A
1.
Zbadać zbieżność całki niewłaściwej
∞
Z
2
2x + sin
2
x
dx
4x
3
− x
korzystając z kryterium ilorazo-
wego, a zbieżność całki
∞
Z
1
√
2x + 1
dx
√
x
2
+ 1
, zbadać używając kryterium porównawczego.
• g(x) =
1
2x
2
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
2x + sin
2
x
4x
3
− x
1
2x
2
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
dx
2x
2
zbieżna =⇒
∞
Z
2
2x + sin
2
x
dx
4x
3
− x
zbieżna.
• f (x) =
√
2x + 1
√
x
2
+ 1
>
√
2x
√
x
2
+ x
2
=
1
√
x
= g(x) > 0 dla x 1
•
∞
Z
1
dx
√
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
1
√
2x + 1
dx
√
x
2
+ 1
rozbieżna do ∞
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
3
n
(2 − 3x)
n
.
•
∞
X
n
=1
3
n
(2 − 3x)
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
3
n
+1
n
x
−
2
3
n
=⇒ x
0
=
2
3
, c
n
=
(−1)
n
3
n
+1
n
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
3
n
+1
n
= 3 =⇒ R =
1
3
• x = x
0
− R =
1
3
,
∞
X
n
=1
(−1)
n
3
n
+1
n
−
1
3
n
=
∞
X
n
=1
3
n
rozbieżny do ∞
• x = x
0
+ R = 1,
∞
X
n
=1
(−1)
n
3
n
+1
n
1
3
n
=
∞
X
n
=1
3(−1)
n
n
naprzemienny zbieżny
•
1
3
,
1
przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
2
3x
2
− 2
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(4)
(0),
f
(5)
(0).
• f (x) =
x
2
3x
2
− 2
=
x
2
−2
1 −
3
2
x
2
• f (x) =
−
∞
X
n
=0
3
n
2
n
+1
x
2n+2
•
3
2
x
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
s
2
3
, R =
s
2
3
• c
4
= −
3
2
2
: f
(4)
(0) = −
3
2
2
4! = −18, c
5
= 0 : f
(5)
(0) = 0,
1
4.
Naszkicować obszar D ograniczony prostą y = 1 i wykresem funkcji y = |ln x|, a następnie
obliczyć jego pole.
•
y
x
1
e
1
e
1
•
|D| =
e
Z
1
e
(1 − |ln x|) dx =
1
Z
1
e
(1 + ln x) dx +
e
Z
1
(1 − ln x) dx
•
Z
ln x dx = x (ln x − 1) + C
•
1
Z
1
e
(1 + ln x) dx = x ln x
1
1
e
=
1
e
e
Z
1
(1 − ln x) dx = x(2 − ln x)
e
1
= e − 2
•
|D| =
1
e
+ e − 2 (≈ 1.0861)
B
1.
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki
∞
Z
2
(
√
x
+ cos x
2
) dx
√
x
2
− 1
, a uży-
wając kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki
∞
Z
1
(2x + 1) dx
3x
3
+ x
.
• g(x) =
1
√
x
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
√
x
+ cos x
2
√
x
2
− 1
1
√
x
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
dx
√
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
2
(
√
x
+ cos x
2
) dx
√
x
2
− 1
rozbieżna do ∞
• 0 < f (x) =
2x + 1
3x
3
+ x
<
2x + x
3x
3
=
1
x
2
= g(x) dla x 1
•
∞
Z
1
dx
x
2
zbieżna =⇒
∞
Z
1
(2x + 1) dx
3x
3
+ x
zbieżna
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
(1 − 2x)
n
n
3
n
.
