Optyka geometryczna
Optyka geometryczna
Podstawowe pojęcia optyki geometrycznej
Bezwzględny współczynnik załamania
v
c
n
=
c
– prędkość światła w próżni
v < c
– prędkość światła w danym ośrodku
> 1
Aksjomaty
Światło w ośrodku jednorodnym propaguje się
po liniach prostych nazywanych promieniami
świetlnymi
Aksjomaty
cd
n
b
< n
a
n
a
N
Prawo załamania
b
b
a
a
sin
n
sin
n
α
=
α
Promień padający, normalna
N
i promień załamany leżą w tej
samej płaszczyźnie
α
a
Promień
padający
α
b
Promień
załamany
Prawo odbicia
a
a
'
α
=
α
Promień padający, normalna
N
i promień odbity
leżą w tej samej płaszczyźnie
α’
a
Promień
odbity
Całkowite wewnętrzne odbicie
n
b
< n
a
n
a
N
α
ag
Promienie
padające
α
bg
=
π/2
Promień
załamany
graniczny
α’
a
α
a
Ponieważ
n
a
> n
b
1
sin
n
n
sin
ag
b
a
bg
=
α
=
α
i
1
n
n
sin
a
b
ag
<
=
α
Dla promienia
α
a
>
α
ag
1
sin
b
>
α
Promień ulega
całkowitemu wewnętrznemu odbiciu
według prawa odbicia
a
a
'
α
=
α
Zastosowanie w światłowodach
Względny współczynnik załamania
Bezwzględny współczynnik załamania powietrza
760
p
273
/
t
1
a
1
n
+
+
≈
λ
0
[nm]
334 546 656 1530
a
[
⋅10
6
]
303 293 291 288
t
– temperatura w
0
C
p
–
ciśnienie w mm Hg
n
≈ 1.0003
Zmiana z temperaturą dla p = 760
t
10
n
6
Δ
−
≈
Δ
−
1
2
1
2
2
1
n
n
v
c
v
c
v
v
n
=
=
=
1
– ośrodek odniesienia
najczęściej powietrze
n
2
n
1
–
bezwzględne
współczynniki załamania
Właściwości dyspersyjne i absorpcyjne materiałów
Widmo słońca
linie (Josefa) Fraunhofera
i365
g435 F486 e546 d587 C656 t1014 nm
Hg Hg H Hg He H Hg
220 365 435.6 656.3 [nm] 1.014 5 [
μm]
Kwarc topiony
1.528 1.475 1.467 1.456 1.450 x
Sz. kronowe
x 1.539 1.526 1.514 1.507 x
Sz. flintowe
x 1.815 1.774 1.721 1.715 x
Krzem
x x x x
x 3.422
German
x x x x
x 4.017
KBr
1.853 1.606 1.583 1.555 1.544 1.534
UV n
i
n
g
n
C
n
t
IR
Wspó
łczynnik
za
łamania
Długość fali
λ
nm
Szkło kwarcowe
Kron
Kwarc
Lekki flint
Ci
ęż
ki flint
Krzywe dyspersyjne materiałów
KBr
Ge
szk³o kronowe
szk³o flintowe
Si
ZnSe
Szk³o kwarcowe
1.0
0.3
1.0
3.0
10 16 l m
[ m]
0
0.4
0.5
0.9
0.8
T
Właściwości transmisyjne płytki
Współczynniki
odbicia powierzchni
materiał - powietrze
2
1
n
1
n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
ρ
36.0
4.0
11.1
2.0
8.1
1.8
5.3
1.6
4.0
1.5
ρ[%]
n
Pryzmat
Reguła znaków
ϕ
n = 1
n = 1
n
α’
2
δ
-
α
1
-
α’
1
n
sin
'
sin
1
1
α
=
α
α
2
ϕ
1
2
'
α
+
ϕ
=
α
2
2
sin
n
'
sin
α
=
α
ϕ
−
α
−
α
=
δ
1
2
'
Pryzmat
( )
( )
ϕ
−
α
−
λ
α
=
λ
δ
1
2
'
Świ
atło
bia
łe
Tęcza.swf
Klin
– pryzmat o małym kącie łamiącym
ϕ
2
2
1
2
1
1
n
'
'
n
'
α
=
α
α
