1
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Sformułowanie problemu
Ustalenie celów
i planu działania
Zbieranie danych
Tworzenie modelu
konceptualnego
Kodowanie modelu
Testowanie
Nie
Wdrożenie
Tworzenie dokumentacji
i raportów
Weryfikacja
Walidacja
Nie
Nie
Tak
Tak
Proces modelowania
2
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Analiza danych
We wszystkich dziedzinach wiedzy doświadczalnej przy
przejściu od
jakościowego
opisu zjawisk do badań
ilościowych
mamy do czynienia z
pomiarami
.
Po zakończeniu doświadczenia najważniejszym zadaniem
jest dokładna
ocena
i pełne
wykorzystanie
wyników
pomiarów.
3
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Analiza danych
Po uzyskaniu pewnego wyniku doświadczalnego trzeba
zdecydować, czy jest on w zgodzie z wartością
przewidzianą przez teorię lub uzyskaną w poprzednich
doświadczeniach.
testowanie hipotez
4
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Zadanie identyfikacji
Zadanie identyfikacji
układów systemów polega na
określeniu
struktury
i
parametrów
modeli
matematycznych
tych
systemów
na
podstawie
doświadczalnych
obserwacji
procesów
w
nich
zachodzących.
5
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Zadanie identyfikacji
OBIEKT
MODEL
OBIEKTU
Algorytm
J(.) min
Określenie
wskaźnika jakości J
-
U t
Y t
Y
m
t
F t
6
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Zadanie identyfikacji
Klasyfikacja zadań identyfikacji ze względu na:
charakter opisu matematycznego procesów,
charakter analitycznego opisu sygnałów wejściowych i
wyjściowych,
ilość informacji danych a priori.
Dwa podstawowe rodzaje zadań identyfikacji:
w sensie szerokim,
w sensie ścisłym.
7
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Zadanie identyfikacji
Zadanie identyfikacji w
sensie szerokim
brakuje informacji a priori o obiekcie lub jest ona
nieznana,
obiekt przedstawiamy w postaci „czarnej skrzynki”,
przedmiot identyfikacji:
struktura i parametry
tego
obiektu
Zadanie identyfikacji w
sensie ścisłym
kategoria i struktura obiektu są znane,
informacja a priori o obiekcie jest wystarczająca,
przedmiot identyfikacji:
parametry
tego obiektu
8
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Prosty algorytm identyfikacji
Rozpatrujemy liniowy układ dynamiczny opisany modelem
matematycznym w przestrzeni stanów:
˙X =AX t
gdzie:
A – macierz niewiadomych parametrów, dim A = n x n
X – wektor stanu,
ζ
– wektor zakłóceń,
X ∈ R
n
∈
R
n
Wektory X(t) i
ζ
(t) w każdym momencie dają się zmierzyć.
Na podstawie wyników obserwacji należy określić
parametry macierzy A.
9
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Prosty algorytm identyfikacji
Oznaczymy pomiary w dyskretnych chwilach czasu:
X t
j
=
X
j
t
j
=
j
∀
j 1, s
X t
j
=
X
j
=
x
1j
x
2j
⋯
x
nj
t
j
=
j
=
1j
2j
⋯
nj
10
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Prosty algorytm identyfikacji
Tworzymy macierze pomiarów:
˙X
∗
=
˙X
1
∣
˙X
2
∣
∣
˙X
s
∗
=
1
∣
2
∣
∣
s
X
∗
=
X
1
∣
X
2
∣
∣
X
s
Jeżeli s=n to macierze są macierzami
kwadratowymi.
˙X
∗
,
∗
, X
∗
11
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Prosty algorytm identyfikacji
Dla wszystkich pomiarów mamy:
To samo w postaci jednego równania macierzowego:
{
˙
X
1
=
AX
1
1
˙
X
2
=
AX
2
2
⋮
˙
X
s
=
AX
s
s
˙X
1
∣
˙X
2
∣∣ ˙
X
s
=
AX
1
∣
AX
2
∣∣
AX
s
1
∣
2
∣∣
s
˙X
∗
=
AX
∗
∗
12
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Prosty algorytm identyfikacji
Jeżeli macierz jest nieosobliwa to:
˙X
∗
=
AX
∗
∗
X
∗
A=
˙X
∗
−
∗
X
∗
−
1
Stosowanie podanego algorytmu jest kłopotliwe bo:
błędy pomiarów, które istnieją zawsze, prowadzą do
tego, że układ jest zawsze sprzeczny,
jeżeli jest źle określona to wpływ błędów pomiarów
na ocenę parametrów wzrasta gwałtownie i algorytm
staje się nieprzydatny.