•
∞
X
n
=1
(1 − 2x)
n
n
3
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
2
n
n
3
n
x
−
1
2
n
=⇒ x
0
=
1
2
, c
n
=
(−1)
n
2
n
n
3
n
2
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
2
n
n
3
n
=
2
3
=⇒ R =
3
2
• x = x
0
− R = −1,
∞
X
n
=1
(−1)
n
2
n
n
3
n
−
3
2
n
=
∞
X
n
=1
1
n
rozbieżny do ∞
• x = x
0
+ R = 2,
∞
X
n
=1
(−1)
n
2
n
n
3
n
3
2
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
naprzemienny zbieżny
• (
−1, 2] przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
2x
2
+ 3
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(3)
(0),
f
(4)
(0).
• f (x) =
x
2x
2
+ 3
=
x
3
1 −
−
2
3
x
2
• f (x) =
∞
X
n
=0
(−1)
n
2
n
3
n
+1
x
2n+1
•
−
2
3
x
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
s
3
2
, R =
s
3
2
• c
3
= −
2
3
2
: f
(3)
(0) = −
2
3
2
3! = −
4
3
, c
4
= 0 : f
(4)
(0) = 0
4.
Naszkicować obszar D ograniczony wykresm funkcji y = arc ctg x, prostymi y =
π
2
, y =
π
4
x
, a następnie obliczyć jego pole.
•
y
x
1
2
π
2
•
|D| =
1
Z
0
π
2
− arc ctg x
dx
+
2
Z
1
π
2
−
π
4
x
dx
•
Z
arc ctg x dx = x arc ctg x −
1
2
ln
x
2
+ 1
+ C
•
1
Z
0
π
2
− arc ctg x
dx
=
π
2
x
− x arc ctg x +
1
2
ln
x
2
+ 1
1
0
=
π
4
+
1
2
ln 2
•
2
Z
1
π
2
−
π
4
x
dx
=
π
2
x
−
π
8
x
2
2
1
=
π
8
•
|D| =
3
8
π
+
1
2
ln 2 (≈ 1.5246)
3
C
1.
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki
∞
Z
2
(x
√
x
− sin x
2
) dx
x
3
+
√
x
, a uży-
wając kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki
∞
Z
1
(2x + 3) dx
x
√
x
+ 1
.
• g(x) =
1
x
√
x
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
x
√
x
− sin x
2
x
3
+
√
x
1
x
√
x
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
dx
x
√
x
zbieżna =⇒
∞
Z
2
(x
√
x
− sin x
2
) dx
x
3
+
√
x
zbieżna
• f (x) =
2x + 3
x
√
x
+ 1
>
2x
x
√
x
+ x
√
x
=
1
√
x
= g(x) > 0 dla x 1
•
∞
Z
1
dx
√
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
1
(2x + 3) dx
x
√
x
+ 1
rozbieżna do ∞
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
1
n
2
(2x + 4)
n
.
•
∞
X
n
=1
1
n
2
(2x + 4)
n
=
∞
X
n
=1
2
n
n
2
(x − (−2))
n
=⇒ x
0
= −2, c
n
=
2
n
n
2
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
2
n
n
2
= 2 =⇒ R =
1
2
• x = x
0
− R = −
5
2
,
∞
X
n
=1
2
n
n
2
−
1
2
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
2
zbieżny
• x = x
0
+ R = −
3
2
,
∞
X
n
=1
2
n
n
2
1
2
n
=
∞
X
n
=1
1
n
2
zbieżny
•
−
5
2
,
−
3
2
przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
2
4 − 2x
2
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(4)
(0),
f
(5)
(0).
• f (x) =
x
2
4 − 2x
2
=
x
2
4
1 −
x
2
2
!
• f (x) =
∞
X
n
=0
x
2n+2
2
n
+2
•
x
2
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
√
2, R =
√
2
• c
4
=
1
2
3
: f
(4)
(0) =
4!
2
3
= 3, c
5
= 0 : f
(5)
(0) = 0
4
4.
Naszkicować obszar D ograniczony wykresem funkcji y = ln x oraz prostymi y = x − 1,
y
= 1, a następnie obliczyć jego pole.