+
ϕ
=
α
α
=
α
ϕ
−
α
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
+
ϕ
=
ϕ
−
α
−
α
=
δ
1
1
1
2
n
n
'
(
)
1
n
−
ϕ
=
δ
i dla małego kąta padania
α
1
ϕ
δ
tęcza1b.swf
Układ optyczny
obszar o pewnym rozkładzie współczynnika załamania
Cel budowy
Zbiór powierzchni o skokowej zmianie
współczynnika załamania
Ograniczony obszar o ciągłej jego zmianie
układ gradientowy
Przykłady:
Przekształcenie przestrzeni przedmiotowej w obrazową w
celu zarejestrowania informacji o przedmiocie przez odbiornik
Optyka
Fotonika dodatkowo
Kształtowanie wiązki np. laserowej
Powierzchnia sferyczna
układ elementarny
n
n’
O
r
P
-S
-u
-
α
u
sin
r
S
1
sin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
α
P’
u’
-
α’
S’
α
=
α
sin
'
n
n
'
sin
α
−
α
+
=
'
u
'
u
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
−
=
'
u
sin
'
sin
1
r
'
S
Dane wejściowe
P
(S,u)
Dane wyjściowe
P’
(S’,u’)
P
-S
( )
u
'
S
'
S
=
Aberracja
sferyczna
pow_sfer.swf
Układ elementarny – przestrzeń przyosiowa
sinx
≈ x
=
−
s
n
'
s
'
n
r
n
'
n
s
n
'
s
'
n
−
=
−
u
sin
r
S
1
sin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
α
α
=
α
sin
'
n
n
'
sin
α
−
α
+
=
'
u
'
u
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
−
=
'
u
sin
'
sin
1
r
'
S
u
r
s
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
α
α
=
α
'
n
n
'
α
−
α
+
=
'
u
'
u
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
−
=
'
u
'
1
r
'
s
S’
→ s’ S → s
(
) (
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
α
−
α
−
−
α
−
u
u
n
u
'
n
r
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
−
−
α
−
u
nu
'
'
u
'
u
'
n
r
1
W przestrzeni przyosiowej
s’
jest niezależne od małego
u
Zwierciadło w przestrzeni przyosiowej
P
-s
P’
-s’
α
-
α’
Zgodnie z regułą znaków
α’ = -α
co formalnie dla prawa załamania
α
=
α n
'
'
n
oznacza
n
'
n
−
=
r
n
'
n
s
n
'
s
'
n
−
=
−
Po podstawieniu do
r
2
s
1
'
s
1
=
+
dla zwierciadła
Zwierciadło płaskie
r
→
∞
mamy
s
'
s
−
=
P
P’
-s = - S
s’ = S’
-u
Obraz
P’
bezaberracyjny
S’ = -S
niezależnie od kąta
u
Parametry układu w przestrzeni przyosiowej
Ognisko obrazowe
F’
- obraz punktu leżącego w
∞
(s
→ ∞)
'
f
n
'
n
r
'
n
'
s
'
F
=
−
=
f’
– ogniskowa obrazowa
f
n
'
n
nr
s
F
=
−
−
=
f
– ogniskowa przedmiotowa
Relacja między ogniskowymi
n
'
n
f
'
f
−
=
n
n’ > n
r
n
'
n
s
n
'
s
'
n
−
=
−
Ponieważ
F’
s’
F’
= f’
Ognisko przedmiotowe
F
- punkt, którego obraz leży w
∞
(s’
→ ∞)
-s
F
= -f
F
Odwzorowanie przez układ elementarny
w przestrzeni przyosiowej
Powiększenie poprzeczne
x
f
'
f
'
x
l
'
l
−
=
−
=
=
β
Wzór Newtona
'