X
∗
13
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Prosty algorytm identyfikacji
Przykład. Załóżmy, że macierz w rzeczywistości ma
mieć postać:
X
∗
0
=
1 0
0 0
X
∗
Macierz jest osobliwa.
Uwzględniamy błędy pomiarów:
X
∗
1
=
1
0
0 10
−
4
X
∗
X
∗
1
−
1
=
1
0
0 10
4
Wykonujemy jeszcze jeden pomiar:
X
∗
2
=
1
0
0 10
−
6
X
∗
2
−
1
=
1
0
0 10
6
14
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
Rozpatrujemy liniowy układ statyczny o jednym wyjściu
opisany równaniem liniowym:
y=a
1
x
1
a
2
x
2
a
m
x
m
x
1
x
m
⋮
y
Zmienne i w każdym momencie można
zmierzyć.
Na podstawie wyników obserwacji należy określić
niewiadome parametry
x
j
y
j
j=1, , m
a
1,
, a
m
15
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
A
X
j
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
Dokonujemy s pomiarów.
Dla każdego pomiaru o numerze j otrzymamy:
y
j
=
a
1
a
2
a
m
x
1j
x
2j
x
mj
y
j
=
AX
j
∀
j 1, s
Do wygładzenia szumu należy zapewnić s>m. Przy s=m
szum pomiarów nie będzie wygładzony.
16
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
Zbierając wszystkie równania możemy zapisać:
y
1
y
2
y
s
=
A
X
1
∣
X
2
∣∣
X
s
Y
∗
=
AX
∗
Ostatecznie:
Ze względu na niedoskonałość pomiarów oraz inne
czynniki układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązania.
Można jednak mówić o istnieniu pseudorozwiązania .
A
17
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
Podstawienie pseudorozwiąznia do równania:
Y
∗
=
AX
∗
daje odchyłkę:
=
A X
∗
−
Y
∗
Wprowadźmy euklidesową normę wektora odchyłki:
∥∥=
1
2
2
2
s
2
=
⋅
T
Obierzmy funkcję celu w postaci:
J =∥∥
2
18
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
Poszukiwane rozwiązanie zadania identyfikacji parametrów
A musi spełniać warunek:
Jest to
zadanie metody najmniejszych kwadratów
i
zalicza się do regresywnych metod identyfikacji.
J =∥∥
2
min
Regresją y względem x będziemy nazywać jakąkolwiek funkcję g(x),
w przybliżeniu przedstawiającą zależność statystyczną y od x.
19
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
Uwzględniając, że
Warunek optimum:
J =∥∥
2
=
A X
∗
−
Y
∗
A X
∗
−
Y
∗
T
min
=
A X
∗
−
Y
∗
możemy zapisać:
dJ
d A
=
0
dJ
d A
=
0
dJ
d A
=
X
∗
A X
∗
−
Y
∗
T
A X
∗
−
Y
∗
X
∗
T
=
0
20
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
dJ
d A
=
X
∗
A X
∗
−
Y
∗
T
A X
∗
−
Y
∗
X
∗
T
=
0
2
A X
∗
−
Y
∗
X
∗
T
=
0
A X
∗
−
Y
∗
X
∗
T
=
0
A
X
∗
X
∗
T
=
Y
∗
X
∗
T
A=Y
∗
X
∗
T
⋅
X
∗
X
∗
T
−
1
Normalne równanie metody najmniejszych kwadratów:
Ostatecznie normalne pseudorozwiązanie przyjmie postać:
21
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
Przykład. Przeprowadzić identyfikację liniowego układu
skalarnego metodą najmniejszych kwadratów.
x
1
x
2
y
y=a
1
x
1
a
2
x
2
Zbiór pomiarów
N
x1
x2
y
1
0
-1
-4
2
1
0
3
3
2
-1
0
4
1
2
9
{
0⋅a
1
−
1⋅a
2
=−
4
1⋅a
1
0⋅a
2
=
3
2⋅a
1
−
1⋅a
2
=
0
1⋅a
1
2⋅a
2
=
9
Układ równań:
- sprzeczny!
