W3_modelowanie

Modelowanie budowli

Określenie stanu pracy konstrukcji

(odkształcenia, naprężenia) wymaga

(odkształcenia, naprężenia) wymaga
uproszczenia opisu budowli czyli

uproszczenia opisu budowli czyli

uproszczenia opisu budowli czyli
zastosowaniu modeli:

zastosowaniu modeli:

materiału,

kształtu,

obciążenia

połączeń i podparcia.

Modelowanie materiału

Niejednolita struktura materiału z defektami

zastępowana jest ośrodkiem ciągłym, wypełnionym

zastępowana jest ośrodkiem ciągłym, wypełnionym
równomiernie masą, o izotropowym lub anizotropowym

równomiernie masą, o izotropowym lub anizotropowym
rozkładzie własności.

rozkładzie własności.

Ośrodek może być wykonany z materiału traktowanego

jako:

••

sprężysty,

••

sprężysto

sprężysto--plastyczny,

plastyczny,

••

lepko

lepko--sprężysty,

sprężysty,

••

sprężysto

sprężysto--plastyczny z defektami.

plastyczny z defektami.

Modele kształtu

pręty

płyty

tarcze

powłoki

elementy

przestrzenne (bryłowe)

Konstrukcja prętowa

Konstrukcja powłokowa

Fundament - bryła

Możliwość ruchu tarczy

Możliwość ruchu tarczy
sztywnej

sztywnej –

– stopnie swobody

stopnie swobody

Sztywna tarcza poruszaj

ca si

po płaszczy

nie ma 3 mo

liwo

ci ruchu:

• przesuwanie wzdłu

2 niezale

nych kierunków, np.

• obrót wokół osi prostopadłej do płaszczyzny

Mówimy zatem,

e sztywna płaska tarcza ma 3 stopnie swobody

Blokowanie ruchu tarczy

Blokowanie ruchu tarczy
sztywnej

sztywnej

•Unieruchomienie tarczy wymaga wprowadzenia wi

zów, które

zablokuj

liwo

ść

przesuwania i obrotu tarczy. W Mechanice

Budowli wi

zy wprowadzane s

przy pomocy podpór.

•Podpory oddziałuj

na tarcz

i s

siłami biernymi - reakcjami, które

powoduj

zerowanie si

wypadkowej i momentu obracaj

cego a w

konsekwencji uniemo

liwiaj

ruch tarczy po płaszczy

nie.

•Liczba podpór, ich rodzaj i usytuowanie musi by

tak dobrana aby

odebra

wszystkie stopnie swobody, zatem na płaszczy

nie musimy

wprowadzi

co najmniej 3 wi

zy, które wprowadz

3 reakcje. Kierunki

działania tych reakcji nie mog

przecina

w jednym punkcie.

Stopnie swobody

Stopnie swobody: możliwość ruchu ciała niezależnie od

innych ruchów.

Punkt materialny – trzy składowe przesunięcia w trzech

kierunkach w przestrzeni, na płaszczyźnie w dwóch kierunkach

Ciało doskonale sztywne – trzy składowe przesunięcia w

trzech kierunkach w przestrzeni i trzy składowe wektora obrotu

w przestrzeni, na płaszczyźnie dwie składowe przesunięcia i

obrót o wektorze prostopadłym do płaszczyzny.

Uogólnione przemieszczenia: przemieszczenia liniowe (u,

v, w), kąty obrotu (

Więzy, podpory – blokady uogólnionych przemieszczeń

ograniczające ruch.

Połączenia

ty mog

czone mi

dzy sob

na ró

ne sposoby, tu

przedstawione zostan

dwa najcz

ęś

ciej stosowane:

Poł

czenie przegubowe, które zezwala na

wzajemny obrót pr

tów a nie zezwala na

wzajemne przemieszczenie poł

czonych

wzajemne przemieszczenie poł

czonych

punktów

Poł

czenie sztywne, które uniemo

liwia

wzajemne obracanie si

, jak i

przemieszczenie poł

czonych pr

tów.

Takie poł

czenie tworzy zatem nowy,

zakrzywiony pr

Przeguby

Przegub to poł

czenie elementów pr

towych zrealizowane w sposób, który

umo

liwia swobodny obrót. K

t obrotu (stopie

swobody

) nie jest

ograniczony wi

zami wi

c w przegubie nie powstaje moment mog

przeciwdziała

obrotowi.

Moment w przegubie od sił zewnętrznych znajdujących

się po jednej ze stron przegubu równy jest 0.

Przegub walcowy – obrót mo

liwy jest

wokół osi prostopadłej do płaszczyzny xy.