ff
'
xx
=
Ale
f
s
x
'
f
'
s
'
x
−
=
−
=
→
1
s
f
'
s
'
f
=
+
s
'
s
'
n
n
=
n
n’ > n
F
F’
-f
f’
Przedmiot
P
Obraz
P’
-l’
l
-x
-s
x’
s’
po uwzględnieniu
'
f
'
s
'
x
f
s
x
−
=
−
=
n
'
n
f
'
f
−
=
oraz
Soczewka w przestrzeni przyosiowej
2
1
β
β
β =
Powiększenie
β
dla soczewki
W celu znalezienia obrazu dawanego przez
soczewkę
wystarczy znać
położenie jej płaszczyzn
głównych
H, H’
i ognisk
F, F’
n = 1
n
n = 1
d
P’
1
≡ P
2
s’
2
P’
2
-s
1
P
1
s
2
s’
1
Płaszczyzny główne
β
H
= 1
H
H’
Dotyczy to również obiektywu, lub innego układu optycznego
Obiektywy w powietrzu
f’ = -f
Znane ogniskowa
f’
i
położenie
F
i
F’
albo
znane ogniskowa
f’
i
położenie
H
i
H’
f’
f’
s’
-s
F
F’
H
H’
P
P’
s’
-s
H
H’
P
P’
'
f
1
s
1
'
s
1
=
−
Położenie obrazu
P’
s
'
s
l
'
l =
=
β
Powiększenie
poprzeczne
n = 1
n = 1
F
F’
f’
f’
P
P’
-l’
l
-x
-s
x’
s’
H H’
Obiektyw jako układ cienki
s
'
s
l
'
l =
=
β
Powiększenie poprzeczne
'
f
1
s
1
'
s
1
=
−
Położenie obrazu
P’
2
'
f
'
xx
−
=
lub
Aberracje obiektywu
- aberracje monochromatyczne
Aberracja sferyczna
Astygmatyzm
Koma
Aberracje obiektywu
- aberracje monochromatyczne cd
Krzywizna pola
Przedmiot
Obraz
Dystorsja
Obraz bezdystorsyjny
beczkowata
jaśkowata
Aberracje obiektywu
- aberracje chromatyczne
Ogniskowa
f’
położenia płaszczyzn głównych
H H’
położenia ognisk
F F’
są funkcjami
λ
↓
położenie obrazu i jego powiększenie są również funkcją
λ
chromatyzm położenia
chromatyzm powiększenia
P
P’
F
P’
C
s’
F
s’
C
Przykład obiektywu kamery
Aparat fotograficzny
z obiektywem
zmiennoogniskowym
i lampą błyskową
Przyrządy
Powiększenie wizualne
'
f
250
l
250
'
f
l
w
'
w
G
=
=
=
Lupa
Mikroskop
w’
l
w
250
Przedmiot
Nośnik
→
F
l
f’
Ob
Ok
≡ lupa
Nośnik
→
f’
ok
Przedmiot
Obraz dany
przez obiektyw
-w’
ok
ob
ok
ob
G
'f
250
G
β
=
β
=
Powiększenie wizualne
LUPY
Najprostszy mikroskop o małym powiększeniu
Lupy
Powiększenia
G = 2.5 – 10
x
Mikroskop studencki
Mikroskop naukowy
Obiektyw mikroskopowy
Powiększenie
β
ob.
= -40
x
Zaznaczone biegi promieni
Przyrządy
cd
Lunety
←
Przedmiot w
∞
Obraz w
∞
Obraz dany przez
obiektyw
Ob
Ok
F’
ob
f’
ob
F
ok
f’
ok
W płaszczyźnie obrazu płytka z
krzyżem
→
celownik
w
-w’
ok
ob
'
f
'
f
w
'
w
G
−
=
=
Powiększenie
wizualne
Zmierzch przyrządów wizualnych
Profesjonalne układy rejestrują obrazy za pomocą
kamer CCD
–
C
harge Coupled Device
Obraz w komputerze w postaci cyfrowej w celu jego przetwarzania
Lornetka 7x45
Peryskop
Teleskop SALT
w RPA
Współpraca
: Polska, RPA,
Niemcy, Nowa Zelandia,
USA i Wielka Brytania
Średnica zwierciadła
11 m !!!