22
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
A
X
∗
X
∗
T
=
Y
∗
X
∗
T
A=Y
∗
X
∗
T
⋅
X
∗
X
∗
T
−
1
Układ w postaci macierzowej:
Równanie normalne MNK:
Y
∗
=
AX
∗
Y
∗
=
−
4 3 0 9
X
∗
=
0
1
2
1
−
1 0 −1 2
23
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
X
∗
X
∗
T
=
0
1
2
1
−
1 0 −1 2
0 −1
1
0
2 −1
1
2
=
6 0
0 6
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów
A=
−
4 3 0 9
0 −1
1
0
2 −1
1
2
1
6
0
0
1
6
=
2 3,66
Otrzymane współczynniki są najlepszym (według MNK)
przybliżonym rozwiązaniem postawionego zadania.
24
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Algorytmy identyfikacji oparte na MNK wymagają
rozwiązania
całego
zadnia
w
każdym
kroku
identyfikacji.
Prowadzi
to
do
nieekonomicznego
wykorzystania możliwości komputera. Taka organizacja
algorytmu powoduje
zbyt wolne rozwiązanie zadania
identyfikacji
.
Rekurencyjna metoda identyfikacji
– ocena parametrów
w danym momencie pomiarów kształtuje się jako
ocena w
poprzednim
momencie
pomiarów
plus
pewna
poprawka
.
25
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Rozważamy liniowy układ statyczny o jednym wyjściu.
Wykonaliśmy k pomiarów. Macierze pomiarowe wynoszą odpowiednio:
X
∗
=
Z
k
=
X
1
X
2
X
k
Y
∗
=
Y
k
=
y
1
y
2
y
k
Wykonanie k+1 pomiaru powoduje dodanie do macierzy Z
k
kolumny X
k+1
oraz
elementu y
k+1
do wektora Y
k
.
Z
k1
=
Z
k
X
k 1
Y
k1
=
Y
k
y
k1
26
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Podstawiając podane zależności do wzoru:
ostatecznie, po wykonaniu odpowiednich operacji, otrzymamy:
A
k1
=
Y
k
y
k 1
Z
k
T
X
k1
T
⋅
Z
k
X
k1
⋅
Z
k
T
X
k 1
T
−
1
A=Y
∗
X
∗
T
⋅
X
∗
X
∗
T
−
1
Wprowadzamy oznaczenia:
P
k
=
Z
k
Z
k
T
otrzymamy:
P
k 1
=
P
k
X
k 1
X
k1
T
A
k1
=
Y
k
Z
k
T
y
k 1
X
k 1
T
⋅
P
k1
−
1
27
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Ostatecznie poszukiwane wzory rekurencyjne przyjmują
postać:
P
k 1
−
1
=
P
k
−
1
−
P
k
−
1
X
k1
X
k1
T
P
k1
−
1
1 X
k 1
T
P
k
−
1
X
k1
A
k1
=
A
k
y
k 1
−
A
k
X
k1
X
k1
T
P
k1
−
1
Korzystanie z tych wzorów wymaga założenia wartości
początkowych dla oraz , które wynoszą
zazwyczaj o odpowiedniej
wymiarowości.
A
0
P
0
−
1
A
0
=
0, P
0
−
1
=
diag 100÷10
6
28
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Zad.3 Przeprowadzić identyfikację układu skalarnego
metodą rekurencyjną.