Przegub kulisty – mo

liwy jest obrót wokół

trzech prostopadłych osi

wokół osi prostopadłej do płaszczyzny xy.

trzech prostopadłych osi

Schematyczne oznaczenie przegubu

Przegub pojedynczy – poł

czenie dwóch pr

tów

Przegub podwójny – poł

czenie trzech pr

tów

Przeguby

Przeguby -- przykłady

przykłady

Poł

czenie mo

na traktowa

jako przegubowe wtedy, gdy:

•

elementy ł

czone maj

liwo

ść

obrotu, np. poł

czenie za pomoc

jednej

ruby, nitu lub sworznia;

•

poł

czenie ma znacznie mniejsz

sztywno

ść

na zginanie ni

czone

elementy;

•

elementy s

poł

czone dokładnie w osi i elementy s

tylko

ciskane lub

•

elementy s

poł

czone dokładnie w osi i elementy s

tylko

ciskane lub

rozci

gane.

Modele obciążenia

siła skupiona

moment skupiony (para sił)

obciążenia ciągłe o różnych rozkładach

temperaturą

obciążeniem geometrycznym

obciążeniem geometrycznym
(wymuszenie przemieszczenia)

(wymuszenie przemieszczenia)

Równania równowagi

Reakcje wraz z obci

ąż

eniami zewn

trznymi zwykle stanowi

dowolny układ sił czyli mo

na zastosowa

nast

puj

cy zestaw

równa

Przedstawiony z boku zestaw równa

e by

zast

piony

przez inne równania, np.:







∑
∑

przez inne równania, np.:













∑
∑
∑













∑
∑
∑









∑
∑

∑

Sprawdzenie

Przy wyborze równa

równowagi

nale

y si

kierowa

prostot

układu

równa

, który musi zosta

rozwi

zany.

Poprawno

ść

wyznaczenia reakcji

sprawdza si

zapisuj

c równanie

równowagi nie wykorzystane w
obliczeniach.

Równania równowagi

Gdy w konstrukcji zastosowano poł

czenie przegubowe uzyskuje si

dodatkowy

punkt, w którym moment od sił zewn

trznych znajduj

cych si

po jednej ze stron

przegubu musi by

równy 0. Dodatkowe równanie nie mo

e by

zwykł

sum

momentów wszystkich sił wzgl

dem przegubu, ale sum

momentów sił działaj

cych

na układ tylko po jednej stronie przegubu. Ka

dy przegub musi zosta

wykorzystany

co najmniej jeden raz. Je

eli zapisuje si

równania dla obu stron przegubu, to jedno z

tych równa

zast

puje główne równanie równowagi (zwykle sum

momentów

wzgl

dem dowolnego punktu).













∑













∑
∑
∑













∑

∑
∑

Dodatkowo:

lewo

∑

prawo

∑

lub

wzgl

dem dowolnego punktu).

Zamknięte układy

Zamknięte układy
prętowe

prętowe

Układ zamkni

ty jest wewn

trznie 3-krotnie

statycznie niewyznaczalny, poniewa

nie jest

liwe okre

lenie sił wewn

trznych bez jego

przeci

cia.

Przeci

cie pr

ta powoduje konieczno

ść

uwzgl

dnienia 3 „sił” wewn

trznych

N, T, M

liwe jest te

wstawienie mi

dzy pr

tami 3

przegubów, które pozwol

rozdzieli

układ na 2

układy statycznie wyznaczalne.

Dodanie przegubów powoduje konieczno

ść

uwzgl

dnienia 3 momentów zginaj

cych (

które działały w pierwotnym układzi

Stopień statycznej

Stopień statycznej
niewyznaczalności

niewyznaczalności -- SSN

SSN

Sposób rozwi

zywania konstrukcji zale

y od stopnia statycznej wyznaczalno

ci.

SSN – stopie

statycznej niewyznaczalno

ci n:

Belka: n=r-(g+rs);

Rama: n=(r+3z)-(g+rs);

Kratownica: n=r-rs lub n=p-2w.

Oznaczenia:

r – liczba reakcji;

g – liczba przegubów pojedynczych;

z – liczba pól zamkni

tych;

rs=3 – liczba równa

statyki;

p – liczba pr

tów;

w – liczba w

złów.

Klasyfikacja konstrukcji ze wzgl

du na stopie

statycznej wyznaczalno

ci:

Układ jest statycznie wyznaczalny, je

eli współczynnik n = 0;

Układ jest statycznie niewyznaczalny, je

eli współczynnik n > 0;

Układ jest geometrycznie zmienny, je

eli współczynnik n < 0.

Niewła

ciwe rozmieszczenie podpór mo

e powodowa

e układ b

dzie geometrycznie

zmienny (np. reakcje równoległe – płaszczyzna przesuwu) lub chwilowo geometrycznie
zmienny (reakcje przecinaj

ce si

w jednym punkcie – chwilowy

rodek obrotu).