Teleskop SALT
w RPA
Adaptacyjna optyka
91
zwierciadeł o
średnicy
1 m
wysokość
30 m
waga
82 tony
Projektowany jest teleskop o średnicy
100 m
Macierz odbiorników CCD
Typowy wymiar 2.1 x 2.1 mm liczba pikseli 512 x 512
Promień w ośrodku niejednorodnym
Przestrzeń przyosiowa
małe kąty
u
z
Kierunek zmiany
n
r
r
dr
dn
n
'
n
Δ
+
=
Δr
α’
α
u’
n
u
Z prawa załamania
α
=
α
sin
n
'
sin
'
n
ponieważ
α’ = π/2 – u’
oraz
α = π/2 – u
u
cos
n
'
u
cos
'
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
r
dr
du
u
sin
u
cos
r
dr
dn
n
r
dr
u
cos
d
u
cos
'
n
a więc lewa
strona równania
Po wymnożeniu
2
r
dr
du
dr
dn
u
sin
r
dr
du
u
sin
n
u
cos
r
dr
dn
u
cos
n
Δ
−
Δ
−
Δ
+
pomijalnie mała
wartość
= 1
= u
Ponieważ
u = dr/dz
dr
dn
n
1
dz
r
d
2
2
=
równanie promienia
Światłowód gradientowy
r
z
r
a
r
a
5
.
0
1
r
a
dz
r
d
2
2
2
2
2
2
−
≈
−
−
=
i równanie różniczkowe
promienia dla światłowodu
r
a
n
dr
dn
2
0
−
=
więc dla równania
dr
dn
n
1
dz
r
d
2
2
=
→
↓
Niech
(
)
2
2
0
r
a
5
.
0
1
n
n
−
=
1
r
a
5
.
0
2
2
<<
przy czym
a
- stała
Światłowód gradientowy
Bieg promieni w
światłowodzie dla
z = 0
→
r
0
= 0
dla różnych
u
0
Okres
Y = 2
π/a
( )
( )
( )
( )
az
cos
u
az
sin
a
r
dz
dr
u
az
sin
a
u
az
cos
r
r
0
0
0
0
+
−
=
=
+
=
Rozwiązanie
równania
różniczkowego
niech dla
z = 0
wysokość padania promienia
r = r
0
i kąt
dr/dz = u
0
Warunki początkowe
grad(n)
↓
↑
grad(n)
r
Y
z
0
Wpływ gradientów temperatury
grad(n)
273
/
t
1
a
1
n
+
+
≈
t
– temperatura w
0
C
Zjawisko
fata morgana
Wpływ gradientów temperatury
Ziemia
t
– temperatura w
0
C
p - ciśnienie
w mm Hg
760
p
273
/
t
1
a
1
n
+
+
≈
grad(p)
grad(n)
Zalety i trudności optyki geometrycznej
Trudności
Brak pojęcia długości fali.
Na podstawie aksjomatów nie można
wyjaśnić rozszczepienia światła przez pryzmat
Promień jest pojęciem geometrycznym
zostawiającym ślad bez
możliwości przypisania mu mocy
Niemożliwe wyznaczenie podziału mocy na wiązkę przechodzącą
i odbitą
Nie wyjaśnia zjawisk
interferencji, dyfrakcji i polaryzacji
Zalety
Prostota pojęć i prostota analizy biegu promieni
zwłaszcza przy wykorzystaniu komputerów
Literatura uzupełniająca
R.Jóźwicki: Optyka instrumentalna. WNT, Warszawa 1970, rozdział
1,
2.
Fragmenty książki, Fundacja Wspierania Rozwoju i Wdrażania Technik
Optycznych
J.R.Meyer-Arendt: Wstęp do optyki. PWN, Warszawa 1977, rozdział 1
E.Hecht, A.Zajac: Optics. Addison-Wesley Publ. Co., Reading Mass. 1974,
rozdział 5
B.E.A.Saleh, M.C.Teich : Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons,
New York 1991, rozdział 1
M.Born, E.Wolf: Principles of Optics. Pergamon Press, Oxford 1980,
rozdział III
Literatura
podstawowa
poziom wyższy
naukowa