Zbiór pomiarów
x
1
x
2
S
1
1
0
2
0
1
3
1
1
x
1
x
2
y
y=a
1
x
1
a
2
x
2
y
1
2
-1
P
k 1
−
1
=
P
k
−
1
−
P
k
−
1
X
k1
X
k 1
T
P
k
−
1
1 X
k 1
T
P
k
−
1
X
k 1
A
k 1
=
A
k
y
k 1
−
A
k
X
k 1
X
k 1
T
P
k 1
−
1
29
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Warunki początkowe:
A
0
=
0 0
P
0
−
1
=
100
0
0
100
Krok pierwszy:
A
1
=
0 0
1−
0 0
⋅
1
0
⋅
1 0
⋅
1
0
0 100
=
1 0
P
1
−
1
=
100
0
0
100
−
100
0
0
100
⋅
1
0
⋅
1 0
⋅
100
0
0
100
1
1 0
⋅
100
0
0
100
⋅
1
0
P
1
−
1
=
100
0
0
100
−
100
0
⋅
100 0
1
1 0
⋅
100
0
=
100
0
0
100
−
10000
0
0
100
1100
=
1
0
0 100
30
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Krok drugi:
A
2
=
1 0
2−
1 0
⋅
0
1
⋅
0 1
⋅
1 0
0 1
=
1 2
P
2
−
1
=
1
0
0 100
−
1
0
0 100
⋅
0
1
⋅
0 1
⋅
1
0
0 100
1
0 1
⋅
1
0
0 100
⋅
0
1
P
2
−
1
=
1
0
0 100
−
0
100
⋅
0 100
1
0 1
⋅
0
100
=
1
0
0 100
−
0
0
0 10000
1100
=
1 0
0 1
31
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Rekurencyjny algorytm identyfikacji
Krok trzeci:
A
3
=
1 2
−
1−
1 2
⋅
1
1
⋅
1 1
⋅
2/3
−
1/3
−
1/3
2/3
=
−
1/3 2/3
P
3
−
1
=
1 0
0 1
−
1 0
0 1
⋅
1
1
⋅
1 1
⋅
1 0
0 1
1
1 1
⋅
1 0
0 1
⋅
1
1
P
3
−
1
=
1 0
0 1
−
1
1
⋅
1 1
1
1 1
⋅
1
1
=
1 0
0 1
−
1 1
1 1
12
=
2/3
−
1/3
−
1/3
2/3
32
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Sformułowanie problemu
Ustalenie celów
i planu działania
Zbieranie danych
Tworzenie modelu
konceptualnego
Kodowanie modelu
Testowanie
Nie
Wdrożenie
Tworzenie dokumentacji
i raportów
Weryfikacja
Walidacja
Nie
Nie
Tak
Tak
Proces modelowania
33
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb
Zapis stałoprzecinkowy:
●
zakres
liczb
stałoprzecinkowych
z
zadanymi
parametrami wynosi
0∣a∣2
t
−
1
liczba w układzie dwójkowym (t bitów)
znak liczby stałoprzecinkowej
34
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb
Zapis zmiennoprzecinkowy:
●
znormalizowana postać półlogarytmiczna
●
znaki wykładnika (cechy) E i mantysy M liczby a
koduje się osobno
●
cechę E wybiera się w ten sposób aby mantysa
spełniała warunek:
a=±MB
±
E
cecha (p bitów)
znak cechy
1
B
M 1
znak mantysy
mantysa(t bitów)
35
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb
Zapis zmiennoprzecinkowy:
●
standard IEEE (1985)
●
normy dla arytmetyki implementowanej na komputerach,
zawiera ustalenia dotyczące formatów, procedur
zaokrąglania, operatorów arytmetycznych, konwersji
liczb, postępowania w sytuacjach wyjątkowych, np. przy
przekroczeniu zakresu liczbowego
●
dwa formaty podstawowe: z pojedynczą precyzją, z
podwójną precyzją; formaty rozszerzone.
Parametr
Pojedyncza precyzja
Podwójna precyzja
długość słowa w bitach
32
64
wykładnik maksymalny
+127
+1023
wykładnik minimalny
-126
-1022
stała K
+127
+1023
liczba bitów wykładnika
8
11
liczba bitów mantysy
24
53
36
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Wewnątrzmaszynowe przedstawienie liczb
●
charakterystykę C wyznacza się na podstawie cechy E przez
dodanie odpowiedniej stałej K. Wybieramy ją w ten sposób aby
charakterystyka przyjmowała wyłącznie wartości dodatnie.
charakterystyka
znak liczby zmiennoprzecinkowej
mantysa
a=−1
⋅
2
E
⋅
1.b
1
b
2
b
t−1
E=C−K
C
min
=
1, C
max
=
254, C=0, C=255−zarezerwowane
37
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Dokładność w obliczeniach numerycznych
błąd całkowity
błąd wejścia
błąd metody
błąd zaokrąglenia
błąd urwania procedury iteracyjnej
błąd dyskretyzacji
●
kontrola liczby kroków iteracji, urwanie po określonej liczbie cykli
iteracji, również wtedy gdy nie została jeszcze osiągnięta żądana
dokładność,
●
śledzenie przebiegu rozwiązania na ekranie,
●
wykorzystanie znanych właściwości rozwiązania problemu,
●
zbadanie możliwości skalowania zmiennych lub funkcji,
●
przeprowadzanie większej liczby testów, zmieniając długość kroku,
warunek stopu, wartości startowe, itd.
