doł
ą
czona na jego wyj
ś
cie jest przetwarzana przez
n
2
, co jest
własno
ś
ci
ą
typow
ą
dla konwerterów:
2
we
obc
Z
n Z
=
(65)
Rys. 22. Schemat autotransformatora.
Autotransformator jest transformatorem jednouzwojeniowym. Z bilansu pr
ą
dów
łatwo wyprowadzi
ć
,
Ŝ
e:
1
1
2
3
1
2
1
1
1
1
2
3
2
2
, czyli przy
0.
w
w
w
I
I
I
I
I
I
w
w
I
w
w
−
= +
= −
= −
=
⇒
=
(66)