•
y
x
1
1
2
e
•
|D| =
2
Z
1
((x − 1) − ln x) dx +
e
Z
2
(1 − ln x) dx
•
Z
ln x dx = x (ln x − 1) + C
•
2
Z
1
(x − 1 − ln x) dx =
"
x
2
2
− x ln x
#
2
1
=
3
2
− 2 ln 2
e
Z
2
(1 − ln x) dx =
h
x
(2 − ln x)
i
e
2
=
2 ln 2 + e − 4
•
|D| = e −
5
2
(≈ 0.2182)
D
1.
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całki
∞
Z
2
(2
√
x
− cos
2
x
) dx
x
√
x
− 1
, a uży-
wając kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki
∞
Z
1
(x
√
x
+ 1) dx
x
3
+ 2
√
x
.
• g(x) =
2
x
>
0 dla x 2
• k = lim
x→∞
f
(x)
g
(x)
= lim
x→∞
2
√
x
− cos
2
x
x
√
x
− 1
2
x
= 1, 0 < k = 1 < ∞
•
∞
Z
2
2 dx
x
rozbieżna do ∞ =⇒
∞
Z
2
(2
√
x
− cos
2
x
) dx
x
√
x
− 1
rozbieżna do ∞
• 0 < f (x) =
x
√
x
+ 1
x
3
+ 2
√
x
<
2x
√
x
x
3
=
2
x
√
x
= g(x) dla x 1
•
∞
Z
1
2 dx
x
√
x
zbieżna =⇒
∞
Z
1
(x
√
x
+ 1) dx
x
3
+ 2
√
x
zbieżna
2.
Podać środek, współczynniki oraz wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
∞
X
n
=1
n
3x − 1
4
n
.
•
∞
X
n
=1
n
3x − 1
4
n
=
∞
X
n
=1
n
3
n
4
n
x
−
1
3
n
=⇒ x
0
=
1
3
, c
n
=
n
3
n
4
n
5
• lim
n→∞
n
q
|c
n
| = lim
n→∞
n
s
n
3
n
4
n
=
3
4
=⇒ R =
4
3
• x = x
0
− R = −1,
∞
X
n
=1
n
3
n
4
n
−
4
3
n
=
∞
X
n
=1
(−1)
n
n
rozbieżny
• x = x
0
+ R =
5
3
,
∞
X
n
=1
n
3
n
4
n
4
3
n
=
∞
X
n
=1
n
rozzbieżny do ∞
•
−1,
5
3
przedział zbieżności
3.
Funkcję f (x) =
x
4x
2
+ 3
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie wyznaczyć f
(3)
(0),
f
(4)
(0).
• f (x) =
x
3 + 4x
2
=
x
3
1 −
−
4
3
x
2
• f (x) =
∞
X
n
=0
(−1)
n
4
n
3
n
+1
x
2n+1
•
−
4
3
x
2
<
1 ⇐⇒ |x| <
√
3
2
, R =
√
3
2
• c
3
= −
4
3
2
: f
(3)
(0) = −
4
3
2
3! = −
8
3
c
4
= 0 : f
(4)
(0) = 0
4.
Naszkicować obszar D ograniczony wykresem funkcji y = arc tg x oraz prostymi y =
π
3
x
,
y
=
π
3
, a następnie obliczyć jego pole.
•
y
x
1
√
3
π
3
•
|D| =
1
Z
0
π
3
x
− arc tg x
dx
+
√
3
Z
1
π
3
− arc tg x
dx
•
Z
arc tg x dx = x arc tg x −
1
2
ln
x
2
+ 1
+ C
•
1
Z
0
π
3
x
− arc tg x
dx
=
"
πx
2
6
− x arc tg x +
1
2
ln
x
2
+ 1
#
1
0
=
1
2
ln 2 −
π
12
•
√
3
Z
1
π
3
− arc tg x
dx
=
π
3
x
− x arc tg x +
1
2
ln
x
2
+ 1
√
3
1
=
1
2
ln 2 −
π
12
•
|D| = ln 2 −
π
6
(≈ 0.1695)
6