38
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Sformułowanie problemu
Ustalenie celów
i planu działania
Zbieranie danych
Tworzenie modelu
konceptualnego
Kodowanie modelu
Testowanie
Nie
Wdrożenie
Tworzenie dokumentacji
i raportów
Weryfikacja
Walidacja
Nie
Nie
Tak
Tak
Proces modelowania
39
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Każdy
model matematyczny
, nawet ten najdokładniejszy,
jest tylko pewnym przybliżeniem obiektu rzeczywistego,
ale np. w sztuce model może być doskonalszy od swojego
obrazu.
Ocena modelu
MODEL(KA)
OBRAZ
40
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Ocena modelu
Weryfikacja
– proces ustalania czy sposób zakodowania modelu
odpowiada konceptualnemu opisowi modelu i jego
rozwiązań opracowanego przez projektanta.
Czy poprawnie zbudowaliśmy model?
Walidacja
– proces ustalania stopnia odwzorowania rzeczywistości
z perspektywy postawionych celów.
Czy zbudowaliśmy poprawny model?
Kalibracja
– proces poprawiania wartości liczbowych parametrów
modelu, w celu osiągnięcia możliwie najlepszej
zgodności
miedzy
danymi
obserwacyjnymi
i wygenerowanymi przez model.
Co zmieniać? Jak zmieniać? O ile zmieniać?
41
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Walidacja
danych
Określenie
problemu
Model
konceptualny
Model
komputerowy
Walidacja
modelu
konceptualnego
Walidacja
modelu
komputerowego
Weryfikacja
modelu
komputerowego
D
O
Ś
W
IA
D
C
ZE
N
IA
A
N
A
LIZ
A
I M
O
D
E
LO
W
A
N
IE
PROGRAMOWANIE
Ocena modelu
42
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Wymienia się ponad 75 technik weryfikacji, walidacji i
testowania modeli symulacyjnych.
Całość sklasyfikowana została w czterech grupach:
techniki nieformalne,
statyczne,
dynamiczne
formalne.
Ocena modelu
43
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Techniki nieformalne
polegają głównie na ocenie
działania modelu na podstawie
subiektywnych ocen
ekspertów. Używa się ich do określania czy zależności
logiczne zawarte w modelu konceptualnym są poprawne
oraz do badania relacji wejście-wyjście. Ocena
podejmowana jest tylko na podstawie obserwacji działania
modelu i nie przeprowadza się żadnych dodatkowych
badań.
Ocena modelu
test Turinga
- ekspert ocenia czy przedstawione wyniki
pochodzą z systemu rzeczywistego czy modelu,
face validation
- porównanie zachowania modelu i
systemu rzeczywistego dla jednakowych warunków
początkowych.
44
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Techniki statyczne
dotyczą przede wszystkim procesu
weryfikacji modelu komputerowego i nie wymagają
uruchamiania tego modelu. Ocenia się poprawność kodu
programu
komputerowego,
przeprowadza
analizę
semantyczną i składniową. Bada się strukturę i działanie
interfejsu
użytkownika,
zarówno
pod
względem
przewidywania występowania błędów wynikających z
działań użytkownika, jak również sposobu połączenia z
modelem symulacyjnym.
Ocena modelu
45
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Techniki dynamiczne
badają zachowanie modelu na
podstawie jego działania. Ocena działania może polegać
na porównaniu kilku różnych modeli symulacyjnych tego
samego systemu rzeczywistego z takimi samymi danymi
początkowymi.
Ocena modelu
techniki statystyczne (analiza wariancji, analiza regresji,
testy statystyczne i inne),
analiza wrażliwości, która pozwala badać jak zmienia
się zachowanie modelu pod wpływem zmian zmiennych
wejściowych,
wizualizacja i animacja zachowania modelu.
46
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
Techniki
formalne
bazują
na
matematycznym
dowodzeniu poprawności modelu. Pomimo, że dzisiejszy
stan wiedzy nie pozwala zastosować ich dla systemów
złożonych, stanowią podstawę dla innych technik walidacji
i weryfikacji modeli.
Ocena modelu
indukcja,
wnioskowanie i dedukcja logiczna,
rachunek predykatów.
47
MODELOWANIE I SYMULACJA
Szczecin - 5.01.2009
KONIEC